交流電機繞組的氣隙磁勢與電勢計算

謝寶昌

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240)

交流電機繞組的氣隙磁勢和電勢計算是“電機學”課程中交流電機的基本內容，是研究和分析異步電機和同步電機的理論基礎。兩者計算方法既具有相似性又具有差異性，既要緊緊圍繞交流繞組的排列和連接規(guī)律，又要靈活分析抓住本質。只有讓學生對交流繞組排列規(guī)律、三相對稱電流與氣隙旋轉磁場表達形式有清晰認識，才能很好地理解氣隙磁勢與氣隙磁場的關系。學生應該明白計算氣隙磁勢的重要性，理解氣隙磁勢和繞組相電勢計算的方法，同時明確各相繞組空間軸線(相軸)的位置，電勢與產(chǎn)生電勢的磁場相位關系。我們在計算中引入的短距、分布和繞組系數(shù)的含義，逐步建立起用等效三相整距集中繞組作為單元電機分析交流電機的理論依據(jù)。

本文推導了三相交流繞組磁勢時空函數(shù)和相電勢瞬時值表達式，彌補了“電機學”教材分析中將幅值與空間或時間相位分離的不足［1，2］。

1 三相對稱繞組的實現(xiàn)

三相對稱繞組不僅空間排列要對稱，而且通過連接方式實現(xiàn)正弦旋轉磁場下的電壓、電流和電勢在時間上也是對稱的，即滿足圖1的對稱耦合關系。

圖1 對稱性耦合關系

為簡化分析，我們假設每個線圈結構和匝數(shù)相同且空間均勻分布;每極每相槽數(shù)為整數(shù);氣隙均勻且很小，忽略氣隙磁場徑向不均勻性;鐵芯相對磁導率無窮大，槽內導體集中在槽口中心位置。

電樞鐵芯沖片均勻分布齒槽。設第一個槽中心空間電角為零，編號為k的槽空間電角表示為

其中，槽間電角α=2πp/Z，極對數(shù)p和槽數(shù)Z。

線圈空間電角等于線圈有效邊所在槽空間電角平均值，那么線圈軸線電角 γk=(θk+θk+y)/2，其中線圈兩有效邊之間的節(jié)距為y槽。

用槽空間電角和節(jié)距系數(shù)β=2py/Z表示為

槽分配要對稱，分母D不能為相數(shù)m的倍數(shù)。對稱繞組的槽分配原則是將N盡可能均勻的分為D等分所獲得的循環(huán)序列。例如三相四極15槽電樞，q=5/4，槽分配循環(huán)序列是2111。

本文討論整數(shù)槽雙層繞組，D=1，連續(xù)q=N個槽分配給一相帶的上層邊，下層邊由線圈節(jié)距確定。三相對稱繞組上層邊槽號k分配規(guī)律如下:

線圈連接規(guī)律是每極下各相帶內線圈依次串聯(lián)構成極相組，相鄰磁極同相極相組線圈可以反相并聯(lián)或串聯(lián)，但每條并聯(lián)支路上的線圈數(shù)必須相同。

2 氣隙磁勢計算

三相對稱繞組氣隙磁勢由三相對稱電流產(chǎn)生，各相電流為時間正弦波且三相對稱，統(tǒng)一表示為

現(xiàn)在，我們定義氣隙磁勢為氣隙磁場由轉子到定子磁位降:

其中，氣隙處轉子半徑為Rr，定子電樞半徑為Ra。

由上式可知，計算氣隙磁勢空間分布間接地獲得了氣隙磁場空間分布。為此引入與線圈相關聯(lián)的波形函數(shù)，它是以2pπ電角為周期的函數(shù)，線圈有效邊所在位置發(fā)生單位階躍突變，一個周期內正負半波面積相同，如圖2所示。

圖2 波形函數(shù)

