幾個同余恒等式的群論證明

潘俊堯　袁俊麗

【摘要】 同余關系是研究數(shù)論問題的基本出發(fā)點，本文應用群論中的sylow定理及特殊群的素數(shù)冪階子群的個數(shù)定理得到幾個同余恒等式，為初等數(shù)論及組合數(shù)學同余問題的研究提供新的思路.

【關鍵詞】 同余關系；群論；sylow定理；同余恒等式

【資助基金】 南通大學教改課題——研究性教學方法在非師范生高等代數(shù)課程中的應用，代碼：13050992

一、引言

設有限群的階為N，設N=n·pm，其中p是N的素因子，且n和p未必互素.由群論中的sylow定理可知同余關系：

CpmN≡n（pm）·n（modnp）. （1）

對任何群恒成立，其中CpaN表示在N=n·pn個互不相同元素中任取pm個互不同的元素的組合數(shù)，n（pm）表示G中pm階子群的個數(shù).本文主要討論當G為循環(huán)群、初等交換p-群、二面體群等特殊群時，通過該同余關系可以得到怎樣的同余恒等式.

二、主要定理

定理1

1.定理1證明

四、結論

群論的研究角度是利用該同余關系分析群的素數(shù)冪階子群個數(shù)問題，本文則應用該同余關系結合群素數(shù)冪階子群個數(shù)的性質來研究同余恒等式，為同余恒等式的研究提供一個全新的思路.

【參考文獻】

徐明曜.有限群導引（上冊）[M].北京：科學出版社，1999.