巧用分解質(zhì)因數(shù)的方法解題

浙江 俞 英

分解質(zhì)因數(shù)在課本中的主要任務(wù)似乎就是為后面的公因數(shù)和公倍數(shù)服務(wù)的。其實(shí)不然，我們可以根據(jù)題意，將一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，并對分解得到的質(zhì)因數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治龊徒M合，就能順利解決許多疑難問題。

【例1】一批工人搬210塊磚，若工人增加6人，那么每人就少搬4塊，原有多少人？

【分析與解】因?yàn)榇u的塊數(shù)是210塊，而且磚的塊數(shù)210=工人人數(shù)每人搬的塊數(shù)，由此可以知道工人人數(shù)是210的一個因數(shù)，我們可以從210入手，把它分解成質(zhì)因數(shù)：210=2357，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系式，磚的塊數(shù)210=工人人數(shù)每人搬的塊數(shù)可知，應(yīng)將210寫成兩個自然數(shù)相乘的形式，我們對210的質(zhì)因數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合可得到7種不同的情況：

再由題中“工人增加6人”可知一個因數(shù)變化后比原來的大6；由“每人就少搬4塊”可知另一個因數(shù)變化后比原來的小4。根據(jù)這個條件，我們可以輕松地從 7種形式中找出符合題意的兩種：210=1021，210=1415，其中比另一種分解形式中的因數(shù)小6的數(shù)就是原來工人人數(shù)，由此得出原來工人的人數(shù)是15。

【例2】俞老師帶一個班的學(xué)生去種樹，學(xué)生恰好被平分成四個小組，并且?guī)熒咳朔N的棵數(shù)一樣多，共種樹667棵，這個班共有學(xué)生多少人？

【分析與解】因?yàn)閹熒咳朔N的棵數(shù)一樣多，種樹的總棵數(shù)667=每人種的棵數(shù)師生人數(shù)，根據(jù)題意可以知道，學(xué)生人數(shù)比師生人數(shù)少1，要求學(xué)生就必須知道師生人數(shù)，而師生人數(shù)是667的一個因數(shù)，所以我們需要將667分解質(zhì)因數(shù)：667=2329。那么質(zhì)因數(shù)23和29中哪個是師生人數(shù)呢？題中“學(xué)生恰好平均分成四個小組”，說明學(xué)生人數(shù)是4的倍數(shù)，也就是說師生人數(shù)少1的數(shù)是4的倍數(shù)，在23和29這兩個質(zhì)因數(shù)中只有29符合這個條件，所以這個班的師生人數(shù)為29，學(xué)生人數(shù)就是29－1=28人。

【練一練】

1.1055名學(xué)生組成迎賓方陣，若每排增加12人，就減少了20排，原來每排有多少人？

2.王師傅帶徒弟們做玩具，徒弟恰好能平均分成三個小組，若每個徒弟都比王師傅少做1個，則師徒共做了507個，徒弟有多少人？