曲柄搖桿機構(gòu)桿長的確定

李宏亮， 侯悅民， 黃民， 王雪雁

（北京信息科技大學(xué)機電工程學(xué)院，北京100192）

0 引言

在機構(gòu)設(shè)計時，我們不但要了解機構(gòu)的內(nèi)在性能關(guān)系，而且要統(tǒng)籌各種性能指標(biāo)，這樣才能獲得良好的設(shè)計。而在平面連桿設(shè)計中，各桿長度不同或點在連桿上的位置不同，連桿點的軌跡則不同，因此，平面連桿機構(gòu)的設(shè)計主要是確定各桿長度比。各桿長度確定以后，各桿相應(yīng)的運動規(guī)律也隨之確定。所以，在設(shè)計平面連桿機構(gòu)之前，我們應(yīng)該首先進行平面連桿機構(gòu)的運動分析。對平面連桿機構(gòu)運動分析的方法有很多種（如解析法、圖解法等）。本文主要采用了速度瞬心法進行了平面連桿機構(gòu)的運動分析，在已知極位夾角θ和搖桿的兩個極點C1、C2的情況下，利用三角形正弦、余弦定理計算出了各桿的長度，得出了不同傳動角下的桿長比。

1 利用速度瞬心法進行平面連桿機構(gòu)運動分析

平面連桿機構(gòu)運動分析是為了了解機構(gòu)的運動性能，用速度瞬心法［1-2］進行運動分析是十分方便的。在執(zhí)行機構(gòu)中，通常要求空回行程比工作行程快一些，以此來提高工作效率，這要求機構(gòu)具有急回特性，所以，本文給出了極位夾角θ作為已知條件之一。用速度瞬心法進行平面連桿機構(gòu)運動分析也主要是研究機構(gòu)在極位時的特性。

設(shè)有一曲柄搖桿機構(gòu)，曲柄AB為原動件，各桿之間直接通過轉(zhuǎn)動副連接，所以，瞬心位置很容易直接確定（即位于各轉(zhuǎn)動副A、B、C、D的中心處），分別記為P12、P23、P34、P41，然而，構(gòu)件 2、4 對應(yīng)的瞬心 P24不能直觀地予以確定。但根據(jù)三心定理，對于構(gòu)件2、3、4來說，P24必在P23及P34的連線上，而對于構(gòu)件2、1、4來說，P24必在P12及P14的連線上，故上述兩線的交點即為瞬心P24。瞬心位置如圖1所示。

如果曲柄AB以等角速度ω2轉(zhuǎn)動，便可以計算得出搖桿轉(zhuǎn)動角速度 ω4、搖桿C點速度vc。

圖1 曲柄搖桿機構(gòu)及瞬心位置

因為已確定的瞬心P24為構(gòu)件2、4的重合點，故有∶

在較多平面連桿機構(gòu)應(yīng)用的場合中，搖桿的運動范圍往往是已知的，那么就會在搖桿工作范圍的兩端形成兩個搖桿的極限位置，分別對應(yīng)著兩個極位C1D、C2D。所以有

根據(jù)式（1），有

圖2 轉(zhuǎn)動極E

經(jīng)分析，P14P24不可能為0，所以，只能，這樣，就得出了瞬心P12和瞬心P24是重合的。所以，搖桿的極點 C1、C2與 A、B兩點一定在同一條直線上。

因此，如果搖桿 的極點 C1、C2兩點位置是已知的，我們可以選取其中一點任做一條不過另外極點的直線。在極位夾角θ或行程速比系數(shù)K確定的情況下，過另外一點做直線使其與水平線相交，兩線交角為 θ。連接極點 C1、C2，過極點C1、C2確定直線的中點做垂線，那么點D必落在這條中垂線上。由此會設(shè)計出無限組連桿機構(gòu)，得出的曲柄搖桿機構(gòu)如圖2所示。

在這無限組連桿機構(gòu)中，有的因為不滿足曲柄搖桿機構(gòu)的桿長條件而被淘汰，有的會因不能保證機構(gòu)傳力性能良好而淘汰，這樣就會得出部分合理的機構(gòu)。然后，根據(jù)我們所需的設(shè)計參數(shù)，選擇出合適的機構(gòu)。

