人工凍土單軸抗壓強度灰色理論預測

牛連僧，姚兆明，2，3，亓燕秋

(1.安徽理工大學土木建筑學院，安徽 淮南 232001;2.安徽理工大學凍土力學研究所，安徽 淮南 232001;3.中煤礦山建設集團有限責任公司，安徽 合肥 230000;4.中煤礦山建設集團有限公司淮南凍結(jié)處，安徽 淮南 232001)

凍土的強度一直是凍土力學研究和工程設計、施工所關(guān)注的研究課題。凍土是由土礦物顆粒、膠結(jié)冰、未凍水、水汽及氣所組成的典型的非均勻多相材料，由于各相之間的相互作用，導致凍土表現(xiàn)出的力學性能非常復雜［1］。凍土的單軸抗壓強度是有限、離散的，在研究參數(shù)的影響因子時，一些重塑土樣也無法準確制作，這就需要在已有資料的基礎上進行統(tǒng)計分析，建立相應的數(shù)學模型，對未知樣本進行判斷，并對未來趨勢作出預測。

預測是根據(jù)已有的實際數(shù)據(jù)資料，應用現(xiàn)代的科學理論和方法，以及豐富的經(jīng)驗和和敏銳的判斷力，去探索某事物今后的發(fā)展趨勢，并作出估計和分析，以指導未來的行動的方向，減少未來事物的不確定性，基于灰色系統(tǒng)理論的動態(tài)預測模型，稱為灰色預測，其中應用最廣泛的是GM(1，1)序列預測模型，由于其所需樣本數(shù)量少，計算簡便等優(yōu)點已被廣泛應用于軍事、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟、煤炭工業(yè)等各個領(lǐng)域。為使GM(1，1)預測模型更好的服務于社會的生產(chǎn)實踐，許多專家學者進行了大量的研究工作，并取得了豐碩的成果。

預測的核心問題是預測方法，或者說預測的數(shù)學模型建立。目前，適合中長期預測的方法有回歸模型法、彈性系數(shù)法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡法和灰色模型預測法等?；疑Ｐ妥詣?chuàng)立以來已經(jīng)得到很大程度上的改善，目前已經(jīng)建立了多種初始值和背景值的優(yōu)化方法。但是原有優(yōu)化方法仍然存在需要加以改進的地方。

文獻［2］在基坑邊形預測的灰色二次優(yōu)化模型中，采用對初始值修正的最小二乘法;對時間響應參數(shù)添加修正的解決近似指數(shù)的序列改進GM(1，1)模型;對基坑變形直接建模的二次優(yōu)化的GM(1，1)模型，結(jié)果顯示再次優(yōu)化模型有較高的精度。文獻［3］在基于GM(1，1)改進模型的建筑物沉降預測中，提出了一種同時優(yōu)化背景值和初始條件的GM(1，1)改進模型，并將其應用于對建筑物的沉降變形進行定量分析與即時預報，改進的模型在精度上有了顯著的提高。

文獻［4］通過BP 神經(jīng)網(wǎng)絡法、回歸分析法、灰色預測法等對凍土強度進行預測，得出BP 神經(jīng)網(wǎng)絡法預測的結(jié)果是可靠的。文獻［5］運用神經(jīng)網(wǎng)絡的聲波法預測凍土的抗拉、抗壓強度，把神經(jīng)網(wǎng)絡預測值與回歸方程計算值對比，得出前者優(yōu)于非線性回歸方程計算的結(jié)果。文獻［6］運用遺傳算法與支持向量機相結(jié)合的方法對人工凍土單軸抗壓強度進行預測，并把Sigmoid 核函數(shù)、高斯徑向基核函數(shù)、多項式核函數(shù)的預測結(jié)果進行比較，結(jié)果表明，多項式函數(shù)的遺傳支持向量機預測的結(jié)果較為可靠。以上文獻中對改進的灰色理論在凍土中研究較少，基于此提出了凍土單軸抗壓強度的改進灰色理論預測模型。

在已有實測數(shù)據(jù)的基礎上，應用灰色理論對人工凍土單軸抗壓強度進行預測，針對傳統(tǒng)的灰色模型預測精度不高的情況;增加原始序列的光滑度，將傳統(tǒng)模型的白化方程的時間響應式進行改進;驗證了改進的模型預測精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)模型的精度，為人工凍土單軸抗壓強度試驗提供了可靠的理論保證。

1 灰色理論

灰色預測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，灰色系統(tǒng)模型GM(m，n)是以灰色模塊概念為基礎，以微分擬合為核心建模方法，模型參數(shù)中的m為模型微分方程階數(shù)，n為參與建模的序列個數(shù)，微分方程的階數(shù)越大，計算越復雜，而精度提高則不明顯，因此，通常采用GM(1，1)作為預測模型。

GM(1，1)模型的步驟如下，根據(jù)最小二乘法原理，設原始序列［6－10］

將序列進行累加生成AGO(Accumulating Genaration Operator)的遞增序列為

如果x(1)序列變化過程為指數(shù)曲線，則可建立微分方程為

式中:a為發(fā)展系數(shù)，反映系統(tǒng)發(fā)展趨勢;b為灰作用量反映數(shù)據(jù)的變化關(guān)系。

z(1)(k)序列，稱為白化背景序列。轉(zhuǎn)化得到差分方程組為

用最小二乘法可得方程組的解為

構(gòu)造向量(a，b)稱為一級數(shù)包，記作P1(a，b)的構(gòu)成成分構(gòu)成二級數(shù)包C，D，E，F(xiàn)稱為GM(1，1)二級數(shù)包，記作P2(C，D，E，F(xiàn))，令

