一種剪切波域的稀疏分量分析方法

紀(jì) 建,李 曉

(西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,陜西西安 710071)

一種剪切波域的稀疏分量分析方法

紀(jì) 建,李 曉

(西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,陜西西安 710071)

在圖像盲源分離應(yīng)用中,傳統(tǒng)獨(dú)立分量分析(ICA)方法直接使用圖像混合源作為輸入求得解混矩陣,沒有利用圖像在變換域的稀疏特性,無(wú)法獲得較好的解混效果.針對(duì)這一問(wèn)題,筆者在分析剪切波具有良好稀疏表示能力的基礎(chǔ)上,提出了一種剪切波域的稀疏分量分析方法.該方法首先將圖像混合源變換到剪切波域,得到剪切波系數(shù),接著使用峭度選擇最稀疏系數(shù),最后將稀疏系數(shù)作為ICA方法的輸入實(shí)現(xiàn)圖像分離.由于選擇較少的稀疏系數(shù),問(wèn)題的求解復(fù)雜度有了顯著的降低.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與傳統(tǒng)ICA方法相比,該方法獲得了更好的分離效果,且縮短了算法的運(yùn)行時(shí)間.

盲源分離;獨(dú)立分量分析;稀疏分量分析;剪切波變換

盲信號(hào)分離(Blind Source Separation,BSS)是在源信號(hào)和混合方式未知的情況下,利用混合后的觀測(cè)數(shù)據(jù)求取源信號(hào)的過(guò)程.按照設(shè)定的假設(shè)條件和研究途徑的不同,可以分成獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis,ICA)[1]、因子分析(Factor Analysis,FA)和獨(dú)立因子分析(Independent Factor Analysis,IFA)等若干課題.其中,ICA是在假定源信號(hào)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的基礎(chǔ)上,通過(guò)非正交的線性變換對(duì)源信號(hào)進(jìn)行解混,很大程度上解決了盲信號(hào)分離的問(wèn)題.但是,ICA算法存在分離精度低、收斂速度慢、噪聲魯棒性弱等問(wèn)題,仍然無(wú)法得到很好解決.針對(duì)ICA算法存在的問(wèn)題,文中提出了一種新的獨(dú)立分量分析方法——稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)方法[2].

稀疏分量分析是在獨(dú)立分量分析基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種有效的盲信號(hào)處理技術(shù)[3-4],其處理對(duì)象是由一組相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的稀疏信源經(jīng)線性組合而成的混合信號(hào),目的是從混合信號(hào)中提取出各個(gè)獨(dú)立的信號(hào)分量.與獨(dú)立分量分析相比,稀疏分量分析能在一定程度上解決ICA方法中存在的問(wèn)題,可以獲得更好的分離效果.然而,基于稀疏分量分析的稀疏獨(dú)立分量分析方法(SParse Independent Component Analysis,SPICA)進(jìn)行盲信號(hào)分離,與輸入混合源的稀疏性密切相關(guān),即混合源越稀疏,通過(guò)SPICA方法求得的解混矩陣越精確,所需時(shí)間也越少.但一般自然圖像和信號(hào)在時(shí)域不具有稀疏特性,因此SPICA方法無(wú)法獲得較好的分離效果.

文獻(xiàn)[2]提出了一種基于小波包的獨(dú)立分量分析方法(Wavelet SParse Independent Component Analysis,WSPICA).該方法利用圖像在小波變換域具有稀疏性的先驗(yàn)條件,能夠較好地實(shí)現(xiàn)圖像盲分離.小波變換具有良好的時(shí)頻局域特性,已經(jīng)應(yīng)用到了圖像去噪、盲源分離和壓縮傳感等領(lǐng)域[5-7],然而小波變換方向選擇性少,在表示圖像的直線或者曲線奇異性結(jié)構(gòu)時(shí),并不是最優(yōu)的,無(wú)法獲得較好的稀疏表示[8].且對(duì)于有噪盲源分離[9],WSPICA方法無(wú)法實(shí)現(xiàn)分離.基于此,文獻(xiàn)[10]提出的一種基于形態(tài)成分分析的有噪盲源分離方法(General Morphological Component Analysis,GMCA)能夠很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)有噪圖像的盲分離,但是,算法存在一定的不穩(wěn)定性.2007年,Guo等人通過(guò)仿射系統(tǒng)構(gòu)造了一種接近最優(yōu)的多維函數(shù)稀疏表示工具:剪切波變換(Shearlet Transform)[11],繼承了曲波變換和輪廓波變換平移不變性和方向選擇性多的優(yōu)點(diǎn),通過(guò)對(duì)基函數(shù)縮放、剪切和平移等仿射變換,生成具有不同特征的剪切波基函數(shù).對(duì)于二維信號(hào),剪切波變換不僅可以檢測(cè)到所有的奇異點(diǎn),而且還可以自適應(yīng)跟蹤奇異曲線的方向,且隨著尺度參數(shù)變化,可精確描述函數(shù)的奇異性特征,從而獲得了更好的圖像稀疏表示能力.

