關(guān)于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)例題教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

杜振義

【摘要】 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)主要是通過例題的教學(xué)來加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和能力的提高，那么選擇怎樣的例題才能更有效地帶領(lǐng)學(xué)生達(dá)到事半功倍的復(fù)習(xí)鞏固效果，本文從幾個(gè)方面談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】 高三數(shù)學(xué)；例題；教學(xué)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷深化、擴(kuò)展的過程，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在學(xué)生的不同學(xué)習(xí)階段有著不同的學(xué)習(xí)要求.復(fù)習(xí)課上的例題的分析、探索、講解都給學(xué)生提供某些示范，如解題的規(guī)范性、思想方法的運(yùn)用等，極大影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.例題教學(xué)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的主要手段，直接影響著復(fù)習(xí)效果，選擇好的例題，并充分利用好例題，讓學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中得到極大的提高是我們每一位教師的追求.

一、例題教學(xué)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想滲透

思想是數(shù)學(xué)的核心，沒有了思想，數(shù)學(xué)可能就是一些公式、公理等的簡單集合，對(duì)于學(xué)生收獲的只是一些機(jī)械的記憶和解題上的技巧，而沒有能力的提高.表現(xiàn)在解題中，學(xué)生只是就題論題，看了很多例題但不會(huì)解題，更不能觸類旁通、舉一反三，就是舉三也不能反一這種現(xiàn)象.相反，例題教學(xué)若有了思想性，引導(dǎo)學(xué)生從思想方法的高度來把握題目，對(duì)問題的理解才會(huì)深入于心，持續(xù)的例題教學(xué)貫穿整個(gè)高三數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，例題的思想性就會(huì)反復(fù)影響著學(xué)生，逐步地形成良好的思維品格，對(duì)于一個(gè)個(gè)問題學(xué)生才會(huì)思如泉涌、駕輕就熟.例如 “已知x>0，y>0， 1 x + 4 y =1，求x+4y的最小值”這個(gè)問題大多出現(xiàn)在基本不等式教學(xué)課堂上，常要求學(xué)生利用基本不等式進(jìn)行套用，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)公式運(yùn)用的能力，強(qiáng)調(diào)了解題的技巧；如果在這一題講解中能注入函數(shù)思想，把二元函數(shù)化成一元函數(shù)，學(xué)生就會(huì)在學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的思想性，從而牢牢掌握這類習(xí)題的通用解題方法.

數(shù)學(xué)的思想會(huì)在例題教學(xué)中得以體現(xiàn)，我們需在每一道精心編擬的數(shù)學(xué)例題中注入思想性，不斷滲透，適時(shí)講解，從思想上找到共性通法，淡化特殊技巧，避免在高三復(fù)習(xí)即將結(jié)束時(shí)去講一兩個(gè)思想專題就了事的做法.

二、靈活運(yùn)用好“一題多解、多變”“多題一解”多種形式，激活學(xué)生思維

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是要求通過少而精的習(xí)題教學(xué)，讓學(xué)生在知識(shí)、能力上得到訓(xùn)練與提高；復(fù)習(xí)中如果對(duì)一個(gè)問題能從多角度進(jìn)行分析、解決，學(xué)生就會(huì)在對(duì)同一數(shù)學(xué)問題的多角度的審視中產(chǎn)生不同思維活動(dòng)，也會(huì)給他們的學(xué)習(xí)注入新的興趣點(diǎn)，讓他們?cè)诓煌慕夥ㄖ杏兴?、有所感，他們?huì)比較哪種解法更好，好在哪里？哪種解法更具有一般性？哪種解法帶有一定的技巧性？在注重通法、淡化技巧的學(xué)習(xí)中更應(yīng)要掌握哪種解法？這些解法的理論基礎(chǔ)是什么？是如何想到的？從而鞏固學(xué)生的多項(xiàng)知識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

