基于小波變換和KICA算法的圖像盲分離

陳 聰，楊平先，方 洋，何庭杰

(四川理工學(xué)院自動化與電子信息學(xué)院，四川 自貢 643000)

引 言

圖像在采集、使用和保存等過程中容易出現(xiàn)噪聲污染、信號疊加等退化現(xiàn)象，而這些影響因素往往都是未知的。盲源分離(Blind Source Separation，BSS)就是在影響因素未知的情況下，根據(jù)輸入的混合圖像信號恢復(fù)與重構(gòu)原始圖像［1］。

目前傳統(tǒng)的分離方法最要是ICA(Independent Component Analysis，獨立分量分析)方法［2-3］，這種方法以非高斯源信號為研究對象，它把各個成分假設(shè)是線性獨立的，因此在處理非線性信號方面存在一定的缺陷。文獻［4］的實驗仿真結(jié)果表明，在無噪聲的情況下，傳統(tǒng)的分離方法都有較好的分離效果，但在有噪聲的情況下，幾種分離效果都不佳。

在圖像去噪方面，小波變換能有效地保持圖像的細節(jié)特征，便于圖像盲源分離的后續(xù)處理。在處理非線性盲源分離問題方面，新興的 KICA(Kernel Independent Component Analysis)［5］算法具有較強的非線性處理能力。

由于傳統(tǒng)的分離方法沒有考慮噪聲存在的情況，因此，本文采用小波變換與KICA算法相結(jié)合來處理有噪混合圖像，并與傳統(tǒng)的ICA算法進行仿真比較。仿真結(jié)果表明，此方法能較好地分離有噪混合圖像。

1 盲源分離問題的描述

盲源分離的描述:假設(shè)存在N個源信號S(t)，其中S(t)={s1(t)，s2(t)，…si(t)…sn(t)}T，i∈［1，n］，t為時域中的采樣點，并假設(shè)各個源信號Si(t)之間相互獨立。當(dāng)N個獨立源信號經(jīng)過某種未知的混合方式與混合矩陣 Am×n相混合，便形成了可觀測的信號 X(t)，X(t)={x1(t)，x2(t)，…，xj(t)，…xm(t)}T，j∈［1，m］。由于源信號的數(shù)目未知，所以觀測信號數(shù)目要大于源信號數(shù)目(即M ＞N)，盲源分離的數(shù)學(xué)表示形式:

式(1)中，A為m×n的未知混合矩陣，n為加性噪聲。在忽略噪聲存在的條件下，盲源分離可表示為:

由于源信號S(t)和混合矩陣A的未知性，想要通過觀測信號X(t)分離源信號S(t)，就是要尋求一個分離矩陣W(t)，然后對觀測信號X(t)進行分離，獲得源信號S(t)的近似估計:

其數(shù)學(xué)形式:

因此，采用不同的分離矩陣W(t)，可以形成了多種盲源分離算法。

2 小波變換

小波變換是一種新興的數(shù)學(xué)工具［6］，它能夠處理時域和頻域中的局部變換，因此小波變換能有效地從信號中提取有用信息。其基本思想是用一族小波函數(shù)系去表示或逼近信號，通過小波母函數(shù)的伸縮與平移產(chǎn)生子波，并用其變換系數(shù)來描述源信號［7］。

小波函數(shù)的表述:

式(4)中函數(shù) ψ(t)為小波母函數(shù)。小波基函數(shù)系{Ψa，b(t)}是由函數(shù)ψ(t)作伸縮和平移變換所得。小波基函數(shù)的性質(zhì)可表示為:

式(5)與式(6)中，

正交函數(shù)族:

式(8)中，a為伸縮系數(shù)，b為平移系數(shù)，a，b∈R2。

則連續(xù)的小波變換為:

小波逆變換為:

為了方便計算機對信號的處理，要將小波變換離散化。當(dāng)伸縮和平移因子選取a=2j，b=2jk，可以得到離散的二進小波變換:

小波變換的實質(zhì)就是把圖像信號分解成不同頻帶的分量，形成LL(水平低頻、垂直低頻)、LH(水平低頻、垂直高頻)、HL(水平高頻、垂直低頻)、HH(水平高頻、垂直高頻)的成分。小波變換具有多分辨率和去相關(guān)特性，使得小波變換能很好的保留圖像的細節(jié)特征。