筆者在分析剪切波具有良好稀疏表示能力的基礎(chǔ)上,提出了一種剪切波域的稀疏分量分析方法,并將其應(yīng)用到了圖像盲分離中.

1 稀疏獨(dú)立分量分析

1.1 SPICA的數(shù)學(xué)模型

線性瞬時(shí)混合SPICA[2]的研究對(duì)象是M個(gè)觀測(cè)信號(hào)X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T,而這些信號(hào)是由多個(gè)相互獨(dú)立、稀疏的源信號(hào)S(t)=[s1(t),s2(t),…,sN(t)]T,經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)A混合得到的,即在每個(gè)時(shí)刻t都存在如下關(guān)系:

其中,M×N維的混合矩陣A和源信號(hào)S(t)都是未知的,只有觀測(cè)信號(hào)X(t)是已知的.從式(1)可以看出,其與傳統(tǒng)ICA方法的數(shù)學(xué)模型非常類似,惟一不同的是:SPICA是由一組相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的稀疏信源經(jīng)線性組合而成的混合信號(hào).

SPICA方法通過(guò)觀測(cè)信號(hào)X(t)求得一個(gè)分離矩陣W,再根據(jù)式(2)實(shí)現(xiàn)解混.

其中,Y(t)是S(t)的一個(gè)估計(jì),其各分量相互獨(dú)立,但Y(t)各分量的排列次序和幅度與S(t)可能有所不同,即順序和幅度的不確定性.與獨(dú)立分量分析理論一樣,SPICA實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題,其目的是通過(guò)調(diào)整分離矩陣W,使源信號(hào)間的獨(dú)立性最強(qiáng).

上面給出的SPICA模型中,假定不存在噪聲.但在實(shí)際情況中,混合信號(hào)會(huì)受到噪聲的影響.假定混入的噪聲是與源信號(hào)相互獨(dú)立的高斯白噪聲,則SPICA的含噪模型表示為

其中,n(t)表示M維高斯白噪聲.

1.2 稀疏性對(duì)SPICA分離性能的影響分析

稀疏信號(hào)大部分系數(shù)的幅值為零或近零,只有極少數(shù)的系數(shù)幅值較大.因此從信號(hào)分布角度來(lái)看,其灰度直方圖在零處形成一個(gè)很大的尖峰,隨著遠(yuǎn)離零的兩個(gè)方向,系數(shù)個(gè)數(shù)快速減少,這樣的分布形式稱為超高斯分布.研究表明,信號(hào)高斯性將影響盲分離的分離精度,就是說(shuō),當(dāng)信號(hào)的超高斯性越強(qiáng),即分布在零處形成的尖峰越尖、越窄時(shí),分離效果越好[9-12].

另外,由于稀疏性導(dǎo)致信號(hào)中能量大的數(shù)據(jù)急劇減少,因此計(jì)算時(shí)有效數(shù)據(jù)就越少,計(jì)算量也隨著直線下降.在圖像處理中更直觀地表現(xiàn)為,稀疏化后,圖像有效數(shù)據(jù)的總數(shù)減少.因此增加圖像的稀疏表示能力可以降低混合源分離的計(jì)算復(fù)雜度[9].

鑒于上面兩點(diǎn),得出如下結(jié)論:信號(hào)的稀疏性不僅能提高盲分離算法的分離精度,同時(shí)也能降低盲分離算法的計(jì)算量和復(fù)雜度.

然而,現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)信號(hào)都不是稀疏的.因此,需要尋求一種方法對(duì)源信號(hào)進(jìn)行稀疏分解,以滿足上面的稀疏前提條件.信號(hào)經(jīng)過(guò)稀疏分解后,信號(hào)主要集中在少數(shù)絕對(duì)幅值較大的分解系數(shù)上,從而獲得很好的稀疏性.這一過(guò)程可以表示為

2 Shearlet變換理論

文獻(xiàn)[11]通過(guò)經(jīng)典仿射系統(tǒng)理論把幾何與多分辨分析結(jié)合起來(lái)提出了合成小波理論.