適當(dāng)?shù)臅r(shí)候進(jìn)行一題多變，改變其中部分條件或數(shù)字，可能會(huì)形成一個(gè)全新的數(shù)學(xué)問題，由于思維的習(xí)慣學(xué)生對(duì)這類形似的問題很難很快適應(yīng)過來，他們對(duì)待問題要么生硬地照搬，要么無所適從，這時(shí)對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，讓他們發(fā)現(xiàn)各種類似問題的聯(lián)系和差異，掌握和消化多個(gè)數(shù)學(xué)問題，掌握解題一般規(guī)律與方法，觸類旁通，提高學(xué)生的應(yīng)變能力，同時(shí)也能給課堂注入新的活力.

進(jìn)行“一題多解或多變”，要充分地照顧到學(xué)生能力水平，在能力范圍進(jìn)行，否則由于太過發(fā)散、靈活，重點(diǎn)不夠突出，學(xué)生可能會(huì)感到無所適從，加重學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又淡化了某種思想應(yīng)有的作用.如cosα+2sinα=- 5 ，求tanα.（2008年浙江省高考理第8題） 有教師在一節(jié)課里一口氣給出了7種解法：可與cos2α+sin2α=1組成方程組解；有平方后右邊改為5（cos2α+sin2α=1）再改tanα；有構(gòu)造函數(shù)f（x）=cosx+2sinx討論最值的；有構(gòu)造點(diǎn)P（cosα，sinα），Q - 1 5 ，- 2 5 后求得PQ=0，所以PQ重合；觀察 - 1 5 2+ - 2 5 2=1， cos2α+sin2α=1進(jìn)行類比求解等，這些多種解法包括了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于基礎(chǔ)不是太好的學(xué)生，思維能力可能跟不上，有時(shí)學(xué)生別說能想到，就是看了也會(huì)眼花，此時(shí)如果解法上又不能突出重點(diǎn)，他們的能力培養(yǎng)就更難以落實(shí)了.

把看似不同的例題解法進(jìn)行歸納，尋求統(tǒng)一的解法，說是我們常說的“多題一解”，進(jìn)行多題一解就是要去除問題的不同表象，尋求其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在思想上進(jìn)行統(tǒng)一才有方法上的統(tǒng)一，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，針對(duì)高考題的特點(diǎn)，科學(xué)、適當(dāng)?shù)丶右杂?xùn)練，就一定能有效地避免學(xué)生投入到無窮的題海中.如下列幾個(gè)問題：

①判斷函數(shù)f（x）=2ax2-x-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

②方程2ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求a的取值范圍.

③在（0，1）存在x，使得不等式2ax2-x-1<0，求a的取值范圍.

可以進(jìn)行解法上的統(tǒng)一，都轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2ax2-x-1，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決，學(xué)生會(huì)在這種不同形式同一思想中找到解決問題的思路，認(rèn)識(shí)到這些數(shù)學(xué)思想才是解決問題的關(guān)鍵.

