多車種LWR交通流模型的半離散中心迎風(fēng)格式

胡彥梅， 封建湖， 陳建忠

（1.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，西安 710072）

多車種LWR交通流模型的半離散中心迎風(fēng)格式

胡彥梅1， 封建湖1， 陳建忠2

（1.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，西安 710072）

對(duì)多車種LWR交通流模型，給出一種半離散中心迎風(fēng)格式，該格式以五階WENO-Z重構(gòu)和半離散中心迎風(fēng)數(shù)值通量為基礎(chǔ).WENO-Z重構(gòu)方法的引入提高了格式的精度，并保證格式具有基本無(wú)振蕩的性質(zhì).時(shí)間的離散采用保持強(qiáng)穩(wěn)定性的Runge-Kutta方法.通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了格式的有效性.

多車種；LWR交通流模型；半離散中心迎風(fēng)格式；WENO-Z重構(gòu)

0 引言

交通流的流體力學(xué)模型將交通流視為由大量車輛組成的可壓縮連續(xù)流體介質(zhì)，研究車輛集體的平均行為.它的發(fā)展始于LWR模型［1－2］，該模型可以描述交通激波的形成以及阻塞的疏散，但假定車輛速度始終滿足平衡關(guān)系，不能揭示非平衡態(tài)的車輛運(yùn)動(dòng)，如時(shí)走時(shí)停、交通遲滯等現(xiàn)象.為了克服LWR模型的不足，研究者提出了高階模型和多車種模型.多車種模型對(duì)每一個(gè)車種建立質(zhì)量守恒方程，同時(shí)設(shè)定速度－密度函數(shù)關(guān)系得到模型［3］.

各種多車種LWR模型中，目前研究較多的是Wong和Wong［4］提出的模型，該模型能夠模擬擁擠和非擁擠條件下，不同速度車輛之間的相互影響，如超車及慢車阻礙快車行駛等車輛行為.文獻(xiàn)［5－6］完整地探討了該模型的雙曲性質(zhì)，Zhang等［7－8］將該模型推廣到非均勻道路上，討論了流通量間斷的多車種LWR模型.

數(shù)值模擬方面，Zhang等［9］采用WENO（weighted essentially non-oscillatory）格式［10］、Chen等［11］基于四階松弛格式［12］、Ngoduy和Liu［13］利用一階HLLE（Harten-van Leer-Lax and Einfeldt）格式［14］對(duì)多車種LWR交通流模型進(jìn)行了數(shù)值求解.Zhang等［9］還對(duì)WENO格式與Lax-Friedrichs格式和Godunov格式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明為了在計(jì)算中不丟失解函數(shù)的真實(shí)信息，需要引入高精度、高分辨率數(shù)值方法對(duì)交通流模型進(jìn)行求解.文獻(xiàn)［7，15］對(duì)非均勻道路的多車種模型進(jìn)行了數(shù)值求解.Zhang等［8］提出了可以與任何經(jīng)典格式結(jié)合的混合格式，即將所謂的δ－映射算法與經(jīng)典格式結(jié)合，形成新的混合格式.他們選擇δ－映射與WENO五階重構(gòu)結(jié)合的混合格式對(duì)流通量間斷的多車種LWR模型進(jìn)行數(shù)值求解.

本文研究另一類高分辨率數(shù)值方法，即半離散中心迎風(fēng)格式［16］，該格式具有較多優(yōu)點(diǎn).首先，不需要進(jìn)行復(fù)雜且耗時(shí)的特征分解過(guò)程，研究多車種LWR模型的最大困難在于不能得到顯式的特征結(jié)構(gòu)［6］.文獻(xiàn)［6］證明隱式存在的特征值，但需數(shù)值求解隱式的代數(shù)方程，計(jì)算量很大，即使數(shù)值求解得到特征值，在某些密度為0的情形，方程組是非嚴(yán)格雙曲的，并不總是能做特征分解，因此半離散中心迎風(fēng)格式特別適合多車種LWR模型的數(shù)值求解.其次，通過(guò)對(duì)單側(cè)局部速度的估計(jì)，該格式考慮了波傳播的方向，使得它又具有迎風(fēng)的性質(zhì)，這也是該格式被稱為中心迎風(fēng)格式的原因.再次，該格式易于推廣，其在Hamilton-Jacobi方程、磁流體方程、兩車種LWR模型［17］的計(jì)算及多組分流、不可壓縮流的模擬等方面得到應(yīng)用，其在半導(dǎo)體等領(lǐng)域的應(yīng)用也在不斷地發(fā)展完善.

