連續(xù)型全概率公式及其應(yīng)用

王豐效

(喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 喀什 844000)

全概率公式是概率論的重要公式之一，也是教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn).全概率公式［1］是間接計(jì)算概率的重要公式.它是一種介紹如何化解復(fù)雜事件的概率計(jì)算為一系列互不相容的簡(jiǎn)單事件概率計(jì)算的方法.全概率公式內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究［2-5］.利用概率論的基本理論和方法解決概率問(wèn)題的技巧也在相關(guān)文獻(xiàn)中被討論［6-11］.本文利用隨機(jī)事件的全概率公式，分別給出分布函數(shù)形連續(xù)型隨機(jī)變量的全概率公式，并給出了離散型全概率公式和連續(xù)型全概率公式的應(yīng)用.

1 離散型全概率公式和連續(xù)型全概率公式

定理1［1］設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，…是一列互不相容的事件，且∪∞i=1Bi=S，則對(duì)任意事件A有

利用定理1，容易將全概率公式推廣到隨機(jī)變量的情形，從而可得到下面的兩個(gè)定理.

定理 2［2］設(shè)(X，Y)為二維離散型隨機(jī)變量，一切可能取值為(xi，yj)，i，j=1，2，…，則有

稱(chēng)(1)為離散型全概率公式.

定理3 設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y的分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則有

稱(chēng)(2)為連續(xù)型全概率公式.

證明:設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 p(x，y)，X，Y的邊際分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)y(y)，則

由(2)利用對(duì)立事件的概率性質(zhì)易得

推論1 設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y的分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(Y)，則有

推論2 設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意x，y有P(X≤x|Y=y)=P(X≤x).

2 連續(xù)型全概率公式的應(yīng)用

2.1 隨機(jī)變量函數(shù)分布

下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明連續(xù)型全概率公式在解決概率問(wèn)題的應(yīng)用.首先利用連續(xù)型全概率公式給出兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)分布的計(jì)算公式.

例1 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y的密度函數(shù)分別為pX(x)，pY(y).則隨機(jī)變量Z=X+Y的密度函數(shù)為

例2 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y的密度函數(shù)分別為pX(x)，pY(y).則隨機(jī)變量Z=X－Y的密度函數(shù)為

例3 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y的密度函數(shù)分別為pX(x)，pY(y).則隨機(jī)變量Z=X/Y的密度函數(shù)為

解 隨機(jī)變量Z=X/Y的分布函數(shù)為

例4 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，X，Y的密度函數(shù)分別為pX(x)，pY(y).則隨機(jī)變量Z=XY的密度函數(shù)為

上述4個(gè)例子實(shí)際上是分別給出了兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量和、差、積、商的函數(shù)密度的計(jì)算公式.對(duì)于非獨(dú)立的情形也可以類(lèi)似討論.

例5 設(shè)(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)，X，Y的邊際分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則隨機(jī)變量Z=X+Y的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

例6 某射手進(jìn)行射擊，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p(0＜p＜1)，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止.求第二次擊中目標(biāo)所需射擊次數(shù)的分布列.

解 假設(shè)第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)為X，第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)為Y，則隨機(jī)變量Y的可能取值為2，3，….有離散型全概率公式(1)可得

由幾何分布的特性可知 P(Y=j|X=i)=p(1 － p)j－i－1，故

2.2 隨機(jī)變量相關(guān)的概率計(jì)算

利用連續(xù)型全概率公式可以計(jì)算與兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)的形如P(X≤g(Y))概率計(jì)算問(wèn)題.

例7 (Buffon投針問(wèn)題).平面上畫(huà)有等距離平行線(xiàn)，平行線(xiàn)間的距離為a(a＞0)，向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l(l＜a)的針，求針與平行線(xiàn)相交的概率.

解 設(shè)針的下端與下方一條平行線(xiàn)間的距離為X，針與平行線(xiàn)的夾角為Y，則隨機(jī)變量X服從均勻分布，隨機(jī)變量Y服從區(qū)間［0，π］上的均勻分布.

而針與平行線(xiàn)相交等價(jià)于a－X≤lsinY.由投擲的隨機(jī)性可知隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立.故針與平行線(xiàn)相交的概率為

例8 假定兩個(gè)元件的壽命X，Y分別服從參數(shù)為λ和μ的指數(shù)分布，且X，Y相互獨(dú)立，求P(X≤Y).解 由連續(xù)型全概率公式有

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