“推理”破解生活謎題

《福爾摩斯探案集》、《名偵探柯南》、《神探夏洛克》……當(dāng)我們看到這些作品的時(shí)候，腦海中浮現(xiàn)的是神探們破案時(shí)足智多謀，神機(jī)妙算的形象，羨慕他們有洞察先機(jī)，未卜先知的本領(lǐng). 其實(shí)這些神探在破案的時(shí)候，很多都是運(yùn)用了數(shù)學(xué)上的推理思想來(lái)進(jìn)行的. 當(dāng)我們掌握了推理的各種類型與方法時(shí)，我們也能成為一個(gè)個(gè)小神探去破解生活中的各種謎題！

推理的種類很多，數(shù)學(xué)中常用的推理有歸納推理、類比推理和演繹推理三種.

一、 歸納推理

歸納推理是由特殊到一般的推理.

例1 現(xiàn)在的網(wǎng)絡(luò)游戲中，有一個(gè)“吉普賽人祖?zhèn)鞯纳衿孀x心術(shù)”. 據(jù)說(shuō)它能測(cè)算出你的內(nèi)心感應(yīng). 游戲是這樣的：任意選擇一個(gè)兩位數(shù)（或者說(shuō)，從10～99之間任意選擇一個(gè)數(shù)），把這個(gè)數(shù)的十位與個(gè)位相加，再把這個(gè)兩位數(shù)減去這個(gè)和.

例如：你選的數(shù)是23，然后2+3=5，然后23-5=18. 在游戲的圖表中找出與最后得出的數(shù)相應(yīng)的圖形，并把這個(gè)圖形牢記心中，然后點(diǎn)擊網(wǎng)頁(yè)上的水晶球. 你會(huì)發(fā)現(xiàn)，水晶球所顯示出來(lái)的圖形就是你剛剛心里記下的那個(gè)圖形. 水晶球讓你感到它能神奇地讀你的心了！你玩過(guò)這個(gè)游戲嗎？到底是什么原因呢？

【解析】這實(shí)際上是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲. 當(dāng)任何一個(gè)兩位數(shù)減去它的各位數(shù)字之和的時(shí)候，我們注意到個(gè)位數(shù)字相互減去了， 所以實(shí)際上是十位數(shù)字的10倍減去它的一倍，必然是十位數(shù)字的9倍，也就是說(shuō)所得的數(shù)肯定是9的倍數(shù).

設(shè)一個(gè)兩位數(shù)十位是x，個(gè)位是y，則此兩位數(shù)為10x+y，十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為x+y，那么（10x+y）-（x+y）=9x，故此數(shù)必是9的倍數(shù). 所以游戲的圖表中，只要將所有9的倍數(shù)的對(duì)應(yīng)圖片都放成同一張，那么水晶球只需要顯示一個(gè)圖案就可以了.

類似的數(shù)學(xué)游戲是很多的，往往使用的數(shù)學(xué)知識(shí)也不復(fù)雜. 只要遇到后多分析，多思考，你也會(huì)發(fā)現(xiàn)這些游戲的小秘密.

例2 紙牌魔術(shù)：魔術(shù)師從一副撲克牌中抽出21張，對(duì)一位觀眾說(shuō)：“請(qǐng)你默記其中一張牌.”觀眾看了看，記住了其中一張. 魔術(shù)師把牌洗了一通，然后在桌面上分牌. 如圖1，把第一張放在圖上1的位置，第二張放在2的位置……最后一張放在21的位置上，牌面均向上，擺成三組，每組7張. 此時(shí)問(wèn)觀眾，默記的牌在哪一組. 當(dāng)觀眾說(shuō)出在某組后，魔術(shù)師分別把三組牌收攏起來(lái)，收攏時(shí)保持牌在組內(nèi)的先后順序不變，再把收攏好的三組牌疊起來(lái)拿在手中，疊的時(shí)候暗中將觀眾確認(rèn)有默記牌的那組放在中間一層. 魔術(shù)師不再洗牌，隨即開(kāi)始第二次分牌. 分法如前，把第一張放在圖上1的位置上，第二張放在2的位置上……然后問(wèn)觀眾，默記的那張牌現(xiàn)在在哪一組. 當(dāng)觀眾說(shuō)出所在組后魔術(shù)師如前再次收攏，疊起，然后進(jìn)行第三次分牌. 分好后再次問(wèn)觀眾默記的牌在哪一組. 當(dāng)觀眾指出所在的組后， 魔術(shù)師此時(shí)毫不猶豫地從該組中抽出一張牌來(lái)，此牌恰是觀眾默記的那一張. 他的表演博得一片掌聲. 你知道是什么原理嗎？

【解析】第一次分牌后，觀眾所默記的那張牌，比如A牌，可能出現(xiàn)在任何一組的任何位置. 然而，第二次分完后，A牌所在的位置只能是圖上的8～14號(hào)之一，這是因?yàn)?～14號(hào)上的那7張牌原先是一組被魔術(shù)師事先故意地放在中間一層的緣故. 現(xiàn)在A牌不論被分入哪一個(gè)新組，它只是新組內(nèi)中間的三張牌之一，即這組內(nèi)的第三、第四或第五張. 第三次分完后，A牌的位置只能是圖上的10、11、12之一了. 道理是這三個(gè)位置上的三張牌即是收攏前的A所在那組的中間的三張. 現(xiàn)在，由于 10、11、12號(hào)位置分別是三個(gè)組的正中間，只要觀眾說(shuō)出A在哪一組，魔術(shù)師把該組正中的牌抽出來(lái)就是觀眾選擇的牌.

你也可以試試表演一下這個(gè)魔術(shù)，只是在表演的時(shí)候一定要記得每次疊放時(shí)把含A牌的一組放在中間而又不要引起觀眾注意哦！

二、 類比推理

類比推理是從特殊到特殊的推理.

