小議數(shù)學(xué)概念教學(xué)的層次分析

劉波

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生必須掌握的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一，是數(shù)學(xué)基本技能的形成與提高的必要條件。在概念教學(xué)中，教師要講究教學(xué)方法，新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)較注重概念的形成過(guò)程，多啟發(fā)學(xué)生，多培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)性與創(chuàng)造性；同時(shí)要幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)；階段；數(shù)學(xué)思維；層次分析

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）09-0153

概念是客觀事物本質(zhì)屬性、特征在人們頭腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)概念的教學(xué)，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，搞清概念是提高解題能力的關(guān)鍵。在新一輪課改理念的引領(lǐng)下，結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有關(guān)問(wèn)題與大家共同探討。

一、新舊理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的層次分析

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行。通常分為以下幾個(gè)步驟：1. 揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號(hào)；2. 對(duì)概念的進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；3. 鞏固概念，利用概念解決的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的識(shí)別活動(dòng)；4. 概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問(wèn)題，并建立所學(xué)概念與其他概念間的聯(lián)系。

這種教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)明，使學(xué)生可以比較直接地學(xué)習(xí)概念，節(jié)省時(shí)間，被稱為是“學(xué)生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學(xué)生理解概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程——對(duì)象的雙重性，既是邏輯分析的對(duì)象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過(guò)程。因此，必須返璞歸真，揭示數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過(guò)程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號(hào)化的運(yùn)用等多方位理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的教育原理。

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“獲得的知識(shí)如果沒(méi)有完滿的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個(gè)多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”就數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)要經(jīng)過(guò)四個(gè)階段：1. 活動(dòng)階段。2. 探究階段。3. 對(duì)象階段。4. 圖式階段。

以上四個(gè)階段反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)。其中的“活動(dòng)“階段是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過(guò)”活動(dòng)“讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系：”探究“階段是學(xué)生對(duì)”活動(dòng)“進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過(guò)程，學(xué)生在頭腦對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)：”對(duì)象“階段是通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行”壓縮“并賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)思維中的具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)：”圖式“的形成是要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào)，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。

二、新課改理念下的概念與法則的教學(xué)案例

1. 代數(shù)式概念

代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過(guò)程中的難點(diǎn)，有很多學(xué)生學(xué)過(guò)后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算。認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)，需要有以下四個(gè)層次：

（1）通過(guò)操作活動(dòng)，理解具體的代數(shù)式

問(wèn)題一：讓學(xué)生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請(qǐng)?zhí)顚懞孟卤恚?/p>

問(wèn)題二：有一些矩形，長(zhǎng)是寬的3倍，請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生初步體會(huì)“同類意義”的數(shù)表示的各種關(guān)系。

（2）探究階段，體驗(yàn)代數(shù)式中過(guò)程

針對(duì)活動(dòng)階段的情況，可提出一些問(wèn)題讓學(xué)生討論探究：

①問(wèn)題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關(guān)系？

②把各具體字母表示的式子作為一個(gè)整體，具有什么樣的特征和意義？（需經(jīng)反復(fù)體驗(yàn)、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運(yùn)算關(guān)系；字母表示一類數(shù)等）。

這一階段還包括列代數(shù)式和對(duì)代數(shù)式求值，可設(shè)計(jì)下題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式的特征：每包書有12冊(cè)，n包書有 冊(cè)；溫度由t℃下降2℃后是 ℃；一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x，那么它的面積是 ；如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來(lái)水費(fèi)（每立方米b元），共花去 元錢？

（3）對(duì)象階段，對(duì)代數(shù)式的形式化表述

這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)、合并同類項(xiàng)、因式分解及解方程等運(yùn)算。學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算中就意識(shí)到運(yùn)算的對(duì)象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)關(guān)系，而不只是運(yùn)算過(guò)程。這一階段，學(xué)生必須理解字母的意義，識(shí)別代數(shù)式。

（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式

通過(guò)以上三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立起如下的代數(shù)式的心理表征：具體的實(shí)例、運(yùn)算過(guò)程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義，并能加以運(yùn)用有理數(shù)加法法則：

①運(yùn)算操作：計(jì)算一個(gè)足球隊(duì)在一場(chǎng)足球比賽時(shí)的勝負(fù)可能結(jié)果的各種不同情形：

（+3）+（+2）——+5 （-2）+（-1）——-3

（+3）+（-2）——+1 （-3）+（+2）——-1

（+3）+0——+3 ……

（其中每個(gè)和式中的兩個(gè)有理數(shù)是上、下半場(chǎng)中的得分?jǐn)?shù)）。

②探究規(guī)律：把以上算式作為整體綜合進(jìn)行特征分析：同號(hào)相加、異號(hào)相加、一個(gè)數(shù)與零相加等的過(guò)程和結(jié)果對(duì)照總結(jié)規(guī)律，理解運(yùn)算意義。