當(dāng)維數(shù)為2時(shí),具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)形式為

其中,ψ∈L2(R R2),A和B為2×2可逆矩陣,如果χAB(ψ)是具有如下形式的Parseval框架(也稱為緊框架),即對(duì)任意的f∈L2(R R2),存在:

則系統(tǒng)中的元素稱為合成小波.其中,矩陣Aj是與尺度變換相關(guān)聯(lián)的,Bl是與保持面積不變的幾何變化相關(guān)聯(lián)的,如旋轉(zhuǎn)和剪切變換.合成小波具有多分辨率分析的屬性,這意味著我們可以像小波一樣,構(gòu)造在各種尺度、位置和各個(gè)方向上的基元素的Parseval框架.

Shearlet變換是L2(R R2)中合成小波的一個(gè)特例.此時(shí),為各向異性膨脹矩陣;,為剪切矩陣.對(duì)任意滿足如下條件:

圖1 剪切波頻域剖分圖以及剖分子區(qū)域的幾何特征

3 基于剪切波稀疏表示的SPICA方法

3.1 剪切波變換的稀疏性分析

由前面分析可知,信號(hào)的稀疏性直接影響SPICA方法的分離性能,所以接下來(lái)將從非線性逼近效率、稀疏分解子帶圖像的分布兩個(gè)方面來(lái)討論剪切波變換的稀疏性.

3.1.1 非線性逼近效率

非線性逼近效率是稀疏表示的一個(gè)重要衡量指標(biāo),就是選取變換域中M個(gè)最有效的系數(shù)來(lái)重建圖像,通過(guò)重建圖像和原圖像之差形成的逼近誤差來(lái)評(píng)價(jià)表示方法的逼近程度和效率.

選取分解后所有尺度、所有方向上M個(gè)最有效的系數(shù)來(lái)重建圖像.為了便于比較,采用小波變換進(jìn)行同樣的處理.圖2給出了選用1.5%的系數(shù)非線性逼近圖像的情況.圖2(a)是barbara原圖像的局部放大;圖2(b)是小波域的非線性重建圖像;圖2(c)是剪切波域的非線性重建圖像.

圖2 線性逼近重構(gòu)圖像的比較

從圖2可以看出,從主觀視覺評(píng)價(jià)重構(gòu)圖像質(zhì)量,相比小波,剪切波重建圖像保留了較多的紋理信息,圖像更為清晰,重建質(zhì)量更好.另外,還可以使用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)評(píng)價(jià)重建圖像的質(zhì)量.表1給出了選取不同數(shù)量最有效系數(shù)個(gè)數(shù)情況下的重建效果比較.

從表1可以看出,無(wú)論選取比例是多少,剪切波重建圖像的質(zhì)量?jī)?yōu)于小波,以選取系數(shù)百分比等于1.5%為例,小波重建圖像的PSNR值為24.35 dB,而剪切波重建圖像的PSNR值為25.49 d B,比前者高出1.14 d B.PSNR數(shù)據(jù)表明,剪切波重建質(zhì)量均高于小波.

從上面分析可以得出:剪切波比小波具有更好的非線性逼近效果.

表1 不同系數(shù)比例情況下的逼近效果比較

3.1.2 稀疏分解子帶圖像的分布

稀疏性還可以通過(guò)系數(shù)的分布特性來(lái)表示.若只有少數(shù)系數(shù)幅度較大,遠(yuǎn)離零點(diǎn),而大部分系數(shù)幅度為零,或者“近零”,則稱信號(hào)是稀疏的.圖3給出了Lena圖部分高頻子帶剪切波系數(shù)的灰度直方圖.圖中,標(biāo)識(shí)符(i,j)表示位于第i分解尺度、第j方向上的分解子帶系數(shù).

從圖3可以看出,每個(gè)子帶系數(shù)的直方圖均在零處形成一個(gè)尖峰,并且沿著遠(yuǎn)離零的兩個(gè)方向,隨著距離的增大,系數(shù)頻數(shù)越來(lái)越小.也就是說(shuō),所有子帶中,大多數(shù)系數(shù)為零或“近零”,而較大系數(shù)的個(gè)數(shù)較少.

圖3 剪切波變換部分高頻子帶系數(shù)直方圖

從而表明,通過(guò)剪切波分解得到的子帶圖像是稀疏的.

