抗差嶺估計(jì)在概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)求取中的應(yīng)用研究

王 友，王雙亭

(河南理工大學(xué)測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南焦作454003)

基于隨機(jī)介質(zhì)理論的概率積分法因其所用的移動(dòng)和變形預(yù)計(jì)公式中含有概率積分而得名，是目前我國(guó)用于礦山開采沉陷預(yù)計(jì)地表移動(dòng)與變形的重要方法和文獻(xiàn)［1］規(guī)定的開采沉陷預(yù)計(jì)方法之一。

在求取預(yù)計(jì)參數(shù)時(shí)，通常采用計(jì)算簡(jiǎn)便的最小二乘擬合算法，其求取的參數(shù)精度基本能滿足工程需求。最小二乘估計(jì)在參數(shù)估計(jì)時(shí)具有良好的性質(zhì)，當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，最小二乘估計(jì)在所有無(wú)偏估計(jì)類中具有無(wú)偏性、一致性和有效性。但是其也存在兩方面的問題:一是當(dāng)自變量較多，其中存在近似線性相關(guān)變量時(shí)，其參數(shù)估值與真值相差很大;二是當(dāng)觀測(cè)值有悖于正態(tài)分布假設(shè)，數(shù)據(jù)遭到異常污染時(shí)，最小二乘估計(jì)不具有抗干擾性，單個(gè)觀測(cè)值的偏差就可能造成參數(shù)解面目全非［2－4］。

針對(duì)第1個(gè)問題，文獻(xiàn) ［2］提出了嶺估計(jì)，嶺估計(jì)是從減少均方誤差的角度出發(fā)而提出的一種壓縮性有偏估計(jì)，其可以改善法矩陣的病態(tài)性，穩(wěn)定參數(shù)解;針對(duì)第2個(gè)問題，文獻(xiàn) ［4］和 ［5］提出了抗差估計(jì)，其通過選擇適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)權(quán)，使其可以較好地克服模型偏差和異值點(diǎn)存在造成的求參困難。但二者都是只能改善某一個(gè)問題，不能同時(shí)對(duì)兩個(gè)問題都有所改善。本文提出的抗差嶺估計(jì)結(jié)合了嶺估計(jì)和抗差估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，可以同時(shí)起到抵抗病態(tài)法矩陣和抵抗異值或粗差對(duì)求參結(jié)果的影響，保證了求參結(jié)果的有效性和可靠性。

1 抗差嶺估計(jì)

1.1 抗差嶺估計(jì)原理［3，6］

設(shè)觀測(cè)方程為

式中，L為n維觀測(cè)向量;A為n×t階系數(shù)矩陣; X為t維參數(shù)向量;Δ為n維誤差向量，Δ:N(0，I)。

相應(yīng)的誤差方程為

由抗差嶺估計(jì)原理［6－7］求得參數(shù)的抗差嶺估計(jì)解為

由式 (3)可知，確定嶺參數(shù)和等價(jià)權(quán)陣是求得抗差嶺估計(jì)解的必要條件。所以抗差嶺估計(jì)的關(guān)鍵是選擇合適的嶺參數(shù)和等價(jià)權(quán)陣。

1.2 嶺參數(shù)的確定［2，7－10］

對(duì)嶺參數(shù)的確定方法進(jìn)行對(duì)比研究是當(dāng)前的熱點(diǎn)問題之一。關(guān)于嶺參數(shù)的確定，目前應(yīng)用較多的有嶺跡法、GCV解法、雙h公式法和L曲線法等等。其中嶺跡法雖然應(yīng)用方便，但具有太大的隨意性，且沒有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ);GCV解法雖然在理論上能夠選擇最優(yōu)的嶺參數(shù)，但有時(shí)GCV函數(shù)的變化過于平緩甚至發(fā)散，此時(shí)定位它的最小值會(huì)很困難;雙h公式法雖然在確定嶺參數(shù)時(shí)有計(jì)算簡(jiǎn)捷、應(yīng)用靈活等優(yōu)點(diǎn)，但當(dāng)法方程系數(shù)矩陣病態(tài)性較嚴(yán)重時(shí)，其效果并不明顯;L曲線法是一種理論上非常嚴(yán)密的研究嶺參數(shù)的方法，其具有定位準(zhǔn)確、適用性較好等優(yōu)點(diǎn)。因此，本文在確定嶺參數(shù)時(shí)選用L曲線法。

按正則化原理，式 (1)的抗差嶺估計(jì)準(zhǔn)則為

對(duì)上式求其最大值，就可以得到最大曲率，其所對(duì)應(yīng)的最大點(diǎn)即為所求點(diǎn)，然后求出該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的抗差嶺參數(shù)k。

1.3 等價(jià)權(quán)函數(shù)的確定［4－5，11－12］

抗差嶺估計(jì)的抗差效果主要取決于等價(jià)權(quán)函數(shù)。采用的等價(jià)權(quán)函數(shù)不同，則相應(yīng)的抗差估計(jì)模型就不同，其抗差效果就不同。

周江文教授提出的IGGN方案是對(duì)最小二乘參數(shù)估計(jì)解式的權(quán)陣進(jìn)行改化，即以等價(jià)權(quán)代替先驗(yàn)權(quán)，從而可以用等價(jià)權(quán)重構(gòu)抗差解式和單位權(quán)中誤差。本文中采用周江文教授提出的IGGN抗差方案。等價(jià)權(quán)的形式為