3 小波域中Kernel ICA算法及其實現(xiàn)

使用傳統(tǒng)的去噪方法，會在去除噪聲的同時損害到圖像的細節(jié)信息。由于小波變換具有去相關(guān)性、多分辨率性和選基靈活性等特點，因此本文選用小波變換對混合圖像進行去噪處理。其去噪的基本思路:通過小波變換把含噪圖像信號分解到多尺度中，對分解得到的小波系數(shù)進行門限閾值量化處理，再對小波作逆變換返回時域，可以實現(xiàn)信號的去噪處理。

小波去噪的關(guān)鍵是如何選擇閾值和怎樣進行門限閾值處理。小波閾值處理方法可分為硬閾值和軟閾值處理。

硬閾值法:

軟閾值法:

式中，Wj，k為噪聲圖像的小波變換系數(shù)，λ為小波閾值:為圖像信號噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，即評價噪聲的強弱。公式(13)中可以看出，軟閾值處理具有一定的平滑作用，故本文采用軟閾值的處理方法。

考慮到圖像信號間的非線性關(guān)系，將KICA分析方法引入到圖像處理領(lǐng)域。其基本思想是利用非線性映射，把原輸入信號空間Rn中的數(shù)據(jù)，通過一個非線性函數(shù)Φ映射到高維特征空間Rm中:φ:x∈Rn→φ(x)∈Rm。經(jīng)過非線性映射，使得信號更加容易提取。KICA的假設(shè)條件［8］:

式(14)中K為核函數(shù)，在滿足該條件的情況下，KICA就是利用核函數(shù)代替兩向量直接的內(nèi)積運算來實現(xiàn)非線性變換。常用的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、Sigmoid核函數(shù)、Poly核函數(shù)。

高斯核函數(shù):

Sigmoid核函數(shù):

Poly核函數(shù):

其中，高斯核函數(shù)具有局部性強的特點，參數(shù)σ越大，外推能力越強。因此本文采用高斯核函數(shù)對圖像進行分析。

具體的小波域KICA算法步驟如下:

(1)對含噪圖像進行小波變換，選擇合適的小波和分解層數(shù)，獲得各層信號和小波分解系數(shù)。

(2)對小波系數(shù)進行非線性處理。對分解后的小波系數(shù)進行閾值量化，獲得有效的小波系數(shù)。

(3)利用二維小波進行小波逆變換，獲得去噪后的重構(gòu)混合圖像。

(4)將混合圖像信號變換為一維數(shù)組X，得到兩個向量的矩陣 X= ［X1，X2］。

(5)給定核函數(shù) Ki，j=K(xi，xj)。

(6)對輸入數(shù)據(jù)作白化處理。

(7)計算中心化Gram矩陣K1，K2，…Km。

(8)計算出分離矩陣Wφ。

(9)由公式(3)求得分解出來的近似信號。

4 計算機仿真實驗

選取了3幅像素為256×256的圖像作為源信號S1，S2，S3，隨機選取了混合矩陣 A3×3:

并對混合圖像施加了高斯噪聲，仿真效果如圖1所示。

為了對分離出的圖像進行質(zhì)量評價，利用信噪比:

其中，PS為信號功率，PN為噪聲功率。對混合圖像的分離結(jié)果作了信噪比的比較結(jié)果見表1。由于信噪比越大，說明信號里的噪聲越小，由表1的數(shù)據(jù)可以驗證，此分離方法能有效地分離有噪源混合圖像。

5 結(jié)束語

圖1 實驗結(jié)果

表1 圖像信噪比比較

本文對含噪混合圖像進行小波消噪處理，有效地消除了混合圖像中的噪聲，保持了圖像的細節(jié)特征，并結(jié)合KICA算法，解決了含噪混合圖像非線性分離的問題。通過本文的方法與傳統(tǒng)的ICA處理方法相比較，從仿真結(jié)果可知，基于小波變換與KICA相結(jié)合的分離效果是顯著的，具有切實的應(yīng)用價值與發(fā)展空間。

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