行列式的計(jì)算方法

李興

[摘 要]歸納總結(jié)研究行列式的各種計(jì)算方法，并包括具有特殊性質(zhì)的一些行列式的計(jì)算方法，同時(shí)用例子說(shuō)明了這些方法在解決類(lèi)似問(wèn)題中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵字]行列式、范德蒙行列式、三角形行列式、特征根

行列式與線性代數(shù)中其他章節(jié)聯(lián)系緊密，對(duì)線性方程組理論的討論起了很大的作用，在數(shù)學(xué)的許多分支中有著極為廣泛的應(yīng)用。行列式的計(jì)算方法很多且靈活多變，需要掌握很強(qiáng)的做題技巧和應(yīng)對(duì)能力?，F(xiàn)將積累的一些常用方法歸納整理如下：

一、定義法

應(yīng)用n階行列式的定義計(jì)算其值的方法稱為定義法。

n階行列式

=

這里 表示對(duì)所有n階排列求和，由定義立即看出，n階行列式是由n！項(xiàng)組成的。定義表明，為了計(jì)算n階行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積。把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后由列指標(biāo)所成的排列的奇偶性來(lái)決定這一項(xiàng)的符號(hào)。一般情況下，計(jì)算行列式的值很少用此法，它主要應(yīng)用于行列式中許多元素為零的情況，因此法很常見(jiàn)且比較繁瑣，故不舉例說(shuō)明。

二、三角法

利用行列式的性質(zhì)把行列式轉(zhuǎn)換成上（下）三角行列式來(lái)計(jì)算行列式的值，此法稱為三角法。

上三角形行列式

根據(jù)行列式的性質(zhì)可知，任意行列式都可化為上（下）三角形行列式，雖然這個(gè)方法手算特別難，但當(dāng)n較大時(shí)，完全可以在計(jì)算機(jī)編程來(lái)計(jì)算。

三、造零法

代數(shù)余子式是比原行列式階數(shù)較低的行列式，由此若某行（列）有盡可能多的零的可以利用此性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，且出現(xiàn)的行列式比原行列式階數(shù)低，易于計(jì)算。通常情況下，把原行列式的某行（列）的所有元素與它的代數(shù)余子式之積的和等于行列式的值，而任意（一行）列的元素與另一行（列）的代數(shù)余子式之積的和等于零。即：