式中，k0為分位點(diǎn)，一般取1.5;k1為淘汰點(diǎn)，一般取2.5。

但是由于誤差絕對(duì)值大于中誤差、二倍中誤差、三倍中誤差出現(xiàn)的概率分別為 31.7%，4.5%，0.3%，加之我國(guó)大多測(cè)量規(guī)范都規(guī)定以二倍中誤差為極限誤差，因此，我們?nèi)0=1.0，k1= 2.0。

2 概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)的抗差嶺估計(jì)模型

概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)可由多個(gè)地表任意點(diǎn)沿任意方向的移動(dòng)變形實(shí)測(cè)資料求出。當(dāng)布置的測(cè)點(diǎn)為常規(guī)觀測(cè)站時(shí)，采用最小二乘曲線擬合法;當(dāng)測(cè)點(diǎn)為非常規(guī)觀測(cè)站即一系列散點(diǎn)時(shí)，采用最小二乘曲面擬合法。但是當(dāng)最小二乘的法矩陣病態(tài)或觀測(cè)數(shù)據(jù)中有異常值時(shí)，則易造成求參結(jié)果的失真。基于抗差嶺估計(jì)的最小二乘曲面擬合法在求參時(shí)，不僅可以有效地抵御異常值和病態(tài)法矩陣的干擾，還可以適用于任意形狀和殘缺觀測(cè)站資料的求參運(yùn)算［2］。

概率積分法中所涉及的主要預(yù)計(jì)參數(shù)有5個(gè):下沉系數(shù)q、水平移動(dòng)系數(shù)b、主要影響角正切tanβ、主要影響傳播角θ、拐點(diǎn)偏移距S1，S2，S3，S4。在進(jìn)行抗差嶺估計(jì)求參時(shí)，應(yīng)首先利用實(shí)測(cè)的地表點(diǎn)下沉觀測(cè)值求取q，tanβ，θ，S1，S2，S3，S4。然后，利用這7個(gè)已求得的參數(shù)和地表點(diǎn)的水平移動(dòng)觀測(cè)值迭代擬合求取b。

按概率積分法的任意點(diǎn)移動(dòng)變形模型，任一點(diǎn)下沉W都可以表示成測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和預(yù)計(jì)參數(shù)的函數(shù)，即

選取參數(shù)初值 q0，tanβ0，θ0，S10，S20，S30，S40，將其線性化，即

則得誤差方程的一般形式為:

式中，l0i=Wi測(cè)－W0i。

式(9)的矩陣形式為

由式(5)確定嶺參數(shù)k，由式(6)確定等價(jià)權(quán)，則可求出7個(gè)參數(shù)的改正數(shù)的抗差嶺估計(jì)解式如式 (3)所示。求得結(jié)果后，以上次計(jì)算的結(jié)果做為下次的初值，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到最后2次迭代計(jì)算的參數(shù)估值之差滿足迭代收斂精度為止。此時(shí)即可獲得參數(shù)估值的抗差嶺估計(jì)解。而水平移動(dòng)系數(shù)b，則可以根據(jù)地表任意點(diǎn)水平移動(dòng)預(yù)測(cè)模型求出。在此不再贅述。

3 工程應(yīng)用及結(jié)果分析

工程實(shí)例采用文獻(xiàn)［13］－［14］中開灤集團(tuán)錢家營(yíng)煤礦輔271地表移動(dòng)觀測(cè)站資料。該觀測(cè)站位于輔271工作面上方。由于輔271觀測(cè)站的實(shí)測(cè)資料分單一煤層和多煤層開采2種情況，而在開采單一煤層時(shí)走向和傾向觀測(cè)站實(shí)測(cè)資料比較翔實(shí)，因此采用輔271觀測(cè)站單一煤層開采時(shí)的資料。該觀測(cè)站所對(duì)應(yīng)的輔271工作面表土層厚220m，采厚3.1m，平均采深304m，煤層傾角為8°，工作面走向長(zhǎng)830m，傾向長(zhǎng)150m。

為了檢驗(yàn)抗差嶺估計(jì)模型的有效性，首先分別運(yùn)用最小二乘法和抗差嶺估計(jì)算法擬合求參，然后利用 matlab軟件中的 randn命令生成標(biāo)準(zhǔn)差為10mm的隨機(jī)誤差加入到觀測(cè)值中，再分別用最小二乘法和抗差嶺估計(jì)算法擬合求參，最后對(duì)2次求參結(jié)果進(jìn)行縱橫向?qū)Ρ妊芯?，求參結(jié)果如表1、表2所示。

表1 人為干預(yù)前數(shù)據(jù)擬合求參結(jié)果

表2 人為干預(yù)后數(shù)據(jù)擬合求參結(jié)果

對(duì)表1和表2對(duì)比分析可知:

(1)當(dāng)觀測(cè)值中沒有人工干預(yù)時(shí)，抗差嶺估計(jì)和傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)理論的求參結(jié)果基本一致。

(2)當(dāng)人為地在觀測(cè)值中加入一些異值點(diǎn)和隨機(jī)誤差時(shí)，采用傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)理論求參獲得的參數(shù)有很大的偏差，而采用抗差嶺估計(jì)理論獲得的參數(shù)與沒有人為干預(yù)時(shí)獲得的參數(shù)相差不大。

4 結(jié)論

(1)將抗差嶺估計(jì)理論應(yīng)用于概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)求取過程中，可以自動(dòng)排除病態(tài)法矩陣和異值點(diǎn)的干擾。

(2)通過人工干預(yù)求參試驗(yàn)表明，采用抗差嶺估計(jì)求參理論，求得的概率積分法預(yù)計(jì)參數(shù)具有更好的有效性和可靠性。

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