例3 一天，小紅去問(wèn)曾當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要35年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星，115歲了，哈哈！”小紅納悶，爺爺?shù)降资嵌嗌贇q？

【解析】要解決上述問(wèn)題，我們不妨先來(lái)解決一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

已知：如圖2，有一根木棒AB重合在數(shù)軸上，若將木棒在數(shù)軸上水平移動(dòng)，則當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為20，當(dāng)B點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為5（單位：cm）.

由此可得到木棒長(zhǎng)________cm.

對(duì)于上述這個(gè)關(guān)于數(shù)軸的題目，我們很容易由數(shù)軸觀察得知三根木棒的長(zhǎng)是20-5=15（cm），則此木棒長(zhǎng)為5 cm.類似地，我們可以借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看做木棒AB，爺爺在小紅那么大時(shí)看做當(dāng)B點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-35. 小紅到爺爺那么大時(shí)看做當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，此時(shí)B點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為115. 可知爺爺比小紅大[115-（-35）]÷3=50（歲），爺爺?shù)哪挲g為115-50=65（歲）.

類比推理是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)的一種有效的探索方法. 科學(xué)史上很多著名的發(fā)現(xiàn)是借助于類比推理而獲得的.

例4 皇冠問(wèn)題：公元前245年，為了慶祝盛大的月亮節(jié)，西拉克斯的國(guó)王給金匠一塊金子讓他做一頂純金的皇冠. 完工后，國(guó)王懷疑工匠在金冠中摻了假，但這頂金冠確與當(dāng)初交給金匠的純金一樣重，到底工匠有沒(méi)有搗鬼呢？既想檢驗(yàn)真假又不能破壞王冠，這個(gè)問(wèn)題不僅難倒了國(guó)王，也使諸大臣們面面相覷. 這就是著名的皇冠問(wèn)題.

【解析】這件看來(lái)似乎是不能完成的任務(wù)后來(lái)是由阿基米德完成的. 最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要領(lǐng). 一天，他到澡堂洗澡，當(dāng)他的身體進(jìn)入浴池時(shí)，他敏銳地察覺(jué)到水位上升，由此受到啟發(fā)，產(chǎn)生聯(lián)想，把在自己進(jìn)入浴池中水位上升與求皇冠重量進(jìn)行類比，他突然領(lǐng)悟到可以用測(cè)定固體在水中排水量的辦法，來(lái)確定金冠的比重.

他把皇冠和同等重量的純金放在盛滿水的兩個(gè)盆里，比較兩盆溢出來(lái)的水，發(fā)現(xiàn)放皇冠的盆里溢出來(lái)的水比另一盆多. 這就說(shuō)明皇冠的體積比相同重量的純金的體積大，所以證明了皇冠里摻進(jìn)了其他金屬.

這次試驗(yàn)的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大過(guò)查出金匠欺騙事件，因?yàn)榘⒒椎聫闹邪l(fā)現(xiàn)了浮力定律. 一直到現(xiàn)代，人們還在利用這個(gè)原理計(jì)算物體比重和測(cè)定船舶載重量.

例6 在太平洋某處海底深40米的地方，有一個(gè)日本的水生動(dòng)物研究所，專門研究海豚、鯨魚的生活習(xí)性. 研究所里有主任高森和三個(gè)助手清江、島根、江山. 那里的水壓相當(dāng)于5個(gè)大氣壓.

一天，吃過(guò)午飯，三個(gè)助手穿上潛水衣，分頭到海洋中去工作. 下午1點(diǎn)50分左右，陸地上的武滕來(lái)到研究所拜訪. 一進(jìn)門，他驚恐地看到高森滿身血跡地躺在地上，已經(jīng)死去. 警察到現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)高森是被人槍殺的，作案時(shí)間在1點(diǎn)左右，據(jù)分析，兇手就是這三個(gè)助手之一. 可是三個(gè)助手都說(shuō)自己在12點(diǎn)40分左右就離開(kāi)了研究所. 清江說(shuō)：“我離開(kāi)后大約游了15分鐘，來(lái)到一艘沉船附近，觀察一群海豚. ”島根說(shuō)：“我同往常一樣到離這里10分鐘路程的海底火山那兒去了. 回來(lái)時(shí)在一點(diǎn)左右，看見(jiàn)清江在沉船旁邊. ”江山說(shuō)：“我離開(kāi)研究所后，就游上陸地，到地面時(shí)大約12點(diǎn)55分. 當(dāng)時(shí)増川小姐在陸地辦公室里，我倆一直聊天. ”増川小姐證明江山一點(diǎn)鐘左右確實(shí)在辦公室里.

聽(tīng)了三個(gè)助手的話，警察說(shuō)：“你們之中有一個(gè)說(shuō)謊者，他隱瞞了槍殺高森的罪行. ”

你能推理出誰(shuí)是說(shuō)謊者和誰(shuí)是槍殺高森的兇手嗎？

【解析】江山是說(shuō)謊者，他也是槍殺高森的兇手. 因?yàn)檠芯克谒?0米的地方，大約有5個(gè)大氣壓，要想從這樣的深度游向地面，必須在中途休息好幾次，使身體逐漸適應(yīng)壓力的改變. 如果只用15分鐘游到地面，那么一定會(huì)患潛水病.

歸納、類比和演繹，是數(shù)學(xué)中常用的推理方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，它們并不是絕對(duì)分離而是相互連接、相互滲透、相互轉(zhuǎn)化的. 當(dāng)我們能很好地掌握各種推理方法并靈活地加以運(yùn)用時(shí)，相信我們都能成為小神探去發(fā)現(xiàn)與破解生活中的種種謎題！

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué)）