一個平面向量數(shù)量積的簡化公式

周斌

平面向量的數(shù)量積問題是多年來高考的熱點，每年的各種高考模擬題、高考真題中都有此類似的題型.它們有一個共同的特征，就是題中涉及的兩個平面向量直接求數(shù)量積一般比較困難，所以其求數(shù)量積的解法一般可以分為兩種思路：一是利用平面向量的基本定理轉(zhuǎn)化來優(yōu)化計算；二是通過建立坐標(biāo)系，用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決.本文就針對求平面向量數(shù)量積的一類問題，提出自己的簡化公式，尋求解決問題的捷徑.

1.引例

本題求解的關(guān)鍵和難點是向量之間的線性轉(zhuǎn)化，它著重考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，解題的策略就是對兩個無直接關(guān)聯(lián)的平面向量轉(zhuǎn)化為其他平面向量，進(jìn)而通過數(shù)量積運(yùn)算得出結(jié)論.

若用向量轉(zhuǎn)化或者坐標(biāo)法，本題的解答過程都較為繁瑣，利用以上公式解答本題時可以很好利用CD=2的特征，使原來求向量數(shù)量積的范圍的問題轉(zhuǎn)化為求線段OF距離的問題.

由以上應(yīng)用可知，解答一類平面向量數(shù)量積的問題，可以利用本文提出的公式來簡化向量的轉(zhuǎn)化，事實上公式本質(zhì)仍源于平面向量基本定理的轉(zhuǎn)化.當(dāng)然對于公式的發(fā)現(xiàn)探討應(yīng)更側(cè)重于結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和引申過程.特別是給學(xué)生介紹時，淡化其結(jié)論的記憶過程，使學(xué)生更加能獨立地培養(yǎng)自己歸納、提煉、應(yīng)用的能力.