波形函數(shù)表示1匝線圈1A電流產(chǎn)生的氣隙磁勢，該空間對稱的周期函數(shù)經(jīng)過傅立葉分解得到

根據(jù)上式具有Nk匝且電流為ik(t)的線圈產(chǎn)生的磁勢空間分布表示為

它是時間和空間變量分離的波形，時間和空間都具有周期性。根據(jù)上式得到三相雙層對稱交流繞組氣隙磁勢空間分布為

整數(shù)槽繞組每相每極q個連續(xù)線圈串聯(lián)構成極相組，因此極相組內線圈電流相同，但同相相鄰兩個極相組電流相反;不同相繞組電流對稱，60°相帶繞組極相組空間依次按照AZBXCY排列，三相磁勢可以按照不同相，不同極相組和不同磁極分別求和計算，設極距 τ=Z/2p，令K=2nq+1+l+kτ，則上式轉化為

其中，a為每相繞組的并聯(lián)支路數(shù)。

設交流繞組每相串聯(lián)匝數(shù)W=2pqNc/a，則將式(10)和式(11)代入式(9)得到

將式(12)空間變量用復數(shù)表示，并考慮到上式中變量n，l和k是可以通過復指數(shù)乘積分離的，交換求和次序，得到一相繞組磁勢表示形式:

其中，A相繞組相軸位置 θ=γ1+(q－1)α/2，繞組系數(shù)kwv=kyvkqv，短距系數(shù)kyv=sin(vβπ/2)，分布系數(shù)kqv=sin(vqα/2)/qsin(vα/2)。

上式說明每極每相一個線圈產(chǎn)生的氣隙磁勢是以2電角度為周期的奇數(shù)次正弦波之和，不存在偶數(shù)次和分數(shù)次諧波磁勢。

對于分數(shù)槽繞組，由于每相每極下線圈空間分布既不對稱也不均勻，因此除了基波磁勢和整數(shù)次諧波磁勢，還含有分數(shù)次諧波磁勢，即以2πD/p機械角為周期的自然數(shù)次磁勢波各分量。

一相磁勢基波幅值所在位置稱為相軸，相軸位置與起始線圈空間位置關系

式(14)表明每相繞組產(chǎn)生的氣隙磁勢是隨電流交變的所有奇數(shù)次脈振磁勢波之和。將相電流式(4)化為復數(shù)形式

上式表明每個脈振磁勢波又可以分解為兩個幅值和轉速相同而轉向相反的旋轉磁勢波。三相合成正、反轉磁勢波的存在性取決于各相電流時間初始相位φn，繞組相軸空間相位θn和磁勢波次數(shù)v值。

對于基波v=1，時間正相序，空間正相序，順時針旋轉各相旋轉磁勢相位互差2π/3而抵消，合成磁勢逆時針以同步速旋轉，由式(17)得到

上式表明三相合成基波磁勢幅值所在位置總是超前A相繞組軸線位置電流時間相位角。

對于三次及其倍數(shù)次諧波v=2mN－m，時間正相序，空間同相位，正、反轉磁勢與合成磁勢都為零。

對于v=2mN－1次諧波，時間正相序，空間反相序，逆時針旋轉各相磁勢相位互差2π/3而抵消，順時針旋轉各相相位相同，合成磁勢為

對于v=2mN+1次諧波，時間正相序，空間正相序，順時針旋轉各相磁勢互差2π/3而抵消，逆時針旋轉各相磁勢同相位，合成磁勢為

式(19)和式(20)表明v=2mN±1次諧波磁勢的轉速只有三相合成基波磁勢轉速的1/v，削弱5次和7次等低次諧波磁勢是繞組設計主要考慮因素。如β=4/5可以消除5次諧波，β=5/6可以同時削弱兩者。

3 相電勢計算

時空正弦波旋轉磁場分兩類氣隙磁場:磁極磁場和電樞磁場。它們產(chǎn)生的電勢是不同的。

磁極磁場只有奇數(shù)次正弦波且空間轉速相同

其中，電樞直徑為Da，軸向有效長度為lfe，線圈電勢與線圈邊所在磁感應強度之差呈正比。

線圈空間相位轉變?yōu)殡妱萦嬎愕臅r間初相位。

考慮到式(22)，則上式用復數(shù)表示為

線圈電勢等于槽電勢之差乘以線圈匝數(shù)，滯后的時間初相位取決于槽所在磁場空間相位。

將式(2)和式(22)代入上式并化簡后得

4 電勢與磁勢的關聯(lián)性

磁勢與電勢計算中都出現(xiàn)短距、分布和繞組系數(shù)，它們將電勢和磁勢緊密聯(lián)系在一起，本質是將三相對稱短距分布整數(shù)槽繞組等效成三相集中整距繞組，具有極對數(shù)個單元電機，因此對于基波來說只要分析2π電角度三相集中整距繞組。

