基于位置與速度控制的插齒策略及虛擬加工*

劉有余 韓 江

(①合肥工業(yè)大學(xué)CIMS 研究所，安徽 合肥230009;

②安徽工程大學(xué)先進(jìn)數(shù)控和伺服驅(qū)動技術(shù)安徽省重點實驗室，安徽 蕪湖241000)

齒輪是一類量大面廣的基礎(chǔ)件，國內(nèi)外學(xué)者針對高精高效制造技術(shù)一直進(jìn)行積極探索，有些是對現(xiàn)有加工方法的改進(jìn)或加工設(shè)備的改良［1］，有些致力于開發(fā)新型齒輪制造方法［2］。綜合來看，滾齒、插齒等高效率加工方法仍是大批大量生產(chǎn)之首選。相對滾齒，插齒所得齒形精度更高，后齒面粗糙度值更小;特別是多聯(lián)齒輪、內(nèi)嚙合齒輪，插齒幾乎是不可替代的高效加工方法。

目前，以美國Gleason 系列插齒機(jī)為代表的國外插齒數(shù)控系統(tǒng)已達(dá)到較高水平。然而，國內(nèi)業(yè)界較多關(guān)注機(jī)床本體的研制，高附加值的數(shù)控系統(tǒng)則由國外購置，限制了我國裝備制造業(yè)的發(fā)展。相對于傳統(tǒng)插齒機(jī)的性能改造［3］，實施“數(shù)控一代”機(jī)械產(chǎn)品創(chuàng)新工程，研制高性能數(shù)控插齒機(jī)，實現(xiàn)產(chǎn)品的升級換代更有現(xiàn)實價值。

1 插削原理及其運動

如圖1 所示，插削外嚙合斜齒輪時，插齒刀與齒坯的運動遵循外嚙合斜齒輪嚙合原理，構(gòu)成展成運動，即插齒刀與齒輪的節(jié)圓為純滾動［4］。插齒刀旋轉(zhuǎn)的同時還沿軸向作向下插削主運動。為形成斜齒輪螺旋角βc，齒坯或插齒刀需有附加轉(zhuǎn)角運動，由于插齒刀及主軸的轉(zhuǎn)動慣量小于齒坯及工作轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量，為便于控制，在插齒刀上附加轉(zhuǎn)角運動。內(nèi)嚙合斜齒輪的插削與此類似，不同點在于插齒刀與齒坯為同向展成［5］。

2 位置控制插齒策略及虛擬加工

(1)插齒策略及聯(lián)動模型

位置控制插齒策略指控制各插削運動軸的位移或角度值，即以各聯(lián)動軸的位置離散點為控制目標(biāo)，這些離散點之間以直線或角度插補(bǔ)［6］逼近。采用圓光柵檢測轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)角φc，轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號，作為基頻［7］之一，插齒刀轉(zhuǎn)角φb相對其聯(lián)動;采用直線光柵尺檢測插齒刀主軸垂直位移sz，轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號，作為基頻之一，插齒刀附加轉(zhuǎn)角Δφb相對其聯(lián)動。

根據(jù)展成原理［5］，得

式中:Zc為齒輪齒數(shù)，Zb為插齒刀齒數(shù)。

根據(jù)斜齒輪特征，插齒刀主軸向上或向下移動一個插齒刀螺旋線導(dǎo)程，插齒刀附加轉(zhuǎn)動1 周［5］。如圖2 所示，插齒刀分度圓附加轉(zhuǎn)動弧長Δsb與sz為正比關(guān)系

式中:βb為插齒刀螺旋角，βb= -βc;db為插齒刀分度圓直徑;Δφb為插齒刀附加轉(zhuǎn)角。

對βb和βc取絕對值，插齒刀分度圓直徑為

式中:mn為斜齒輪法向模數(shù)。

式(3)代入式(2)，簡化為據(jù)式(1)和式(4)，斜齒輪插削位置控制模型為

式中:插齒刀螺旋線旋向與其轉(zhuǎn)動方向一致時取“-”，反之取“+”;為插齒刀合成轉(zhuǎn)角。

對內(nèi)嚙合斜齒輪，βb=βc，同理可得插削位置控制模型見式(5)，且正負(fù)號的選取與內(nèi)嚙合斜齒輪插削相同。

(2)虛擬插削驗證

當(dāng)βc=0 時，斜齒輪轉(zhuǎn)化為直齒輪，式(5)仍可應(yīng)用于直齒輪的插削。本文分別以外嚙合直齒輪、左旋斜齒輪、右旋斜齒輪及內(nèi)嚙合直齒輪、左旋斜齒輪、右旋斜齒輪為例，采用Matlab 進(jìn)行虛擬插削，驗證插齒刀軌跡包絡(luò)齒廓的正確性。齒輪、插齒刀幾何參數(shù)及插削工藝參數(shù)見表1。其中nc為齒坯轉(zhuǎn)速，vz為插齒刀沖程速度。

