關(guān)于反函數(shù)的不定積分

劉暢

【摘要】探討了求反函數(shù)不定積分的一些方法，給出了反函數(shù)不定積分公式的嚴(yán)格證明.

【關(guān)鍵詞】反函數(shù)；不定積分；中值定理

【中圖分類號(hào)】O172

不定積分為求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，在求導(dǎo)法則中我們知道函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)[1].那么函數(shù)的不定積分與反函數(shù)的不定積分之間具有什么關(guān)系呢？文[2]～[4]分別利用分部積分法和幾何圖示法給出了反函數(shù)的不定積分計(jì)算公式，但其論證是不嚴(yán)密的，分部積分法需要假定函數(shù)的可導(dǎo)性，幾何圖示法依賴于幾何直觀，不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的要求. 文[5]借助于定積分的定義給出了反函數(shù)積分公式的一個(gè)嚴(yán)格證明，但論證過程較繁瑣.本文利用連續(xù)函數(shù)的介值定理和拉格朗日中值定理給出反函數(shù)積分公式的一個(gè)簡(jiǎn)單證明.

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