基波和奇數(shù)次諧波具有如下的物理意義:

(1)短距系數(shù)的物理意義是:將短距線圈等效成軸線位置不變的整距線圈引起的等效匝數(shù)之比。也等價于正弦波氣隙磁場中實際線圈磁通(磁鏈，電勢)與相同匝數(shù)整距線圈磁通(磁鏈，電勢)之比:

(2)分布系數(shù)的物理意義是:將分布線圈等效成軸線位置不變的集中線圈引起的等效匝數(shù)之比。也等價于正弦波氣隙磁場中實際分布線圈極相組磁鏈(電勢)與總匝數(shù)和軸線相同的集中線圈磁鏈(電勢)之比:

(3)繞組系數(shù)的物理意義是:將極相組等效成相軸位置不變的整距集中線圈引起的等效匝數(shù)之比。也等價于正弦波氣隙磁場中實際一相繞組磁鏈(電勢)與相同匝數(shù)整距集中線圈一相繞組磁鏈(電勢)之比。

5 結語

本文從波形函數(shù)出發(fā)，給出了三相合成磁勢空間分布函數(shù)的疊加表達式;然后針對三相對稱整數(shù)槽繞組的線圈排列規(guī)律形成快速計算氣隙磁勢多重和式，并確定各相相軸位置;再利用磁極旋轉磁場的特點獲得線圈電勢，利用繞組連接規(guī)律和空間相位引起線圈電勢相位不同的求和獲得繞組相電勢瞬時表達式，并確定電勢與磁場的相位關系，進一步得到電樞磁場引起的繞組相電勢;最后對繞組系數(shù)的物理意義作了深入分析，并得到如下重要結論:

(1)一個線圈或極相組的磁勢是以2π機械角或2pπ電角為周期。一個線圈的磁勢波形等于波形函數(shù)與線圈匝數(shù)和電流三者乘積，包含所有自然數(shù)次數(shù)的正弦波脈振磁勢，每個正弦磁勢波的幅值位于線圈軸線上。

(2)每相每極一個線圈空間互差π電角組成一個集中子繞組，其磁勢是以2π電角為周期，包含所有基波和奇數(shù)次數(shù)諧波的脈振正弦磁勢波，每個正弦磁勢波的幅值位于線圈軸線。對稱整數(shù)槽繞組每相相當于存在q個集中子繞組，空間依次互差一個槽間電角α。

(3)每個正弦波脈振磁勢都可以分解成幅值和轉速相同而轉向相反的圓形旋轉磁勢，旋轉的電角速度等于電流角頻率與正弦波次數(shù)之比。

(4)三相對稱整數(shù)槽繞組磁勢沒有三次及其倍數(shù)次諧波，只有基波和2mN±1次諧波?；樝嘈蛐D，三相基波磁勢幅值等于每相基波磁勢幅值的3/2倍。2mN+1次諧波與基波轉向相同，2mN－1次諧波與基波轉向相反，n次諧波轉速應是基波的1/n。磁勢幅值與諧波次數(shù)成反比，主要用短距和分布繞組消除或削弱5次和7次氣隙磁勢諧波。

(5)基波電流產(chǎn)生的電樞磁場在自身繞組中感應基波電勢，同步旋轉磁極諧波磁場產(chǎn)生諧波電勢。

(6)三相磁勢計算采用模為幅值且空間相位為復角的一系列復數(shù)求和，相電勢計算采用模為幅值且磁場相位為復角的一系列復數(shù)求和。繞組系數(shù)的物理意義是將實際繞組等效成相軸空間位置不變的極對數(shù)個整距集中繞組單元電機引起的每極每相等效匝數(shù)變化。因此n次波對應的繞組系數(shù)也等價為n次正弦波氣隙磁場在實際繞組一相磁鏈(電勢)與等效整距繞組一相磁鏈(電勢)之比。

［1］許實章，電機學［M］，北京，機械工業(yè)出版社，1982年

［2］周順榮，電機學［M］，北京，科學出版社，2007年