③形成對(duì)象：把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：有理數(shù)+有理數(shù)=①符號(hào)②數(shù)值這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運(yùn)算律進(jìn)行任意的有理數(shù)和的運(yùn)算和代數(shù)式求值的運(yùn)算等。

④形成圖式：有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學(xué)生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實(shí)例、有抽象的操作過(guò)程、有完整的運(yùn)算律和形成的模式。而且通過(guò)以后的學(xué)習(xí)獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系。

三、兩種教學(xué)模式下學(xué)生學(xué)習(xí)方式的對(duì)比分析

與新課改理念相比，傳統(tǒng)的教學(xué)模式下學(xué)生的學(xué)習(xí)缺少“活動(dòng)”階段，對(duì)概念的形成過(guò)程沒(méi)有充分體驗(yàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建立靠教師代替快體驗(yàn)、快抽象。反映出的情況有：

1. 過(guò)快的抽象過(guò)程使得只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。例如學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算很長(zhǎng)時(shí)間，還經(jīng)常出現(xiàn)符號(hào)運(yùn)算錯(cuò)誤，這就是學(xué)生對(duì)有理數(shù)運(yùn)算沒(méi)有理解而造成的。

2. 由教師代替學(xué)生快體驗(yàn)、快抽象出數(shù)學(xué)概念，即使是能跟隨教師進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)的學(xué)生其學(xué)習(xí)活動(dòng)也是不連貫的，建構(gòu)的概念缺乏完整性。例如學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念，經(jīng)常出現(xiàn)a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等錯(cuò)誤，這是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有進(jìn)行必要的“活動(dòng)”，使“探究”的體驗(yàn)不完整需用造成的。又如在求解方程中出現(xiàn)（x+2）2=1=x2+4x+4=1=……等錯(cuò)誤，說(shuō)明學(xué)生還停留于運(yùn)算過(guò)程層面，對(duì)方程對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征不理解。

3. 學(xué)生建構(gòu)概念的圖式層面是學(xué)習(xí)的最高階段，在現(xiàn)有教學(xué)環(huán)境下很多學(xué)生難以達(dá)到這一層面。例如，為什么要學(xué)習(xí)解方程？解方程的本質(zhì)是什么？

四、新課改理念下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

新課改理念下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)是由學(xué)生活動(dòng)、探究到對(duì)象、圖式的學(xué)習(xí)過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)形成的規(guī)律性。為此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)采取以下策略：

1. 教師要把“教”建立在學(xué)生“學(xué)”的活動(dòng)中

為了使學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)，首先要設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。這需要教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，設(shè)計(jì)時(shí)要注意以下幾個(gè)方面：（1）能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景和形成過(guò)程；（2）適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，使學(xué)習(xí)活動(dòng)能順利展開(kāi)；（3）適當(dāng)數(shù)量的問(wèn)題，使學(xué)生有充足活動(dòng)體驗(yàn)；（4）注意趣味性，活動(dòng)形式可以多種多樣，引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2. 體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成中的數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)思維方法是知識(shí)產(chǎn)生的靈魂，把握數(shù)學(xué)知識(shí)形成中的數(shù)學(xué)思維方法，是學(xué)生展開(kāi)思維、建構(gòu)概念的主線。學(xué)生學(xué)習(xí)中要給予提示、建議并在總結(jié)中歸納。另外，要設(shè)計(jì)能引起學(xué)生反思的提問(wèn)，如“你的結(jié)果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學(xué)生能順利完成由“活動(dòng)”到“探究”，“探究”到“對(duì)象”的過(guò)渡。

3. 數(shù)學(xué)對(duì)象的建立需經(jīng)多次反復(fù)

一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“探究”到“對(duì)象”的建立，有時(shí)既困難又漫長(zhǎng)（如函數(shù)概念）?！疤骄俊钡健皩?duì)象”的壓縮、抽象需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解。“對(duì)象”的建立要注意簡(jiǎn)練的文字形式和符號(hào)表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)形象。加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系和應(yīng)用，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識(shí)的心理圖式。

綜上所述，數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)努力通過(guò)揭示概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀念，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的思維能力。我們只要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，注意概念教學(xué)的研究與實(shí)踐，就不難提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市回民中學(xué) 014040）