從非線性逼近效率和分解子帶圖像的稀疏分布兩個(gè)角度分析,表明剪切波是一種比較有效的稀疏表示方法,可以很好地捕捉圖像中的曲線奇異信息,而這些曲線奇異信息普遍存在于圖像中.因此,它為圖像處理提供了一種靈活的多分辨率、各向異性的稀疏表示方法.

目前,常采用傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換和小波(包)變換來(lái)進(jìn)行信號(hào)稀疏化.其中,小波(包)變換以其良好的時(shí)域、頻域信號(hào)局部特征表征能力,在信號(hào)處理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.然而小波(包)變換也存在一些缺點(diǎn),它在分析點(diǎn)奇異信息時(shí)是最優(yōu)的,而在表示圖像結(jié)構(gòu)的曲線奇異信息時(shí)卻不是最優(yōu)的.換言之,小波(包)變換不能稀疏地表示圖像,從而限制了其在提高盲分離算法性能方面的能力[10].因此,筆者提出了一種基于剪切波稀疏表示的盲源分離方法,充分利用了剪切波變換良好的稀疏表示特性.

3.2 稀疏性判定

選擇峭度K(x)作為稀疏性的判定依據(jù).結(jié)合自然梯度盲源分離算法,采用峭度作為圖像信號(hào)稀疏性判據(jù).從信號(hào)分布角度來(lái)看,稀疏信號(hào)的灰度直方圖在零處形成一個(gè)很大的尖峰,隨著遠(yuǎn)離零的兩個(gè)方向,信號(hào)數(shù)減少.主峰的尖銳程度可以用峭度來(lái)描述,峭度定義為

信號(hào)越稀疏,峭度越大,峰就越尖銳.

3.3 稀疏子圖像選取

稀疏子圖像的具體選取步驟如下:

Step1 對(duì)混合源Xi(i=1,2,…,M)進(jìn)行剪切波稀疏分解其中,S[·]表示剪切波變換,C(k,lk)idf表示分解得到的位于第k(k=1,…,K)尺度、第lk(lk=1,2,…,Lk)方向上的細(xì)節(jié)子圖像.

Step2 計(jì)算所有高頻分塊子圖像的峭度K(k,l,j)i,有

其中,Nb為分塊數(shù).

Step3 計(jì)算所有圖像對(duì)應(yīng)每一個(gè)位置子圖像的最小峭度值Vkmin(k,l,j):

Step4 求Vkmin中最大值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)(max X,max Y,max J).

Step5 根據(jù)以上步驟計(jì)算得到稀疏子圖像Ssprase(k,l,j):

3.4 剪切波域的稀疏分量分析方法

剪切波域的稀疏分量分析方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

Step1 對(duì)接收到的混合圖像Xi(i=1,2,…,M)進(jìn)行剪切波稀疏分解.

Step2 對(duì)于含噪聲的盲源分離,則對(duì)子圖像應(yīng)用雙樹復(fù)數(shù)小波硬閾值方法[13]去噪,得到去噪子圖像.否則跳過(guò)Step2,直接執(zhí)行Step3.

Step3 使用3.3節(jié)介紹的方法選取稀疏子圖像組.

Step4 采用Infomax ICA[14]方法對(duì)Step3得到的子圖像組Ssprase(k,l,j)進(jìn)行盲源分離,求得解混矩陣W.

Step5 將解混矩陣W代入式(2),實(shí)現(xiàn)圖像分離.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證筆者提出的剪切波域稀疏獨(dú)立分量分析方法的有效性,進(jìn)行了兩組仿真實(shí)驗(yàn),第1組是無(wú)噪盲源分離,第2組是有噪盲源分離.選取圖4所示的4幅標(biāo)準(zhǔn)灰度圖進(jìn)行兩兩盲源分離,并分別與傳統(tǒng)ICA方法(Infomax,Kernel)[14-15]、基于小波變換的獨(dú)立分量分析方法(WSPICA)[2]以及GMCA方法[10]的分離性能進(jìn)行比較.其中剪切波變換采用尺度為5、方向?yàn)?的分解,小波變換使用db4正交小波,分解尺度為3.

圖4 4幅標(biāo)準(zhǔn)灰度圖

4.1 無(wú)噪盲源分離

第1組實(shí)驗(yàn)選取圖4(a)和圖4(b)、圖4(b)和圖4(d)作為測(cè)試圖像,對(duì)兩組圖像隨機(jī)混合構(gòu)造混合源,接著分別使用Infomax、Kernel、WSPICA和文中方法進(jìn)行盲源分離,筆者從信噪比(Signal to Noise Ration,SNR)值和執(zhí)行時(shí)間兩個(gè)方面評(píng)價(jià)算法性能.圖5、圖6和表2給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較.

