例析法向量在立幾距離問(wèn)題中的應(yīng)用

何廣文

新課標(biāo)指出“幾何發(fā)展的根本出路是代數(shù)化，引入向量研究是幾何代數(shù)化的需要”.隨著平面法向量這個(gè)概念在新教材的引入，應(yīng)用平面法向量解決立體幾何中空間線面位置關(guān)系的證明、空間角和距離的求解等高考熱點(diǎn)問(wèn)題的方法更具靈活性和可操作性，其主要特點(diǎn)是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，無(wú)需考慮如何添加輔助線，避開(kāi)抽象的幾何推理和繁雜的幾何計(jì)算，使解題更顯簡(jiǎn)潔明了.但在現(xiàn)行教材中，對(duì)法向量只是作了一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，沒(méi)有它在解題當(dāng)中的具體應(yīng)用.下面我僅就法向量在立體幾何有關(guān)距離問(wèn)題中的應(yīng)用舉例說(shuō)明.

一、利用法向量求點(diǎn)到平面的距離

解首先把要求的線線距離轉(zhuǎn)化為求線面距離再把它轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離.具體轉(zhuǎn)化如下：過(guò)其中一條直線作平面使這一平面與另一條直線平行，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求直線到平行平面的距離問(wèn)題了，我們利用前面例2的方法使問(wèn)題得到了解決.連接AB1，DC1，由AB1∥DC1得直線DC1∥平面AD1B1，這樣兩異面直線D1A和DC1的距離就轉(zhuǎn)化為求直線DC1到與它平行平面AD1B1的距離了，而直線DC1到與它平行的平面AD1B1的距離又等于點(diǎn)D到平面AD1B1的距離.所以設(shè)平面AD1B1的法向量為n=（x，y，z），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1-xyz，由例1的解題過(guò)程得到直線D1A與DC1的距離為43.

總之，利用法向量在解立體幾何中的距離問(wèn)題時(shí)，首先要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出它們相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，再由法向量與平面內(nèi)兩相交的兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，建立等量關(guān)系，取不定方程組的一組解，寫(xiě)出法向量，最后用平面外一點(diǎn)到平面的距離公式d=|PA|·cos=PA·nn求出距離.