三、加強(qiáng)思維的邏輯性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力全面提高

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是教育教學(xué)的一個(gè)目標(biāo)，受到了廣大教師的重視.對(duì)于運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)的基本能力，它不僅包括數(shù)的運(yùn)算，還包括代數(shù)式和一些超越式（指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等）的恒等變形，以及大量的幾何量的計(jì)算等，重要性我們都能認(rèn)識(shí)到，以至于出現(xiàn)有教師在高三數(shù)學(xué)課堂上愿意花費(fèi)幾分鐘或更長時(shí)間和學(xué)生一起解二元二次方程組現(xiàn)象；在對(duì)數(shù)列求和時(shí)，也會(huì)設(shè)計(jì)多組練習(xí)，加強(qiáng)錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)法、倒序求和法等多種變形方法的訓(xùn)練.也能注意高考對(duì)空間想象等基本的數(shù)學(xué)能力等考查，復(fù)習(xí)中加強(qiáng)學(xué)生畫圖讀圖訓(xùn)練，讓學(xué)生從圖形中基本元素及其相互關(guān)系構(gòu)建思維的框架等.但邏輯思維 能力由于有更高的抽象度和難操作性等特點(diǎn)，很多時(shí)候被我們所忽視或做淡化處理，沒能認(rèn)識(shí)它的重要性.而在高考數(shù)學(xué)中，要求學(xué)生會(huì)對(duì)問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會(huì)用演繹、歸納和類比進(jìn)行推斷，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地進(jìn)行表述.這些是對(duì)邏輯思維能力提出了三個(gè)層次的要求，也體現(xiàn)了邏輯思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心.我們要重視這種能力的培養(yǎng)，要在例題教學(xué)中對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決，都要求考生進(jìn)行必要的觀察、思考，正確領(lǐng)會(huì)題意，明確解題的目標(biāo)和方向，采用適當(dāng)?shù)牟襟E，合乎邏輯地進(jìn)行推理和演算，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).有時(shí)有必要精選邏輯性強(qiáng)的例題加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)，如：

（1）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和an=n2（n為正整數(shù)），說明{an}不是等差數(shù)列.

（2）試證明 f（x）=x3-ax-1圖像不可能總在y=a上方.

對(duì)于這些問題學(xué)生容易產(chǎn)生推理上的錯(cuò)誤，或題意不能領(lǐng)會(huì)而難以著手.如果在例題教學(xué)中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到（1）“當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=1，則{an}是等差數(shù)列”這是一個(gè)任意性命題，其否定是“存在n∈ N *，an-an-1不是同一常數(shù)，則{an}不是等差數(shù)列”，然后用2a2≠a1+a3就很容易說明數(shù)列不是等差數(shù)列.對(duì)于（2）讓學(xué)生理解只要說明有函數(shù)值小于a就可以說明，然后尋求一個(gè)特定值如f（-1）=a-2就能解決問題.

四、把數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)滲透到例題教學(xué)中

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)開始為了數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)完整性，常進(jìn)行對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全面復(fù)習(xí)；為了節(jié)省時(shí)間有的教師復(fù)習(xí)課上習(xí)慣把知識(shí)點(diǎn)（如定義、公式、結(jié)論或定理等）進(jìn)行系統(tǒng)的羅列，有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重要性，常讓學(xué)生單獨(dú)去用時(shí)記憶，去默寫.這樣幾次重復(fù)學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)都能很好地記住，知識(shí)點(diǎn)是記住了，會(huì)用嗎？對(duì)于單調(diào)性定義有下列例子：

（1）定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=-5x+sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）>0，求a的取值范圍.

（2）函數(shù)f（x）= x[]1+|x| （x∈ R ），命題若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）對(duì)嗎？

學(xué)生能把這兩個(gè)問題與單調(diào)性聯(lián)系起來嗎？這種能力上的考查是靠記憶學(xué)生是無法完成的.這種簡單地對(duì)知識(shí)點(diǎn)的再現(xiàn)，思維量不足，學(xué)生參與積極性也不高，復(fù)習(xí)效果難以保證.同時(shí)這種方式使用多了，有些學(xué)生也習(xí)慣了這種學(xué)習(xí)方法，把自己的自主學(xué)習(xí)變成了簡單地記憶了.

每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象都有一個(gè)發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，這些過程中常蘊(yùn)含著一定數(shù)學(xué)思想和方法，復(fù)習(xí)時(shí)間緊，不可能把這些過程一一再現(xiàn)，但我們可以把知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行提煉，滲透到具體例題教學(xué)中，要讓學(xué)生明白復(fù)習(xí)的知識(shí)在問題中如何表現(xiàn)的，又是如何用來解決問題的，在解決問題過程中不斷地進(jìn)行鞏固和加強(qiáng).

【參考文獻(xiàn)】

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