位置控制插齒策略采用自動編程思想［8］進(jìn)行實現(xiàn)，首先根據(jù)工藝參數(shù)及齒輪幾何參數(shù)，按式(5)用計算機(jī)運算出sz、φc及φ*b位置數(shù)據(jù)，生成txt 文件，該文件通過DNC 輸入到CNC 裝置，經(jīng)CNC 插補(bǔ)，控制相應(yīng)軸的位置來實現(xiàn)插削加工。如圖3 所示，本文的虛擬插削讓齒坯靜止，插齒刀繞齒坯公轉(zhuǎn)，在圖形空間里顯示出插齒刀刀位軌跡。圖中γb為插齒刀公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角;為插齒刀總轉(zhuǎn)角。此時，齒坯轉(zhuǎn)角φc轉(zhuǎn)換為γb，合成轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換為等價合成轉(zhuǎn)角，有下列關(guān)系

式中:外嚙合齒輪插削取“+”，反之取“-”。

Matlab 讀取txt 文件數(shù)據(jù)后，按式(6)、(7)換算出γb和，并控制虛擬插齒刀按(sz，γb，)位置運動。各齒輪的虛擬插削刀具軌跡如圖4 所示，可見，各類齒輪均能采用位置控制插齒策略加工，控制模型正確可用。

表1 齒輪、插齒刀幾何參數(shù)及插削工藝參數(shù)

3 速度控制插齒策略及虛擬加工

(1)插齒策略及聯(lián)動模型

速度控制插齒策略指實時控制各插削運動軸的速度或角速度，即以電子齒輪箱控制各插削軸始終保持嚴(yán)格聯(lián)動關(guān)系。由于速度是位置對時間的微分，由式(5)得

為便于工程應(yīng)用，將式(8)轉(zhuǎn)化為

式(9)即為斜齒輪插削速度控制模型，可應(yīng)用于外嚙合或內(nèi)嚙合斜(直)齒輪插削加工。

(2)虛擬插削驗證

速度控制插齒策略采用電子齒輪箱［7］進(jìn)行實現(xiàn)，將聯(lián)動控制模型(9)固化到數(shù)控系統(tǒng)中，從人機(jī)界面輸入齒輪、插齒刀幾何參數(shù)及插削工藝參數(shù)，CNC 裝置即可按聯(lián)動要求控制各軸精確運動。

速度控制策略虛擬插削也采用表1 所示參數(shù)，插削6 種典型齒輪。與位置控制策略方法類似，令齒坯靜止，插齒刀繞齒坯公轉(zhuǎn)，在圖形空間里顯示插齒刀刀位軌跡。對式(6)、(7)微分并進(jìn)行單位換算，得

式中:υb為插齒刀公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，r/min，為插齒刀等價合成轉(zhuǎn)速，r/min。

Matlab 按表1 參數(shù)及式(9)、(10)、(11)計算出各時刻的(vz，υb，N*b)，分別對時間積分即可獲得虛擬插削刀具軌跡，如圖5 所示。可見，各類齒輪均能采用速度控制插齒策略加工，控制模型正確可用。

相對圖4，圖5 中各對應(yīng)齒輪的插削，由于以速度或角速度為控制對象，各軸在連續(xù)的位置上均滿足展成運動要求，加工精度更高;而位置控制策略對相鄰的微位置線段采用直線或角度插補(bǔ)，則在此微線段內(nèi)各軸的運動并非按照聯(lián)動模型進(jìn)行，存在一定原理誤差，故精度相對較低。

4 結(jié)語

(1)基于展成運動原理，根據(jù)插削運動特征及聯(lián)動關(guān)系，研究位置控制和速度控制插齒策略，建立相應(yīng)聯(lián)動模型，分別采用虛擬插削進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果顯示:6 種典型齒輪均能采用2 種插齒策略進(jìn)行加工，控制模型正確可用。

(2)虛擬插削揭示:速度控制策略可確保各軸在連續(xù)的位置上均滿足展成運動要求，加工精度更高;位置控制策略存在一定原理誤差，精度相對較低。

(3)所建立的插削策略及模型可應(yīng)用于插齒數(shù)控系統(tǒng)的開發(fā)，虛擬插削結(jié)語對開發(fā)方案的選取有指導(dǎo)價值。

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