斐波那契數(shù)列的研究與應用

摘 要：斐波那契數(shù)列是由著名的意大利數(shù)學家斐波那契提出的兔子問題引發(fā)而生的。它一經(jīng)被提出就受到了社會的廣泛關注，經(jīng)過人們的不懈努力，發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列不可估量的重要作用。文章將對斐波那契數(shù)列進行簡單的介紹，然后探討一下斐波那契數(shù)列的重要學術意義和實用價值。

關鍵詞：斐波那契數(shù)列；研究

意大利數(shù)學家斐波那契，出生在一個富商家庭，是12世紀歐亞之間數(shù)學交流的重要使者。他涉及的數(shù)學領域非常廣泛，對數(shù)學的發(fā)展有著重要的影響。他在1202年的著作《計算之書》中，提出了“生小兔問題”。此問題一經(jīng)提出，受到了人們的廣泛關注。從這個十分簡明的遞推關系出發(fā)，竟引出了一個充滿奇趣的數(shù)列，它不僅與幾何圖形、黃金分割、楊輝三角等數(shù)學知識、植物生長等自然現(xiàn)象有著非常微妙的聯(lián)系，還在優(yōu)選法、計算機科學等領域有著廣泛的應用。文章首先對斐波那契數(shù)列的產(chǎn)生背景進行介紹。

1 斐波那契數(shù)列的產(chǎn)生背景

Fibonacci數(shù)列是由意大利的數(shù)學家斐波那契提出的兔子問題引發(fā)而生的。斐波那契出生在比薩的一個富商家庭，是十二世紀歐亞之間數(shù)學交流的重要使者。他是歐洲黑暗時期過后第一個有影響的科學家。他涉及的數(shù)學領域非常的廣泛，他在1202年寫成的《計算之書》中，提出了兔子問題，即：若每一對成兔每月生一對幼兔（一雌一雄），幼兔經(jīng)過二個月后成為成兔，即開始繁殖，試問年初的一對幼兔（沒有死亡疾?。┮荒旰竽芊敝吵啥嗌賹ν米樱克陌俣嗄旰?，荷蘭數(shù)學家（吉拉爾）注意到與兔子問題有關的數(shù)列的一般遞推關系式un=un-1+un-2，后來這個數(shù)列被F.E.A.Lucas首先命名為Fibonacci數(shù)列。

2 斐波那契數(shù)列的應用

2.1 黃金數(shù)與斐波那契數(shù)列

2.1.1 黃金數(shù)w=0.618…與斐波那契數(shù)列{un}之間有關系式：

2.1.2 黃金數(shù)與幾何圖形的聯(lián)系

（1）黃金三角形簡介

定義：底與腰之比為w的等腰三角形。它有很多特殊的性質(zhì)，這里就不再贅述。

（2）黃金橢圓簡介

定義：設c為橢圓的焦半徑（c2=a2-b2），若以c為半徑的圓（稱為該橢圓的伴隨焦點圓）的面積與橢圓的面積相等，則，且稱此種橢圓為黃金橢圓。類似的還有黃金矩形等等。

2.2 楊輝三角形與斐波那契數(shù)列

楊輝三角形按一定的規(guī)律排列，并且豎列相加（不進位），則得到斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，…

2.3 斐波那契數(shù)列在定理證明上的應用（略）

2.4 斐波那契數(shù)列在優(yōu)選法上的應用（略）

2.5 斐波那契數(shù)列與數(shù)學拼圖

把一個邊長為8的正方形按如圖1所示的方式剪裁（沿圖中的粗線），然后拼成如圖2所示的矩形，

圖1 圖2

拼后我們發(fā)現(xiàn)原來正方形的面積為S正=8×8=64，而得到的矩形的面積為S矩=13×5=65，用原圖形拼接的圖形的面積為何多出一個單位面積呢？細心的話，會有人親自動手剪一下拼接，會發(fā)現(xiàn)用圖1拼接出的矩形中間是有一段縫隙的，如圖2所示。

通過觀察我們發(fā)現(xiàn)正方形、長方形的邊長分別為8、5、13，調(diào)換一下位置變成5、8、13，則它們恰好為斐波那契數(shù)列中相鄰的三項，由斐波那契數(shù)列的性質(zhì)2，即n，這里面的un-1un+1相當于上面拼圖問題中的矩形的面積，u是正方形的面積，所以很容易便解釋了上述拼圖中出現(xiàn)的問題。

2.6 斐波那契數(shù)列與生活、自然界的聯(lián)系

斐波那契數(shù)列與自然界也有著緊密的聯(lián)系。下面舉出幾個例子加以說明。

2.6.1 斐波那契數(shù)列與樹木的生長

樹木在生長過程中，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。換句話說，樹枝的繁衍方式是按照斐波那契數(shù)列增長的。這個規(guī)律，就是生物學上著名的“魯?shù)戮S格定律”。同樣，許多植物的花瓣數(shù)目也具有斐波那契數(shù)。

2.6.2 斐波那契數(shù)列與臺階問題

有一個樓梯，要求一次最多只能邁兩個臺階。若有一個臺階時，只有一種走法，我們把它記為F1=1；若有兩個臺階，則有兩種走法，即一階一階的走，記為（1，1），一步兩階的走，記為（2），即F2=2；若有三個臺階，則有三種走法，即（1，1，1）、（1，2）、（2，1），記為F3=3；若有四個臺階，則有五種走法，即即我們所熟悉的斐氏數(shù)列。

2.6.3 斐波那契數(shù)列與雄蜂家族、鋼琴鍵盤

在蜜蜂王國里，有著明確的分工。只有一只雌蜂能產(chǎn)卵，被稱作蜂后，其余的雌蜂都為工蜂。蜂后與雄峰交配后產(chǎn)下蜂卵，大部分是受精卵，其孵化后為雌蜂，少數(shù)的未受精卵經(jīng)孵化后成為雄蜂。如果追溯一只雄蜂的家系，它的任何一代的祖先數(shù)目都為斐波那契數(shù)列中的數(shù)。

2.6.4 斐波那契數(shù)列與植物的葉序

植物的葉序即植物生長過程中葉、花、果在莖上的排列順序，開卜勒對此進行了研究，他指出植物葉子在莖上的排列，對于同一種植物是有一定的規(guī)律的，如果把位于莖周同一母線位置的兩片葉子叫做一個周期，則將是一個特定的值，它與植物的品種有關。

此外斐波那契數(shù)列在很多數(shù)學問題當中也有著廣泛的體現(xiàn)，比如概率問題、代數(shù)問題等等。以上即為本人在學習斐波那契數(shù)列的心得與總結(jié)，由于知識有限，會有一些紕漏與疏忽之處，望指正！

參考文獻

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[2]李勇，姜學文，蔣伯浩.關于斐波那契數(shù)列性質(zhì)的簡單證法及其推廣應用[J].太原教育學院學報.

[3]閆萍，王見勇.斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)[J].高等教學研究.

作者簡介：賈菲菲，哈爾濱師范大學，教師教育學院，學科教學（數(shù)學）專業(yè)，2012級研究生，籍貫：黑龍江省齊齊哈爾市。