圖5 各種盲源分離方法結(jié)果對(duì)比圖

從表2可以看出,無(wú)論從SNR值,還是算法執(zhí)行時(shí)間評(píng)價(jià),文中方法均優(yōu)于其他方法.文中方法在保證分離圖像質(zhì)量的同時(shí),也縮短了算法的執(zhí)行時(shí)間.從圖5可以看出,WSPICA和文中方法有效地分離了混合源,得到了較好的分離效果,但相比WSPICA,文中方法的執(zhí)行時(shí)間比較快.而Infomax和Kernel方法沒有實(shí)現(xiàn)解混,存在兩幅圖像混疊的現(xiàn)象.從圖6可以看出,WSPICA和Infomax方法解混失敗,而Kernel和文中方法有效地實(shí)現(xiàn)了混合源分離,并得到了較好的分離效果,但Kernel方法的執(zhí)行時(shí)間是79.780 9 s,比文中方法慢了78.664 1 s.相比而言,文中方法是最優(yōu)的.

圖6 各種盲源分離方法結(jié)果對(duì)比圖

表2 各種盲源分離方法分離結(jié)果SNR值對(duì)比

4.2 有噪盲源分離

第2組實(shí)驗(yàn)選取圖4(a)和圖4(b)、圖4(b)和圖4(c)作為測(cè)試圖像,為了模擬信道存在噪聲的情況,在隨機(jī)混合源上加入標(biāo)準(zhǔn)差σ=5的隨機(jī)噪聲.分別使用GMCA和文中方法進(jìn)行盲源分離.圖7、圖8以及表3給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較.

圖7 各種盲源分離方法結(jié)果對(duì)比圖

表3 各種盲源分離方法分離結(jié)果SNR值對(duì)比

從表3可以看出,無(wú)論從SNR值角度,還是從算法執(zhí)行時(shí)間角度評(píng)價(jià),文中方法均優(yōu)于GMCA.從圖6和圖7可以看出,GMCA的分離結(jié)果圖存在明顯的偽跡,丟失了很多圖像有用信息,而文中方法保留了更多的圖像有用信息,且算法的執(zhí)行時(shí)間比GMCA的快.

圖8 各種盲源分離方法結(jié)果對(duì)比圖

綜合以上分析,筆者從SNR值和算法執(zhí)行時(shí)間兩個(gè)角度評(píng)價(jià)了各種方法的優(yōu)劣.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法在無(wú)噪和有噪盲源分離中都可以得到較好的分離效果,且顯著縮短了算法的執(zhí)行時(shí)間.

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種剪切波域的稀疏獨(dú)立分量分析方法,充分利用了剪切波平移不變性和方向選擇性多的優(yōu)點(diǎn),提高了圖像表示的稀疏度,并將其應(yīng)用到了無(wú)噪和有噪盲源分離中.與傳統(tǒng)獨(dú)立分量分析和基于小波變換的WSPICA方法相比,該方法可以捕捉更多的圖像紋理以及邊緣信息,顯著縮短了算法的執(zhí)行時(shí)間.

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(編輯:王 瑞)

Method for sparse component analysis in the shearlet domain

JI Jian,LI Xiao

(School of Computer Science and Technology,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

In applications of the image blind source separation,the traditional method of Independent Component Analysis(ICA)computes the mixed matrix by using source image directly,without using the prior knowledge that images can be represented sparsely in the transform domain,and it can not lead to a better effect.Based on the capacity of image sparse representation by shearlet,a method of sparse component analysis in the shearlet domain is presented.The image mixed source is first transformed to the shearlet domain and obtains a shearlet coefficient,then the sparsest coefficient is selected by computing kurtosis,and finally the sparse coefficient is used as the input of the ICA method to realize image separation.The complexity of the solving procedure represents a significant decrease since it chooses a less sparse coefficient.Experimental results show that,compared with the traditional ICA method,the method in this paper leads to a better separation effect and shortens the operation time of the algorithm.

blind source separation;independent component analysis;sparse component analysis; shearlet transform

TP751

A

1001-2400(2014)01-0045-08

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.01.009

2012-09-28 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2013-09-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61101248,61070143);陜西省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2011K06-39)

紀(jì) 建(1971-),女,副教授,博士,E-mail:jji@xidian.edu.cn.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20130916.0926.201401.59_005.html