不等式的證明方法與小結(jié)

陳芙蓉

摘 要 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，不等式的證明始終為一難點(diǎn)。究其原因，是因?yàn)樽C明沒(méi)有固定程序可循，技巧多樣，方法靈活，難度較高。為此，本文通過(guò)對(duì)不等式證明方法的總結(jié)（并舉例予以說(shuō)明），讓學(xué)生更好的掌握各種證明方法的實(shí)質(zhì)及其適用范圍。

關(guān)鍵詞 不等式 方法 證明

不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題。它揭示了現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的量與量之間的不等關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)活動(dòng)中有著重要的作用。就知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系而論，不等式也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)方程等知識(shí)必不可少的基礎(chǔ)，不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，都將直接或間接地用到不等式的知識(shí)。本文，將就不等式學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)——不等式的證明方法探討一下。

一、比較法證不等式

比較法是證明不等式的最基本最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算順序的直接運(yùn)用。比較法可分為差值比較法（簡(jiǎn)稱求差法）和商值比較法（簡(jiǎn)稱求商法）兩種。

（1）差值比較法

差值比較法的理論依據(jù)是不等式的性質(zhì)：“ ”，其一般步驟為：1）作差：察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看成一個(gè)整體；2）變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形?；蜃冃螢橐粋€(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)的平方等等（其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段）；3）判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。

商值比較法的理論依據(jù)是：“若”，其一般步驟為：1）作商：將左右兩邊作商；2）變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；3）判斷商與1的大小關(guān)系（就是判斷商大于1或小于1）。

二、分析法證不等式

分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問(wèn)題。其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。

用分析法證明的邏輯關(guān)系為：。書(shū)寫(xiě)的模式是為了證明命題B成立，只需證明命題為真，從而有……，這只需證明為真，從而又有……，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證明模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

三、綜合法證不等式

綜合法是利用已知事實(shí)（已知條件、重要不等式或已證明的不等式）作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式。其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

四、反證法證不等式

有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮。即要證明不等式A > B，先假設(shè)，由題設(shè)及其它性質(zhì)推出矛盾，從而肯定A > B。

五、換元法證不等式

換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量比較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式，這時(shí)可引人一個(gè)或幾個(gè)變量進(jìn)行代換以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。

六、放縮法證不等式

放縮法是要證明不等式A < B 成立不容易，而借助一個(gè)或多個(gè)中間變量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的依據(jù)主要有：

不等式的傳遞性；

等量加不等量為等量；

同分子（分母）異分母（分子）的兩個(gè)分式大小的比較

七、數(shù)學(xué)歸納法證不等式

用數(shù)學(xué)歸納法證不等式主要是證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式。

八 利用已知不等式法證不等式

用已經(jīng)成立的不等式來(lái)證明不等式，往往可以收到事半功倍的效果，在我們學(xué)習(xí)中，常用的幾個(gè)重要的不等式有Canthy 不等式，Jensen不等式，平均不等式，Bernoulli不等式等，熟悉并利用它們，在我們證明不等式的過(guò)程中是十分必要的。

以上是不等式證明中常用的幾種方法，分別予于了說(shuō)明。但由于關(guān)于不等式證明的問(wèn)題其題型多變、技巧性強(qiáng)，加上無(wú)固定的規(guī)律可循，所以在對(duì)一題的證明中，往往不是用一種方法就能解決，而是各種方法的靈活運(yùn)用，因此難度較大。本文是對(duì)不等式證明方法的終向剖析，要想更好的了解不等式的證明，也需要我們將其證明方法橫向比較，較其優(yōu)劣，爭(zhēng)取在解題中尋找較簡(jiǎn)便的方法。

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（作者單位：湖北省襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）