從而可求得X(1)序列，再將其累減生成:

利用灰色理論進行建模時，隨著時間的推移，新的數(shù)據(jù)不斷加入到原始數(shù)據(jù)集中，使得原始數(shù)據(jù)越來越大，數(shù)據(jù)處理計算量增大，采用等維建模思想，即當增加一個新的信息時，將其加入原始序列中，同時可以認為最老的信息從一定程度上不能反映模型信息而將其舍去，從而保證序列的維數(shù)不變，建立新的序列的灰色模型，建模輸出及預測誤差將在結(jié)論中給出。

2 GM(1，1)模型的改進

傳統(tǒng)的灰色GM(1，1)模型在短期預測精確度較高，但中長期預測效果并不好，有可能出現(xiàn)預測值偏大的結(jié)果，因此出現(xiàn)了各種改進的模型如:新陳代謝GM(1，1)模型［11］、GM(1，1)殘差模型［12］，為增加原始序列的光滑度，在確定發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b后，將傳統(tǒng)模型的白化方程的時間響應式(5)做下面改進為

還原值為

式中:c為待求參數(shù)。

按照x(0)(k)與模型的擬合值之差平方和最小的原則構(gòu)建函數(shù)F(c)為

令F'(c)=0，可得

將c代入式(11)得

3 灰色模型檢驗

灰色模型能否適用于人工凍土單軸強度的預測，還需進行必要的數(shù)理統(tǒng)計檢驗，其檢驗方法一般有殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗三種。所謂殘差檢驗是對實測值預測值之間的誤差進行的一種逐點檢驗的方法，通過各點的相對殘差值，可以計算出預測模型的精度值P，而后驗查檢驗法是根據(jù)后驗差比值C和小誤差概率P0兩個參數(shù)對所建立的模型劃分精度等級(見表1)，若精度達到了“良好”或以上指標則可利用灰色理論對后期數(shù)值進行預測。

表1 精度檢驗等級

設x1為實際值，x2為模型值，y為殘值，殘差為

相對殘差為

平均殘差為

著作權(quán)又名版權(quán)，它是指文學作品、藝術(shù)作品的首創(chuàng)作者，對其作品享有的所有權(quán)和財產(chǎn)權(quán)。因此，作品本身是作者享有權(quán)利的根本依據(jù)，作品是作者智慧的結(jié)晶，凝聚了作者的心血。

精度為

殘差的均為

殘差數(shù)列的均方差為

實測值數(shù)列均值為

實測值數(shù)列均方差為后驗差檢驗指標:后驗差比值c= s

s12，小誤差

概率

分別采取殘差檢驗和后驗差兩種方法對所建立的模型進行檢驗。

4 灰色模型預測

對淮南某煤礦的人工凍土單軸抗壓強度試驗在自行研制的WDT－100 凍土性能試驗機上進行，試驗機由低溫箱、自動加載系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集儀等組成;試驗裝置最大加載能力為10 噸，精度為0.01。試驗荷載和試驗數(shù)據(jù)全部由計算機根據(jù)設定好的參數(shù)自動控制和采集。試驗分別對1～10 土層凍土試樣進行了3 個溫度水平(－ 5 ℃，－ 10 ℃，－15 ℃)下的單軸抗壓強度試驗，試驗結(jié)果如表2所示，利用灰色模型對各層的－10 ℃，－15 ℃下的強度進行預測。

表2 人工凍土單軸抗壓強度試驗結(jié)果

用預測模型對每層土的－10 ℃，－15 ℃下的人工凍土強度進行預測:－10 ℃，－15 ℃下10 個土層的單軸強度由式(1)、式(2)累加生成遞增序列，然后把序列代入式(6)～式(9)，求出a，b的值，把求得的a，b值代入(5)式，得到的白化響應式為

－10 ℃下的傳統(tǒng)強度白化響應式為

－15 ℃下的傳統(tǒng)強度白化響應式為

最后由式(26)或式(27)得到X(1)序列，由式(11)得到預測值。對于改進的預測值，可把傳統(tǒng)白化響應式的a，b值代入式(12)、式(13)、式(16)，求得改進的灰色理論預測值，預測結(jié)果見表3所示。

對該模型的改進前后進行后差檢驗，可以得到以下結(jié)論:傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的精度是0.84，檢驗指標為0.49;改進的GM(1，1)模型的精度是0.87，檢驗指標為0.43，且達到了精度等級“良好”;由此可知，改進的模型可以應用于人工凍土的單軸強度預測，與傳統(tǒng)的模型相比預測精度明顯提高。

表3 －10 ℃，－15 ℃下的強度試驗值與模型值比較

5 結(jié)論

1)改進的灰色模型GM(1，1)應用到人工凍土單軸強度預測，預測精度明顯高于傳統(tǒng)模型，可以較真實地對人工凍土單軸強度的預測;

2)利用灰色理論進行人工凍土強度預測，須有大量的試驗數(shù)據(jù)，且強度在概率統(tǒng)計的有效范圍之內(nèi);從而保證數(shù)據(jù)的有效性;

3)利用灰色理論對人工凍土強度預測是一種趨勢預測，存在一定的誤差，在實測值序列數(shù)值變化幅度較大時，變得較為凸出，可以采用加密數(shù)據(jù)或建立殘差GM(1，1)的方法對數(shù)據(jù)進行修正。

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