巧解高考題中拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題

陳小林 曾利萍

拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題是解析幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，同時(shí)也是高考中關(guān)于拋物線問(wèn)題的高頻考點(diǎn).解決這類問(wèn)題，如果能夠熟練運(yùn)用本文中討論的4條性質(zhì)，就可以將很多復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

如圖，AB是拋物線y2=2px（p>0）過(guò)焦點(diǎn)F（ p 2 ，0）的一條弦.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)M（x0，y0），過(guò)A，M，B分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為A1，M1，B1.

一、拋物線焦點(diǎn)弦的4條性質(zhì)

性質(zhì)1 過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng) |AB|=x1+x2+p=2x0+p.

證明 根據(jù)拋物線的定義有|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+ p 2 +x2+ p 2 =x1+x2+p=2x0+p.