2 各桿桿長關(guān)系的確定［3-5］

通過上述分析，得出搖桿的極點C1、C2與A、B三點共線的結(jié)論，那么它們就會與桿1、桿4構(gòu)成三角形。因此，我們可以通過三角形的余弦定理來確定各桿之間的關(guān)系，主要是利用機構(gòu)在極位時的幾何關(guān)系來建立的。設(shè)桿 2長為 a，桿 3長為 b，桿 4長為 c，桿 1長為H，擺角為φ，極位夾角為θ。

在△AC1C2中根據(jù)余弦定理有：

在△AC2D 中，設(shè)∠AC2D=β，則有：

其中，設(shè)∠B2C2E=α，β＝α－（φ－θ）/2。

因為，在△EC2D中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，很容易得出：

而在 Rt△AB2E 中，設(shè) EB2=h，tan（θ/2）=a/h，則：

所以，在 Rt△EB2C2中，設(shè) BE=h，則 tanα=h/b，故：

而在△DFC2中，因△DC1C2為等腰三角形，故

將式（13）左右兩邊同時除以2c，可得：

圖3 最小傳動角

在機構(gòu)運行構(gòu)成中，搖桿與連桿的夾角∠BCD的大小是變化的，該角即為傳動角γ，為保證機構(gòu)傳動性能良好，應(yīng)使 γmin≥40°～50°。對于曲柄搖桿機構(gòu)，γmin出現(xiàn)在桿1與桿2共線處，如圖3所示。

表1 桿長計算關(guān)系式

通過上面各式，在一些參數(shù)已知的情況下便可計算出各桿桿長。如果搖桿行程、極位夾角已知，我們可以根據(jù)要求自行選擇傳動角。那么根據(jù)上述關(guān)系式便可求出各桿桿長?，F(xiàn)將部分情況列于表1。

3 利用計算機計算各桿桿長

根據(jù)前面建立各桿桿長關(guān)系式，我們通過編寫程序求出了各桿桿長。已知曲柄搖桿機構(gòu)的極位夾角θ＝30°，搖桿的兩個極點距離H＝2.5m。傳動角γ從40°開始以0.2°遞增，在給定曲柄長度的情況下，根據(jù)式（6）、式（14）、式（15）計算出桿4和桿1的長度。

如果給定曲柄長度a=1.15 m，通過式（6）計算得出：b=2.214 8 m。通過式（14）、式（15）聯(lián)立，可求出桿4長c、桿1長d。因為數(shù)據(jù)較多，繪制出在不同傳動角情況下，桿4長c、桿1長d的數(shù)據(jù)曲線，如圖4所示。

圖4 桿長c、d數(shù)據(jù)曲線

我們知道，在設(shè)計時，應(yīng)該注意鉸鏈A點不能選在劣弧段上，否則機構(gòu)將不能滿足運動連續(xù)性要求。因為這時機構(gòu)的兩個極位DC1、DC2將分別在兩個不連通的可行域內(nèi)。所以我們在設(shè)計的時候，所得的β越大越好。而且，隨著鉸鏈A點的下移，傳動角也越來越小，直至為0°，但為保證機構(gòu)傳動性能良好，應(yīng)使 γmin≥40°～50°，因此，β 也會在相對應(yīng)的范圍內(nèi)。

計算出各桿桿長以后，計算擺角φ、β的大小，擺角φ、β的數(shù)據(jù)曲線如圖5所示。

圖5 角β和擺角φ的數(shù)據(jù)曲線

4 結(jié)語

本文主要是在通過給定機構(gòu)極位夾角和搖桿工作位置的情況下，通過簡單的幾何關(guān)系來研究曲柄搖桿機構(gòu)各桿桿長，得出的各桿桿長可為曲柄搖桿機構(gòu)的設(shè)計作為參考。但曲柄搖桿機構(gòu)根據(jù)搖桿上下位置的不同，計算傳動角γ的公式也不同。本文只采用了其中的一種進行了計算，而且是在其中一個桿長已知的情況下進行計算的。在現(xiàn)有的資料中，采用優(yōu)化的方法進行設(shè)計是比較多的，但優(yōu)化設(shè)計的方法極其復(fù)雜，而且，如果建立的模型不合理，或者選擇的優(yōu)化方法不準(zhǔn)確，是很難計算出各桿桿長的。

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