本文以五階WENO-Z［18］重構(gòu)和保持強(qiáng)穩(wěn)定性的Runge-Kutta方法為基礎(chǔ)［19］，給出一種求解多車種LWR模型的五階半離散中心迎風(fēng)格式.與WENO重構(gòu)方法相比，WENO-Z重構(gòu)具有更低的數(shù)值耗散和更高的分辨率.WENO-Z重構(gòu)方法的引入既提高了半離散中心迎風(fēng)格式的精度，又可保證格式是基本無(wú)振蕩的.最后應(yīng)用本文格式對(duì)排隊(duì)消散等問題進(jìn)行數(shù)值模擬，并與WENO格式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.

1 多車種LWR交通流模型

多車種LWR交通流模型［4］將車輛按其行駛速度分為M個(gè)車種，對(duì)每一個(gè)車種建立質(zhì)量守恒方程，同時(shí)設(shè)定速度－密度函數(shù)關(guān)系得到模型.設(shè)ρm（x，t）和um（x，t）分別表示第m種車輛的密度和速度，則多車種LWR模型可表示為

式中u＝［ρ1，ρ2，…，ρM］T，f（u）＝［ρ1u1，ρ2u2，…，ρMuM］T．

為了使方程封閉，引入速度－密度函數(shù)關(guān)系

假設(shè)各車種的速度按從小到大的順序排列，即

且u滿足

由（5）式可知模型（1）為嚴(yán)格雙曲型方程組．需要指出的是，對(duì)某一種車流的密度ρm＝0以及總密度達(dá)到阻塞ρ＝ρjam的情形，不等式（5）可以取等號(hào)，詳細(xì)討論見文獻(xiàn)［6］．

2 多車種LWR模型的半離散中心迎風(fēng)格式

式中χj是Ij上的特征函數(shù).可能在網(wǎng)格界面｛xj＋1／2｝處間斷，估計(jì)間斷面向左側(cè)和右側(cè)傳播的局部速度［16］

半離散中心迎風(fēng)格式對(duì)模型（1）的空間離散可表示為［16］

其中數(shù)值通量

半離散中心迎風(fēng)格式（10）－（11）的精度由重構(gòu)（6）的精度決定，不同的格式基于不同的重構(gòu)方法.在各種無(wú)振蕩重構(gòu)中，發(fā)展較好的是WENO重構(gòu)方法［10，21］和中心WENO重構(gòu)方法［22］.本文采用五階WENO-Z重構(gòu)［18］，WENO-Z重構(gòu)是在WENO重構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，通過(guò)設(shè)計(jì)高階的光滑因子，構(gòu)建無(wú)振蕩的權(quán)，WENO-Z重構(gòu)比WENO重構(gòu)具有更低的數(shù)值耗散和更高的分辨率.

最后用保持強(qiáng)穩(wěn)定性的三階Runge-Kutta方法［19］對(duì)半離散格式的時(shí)間方向進(jìn)行離散.

3 數(shù)值模擬

算例1 初始擾動(dòng)問題［5］.考慮長(zhǎng)度L＝10 000 m的路段，車種數(shù)M取5，各車種的速度－密度關(guān)系

式中ufm是第m種車輛的自由流速度，分別取為8，11，14，17，20 m·s－1.將密度、速度、空間和時(shí)間變量分別除以ρjam、uf5、L和T進(jìn)行無(wú)量綱化，其中T表示計(jì)算的時(shí)間.初值取為

算例2 過(guò)激波和稀疏波的密度變化［6］.考慮長(zhǎng)度L＝8 000 m的路段，車種數(shù)M取3，各車種的速度－密度關(guān)系

式中ufm分別取為12，16，20 m·s－1，計(jì)算時(shí)空間步長(zhǎng)取10 m，CFL數(shù)取0.48，與算例1類似對(duì)變量進(jìn)行無(wú)量綱化.初值取

圖3（a）和圖3（b）分別給出T＝240 s時(shí)各車種的密度和總密度.圖3中，約在x＝0．26之前的部分為解函數(shù)的第1個(gè)常數(shù)區(qū)域.約在x＝0．26至x＝0．64之間為1－稀疏波，在這一區(qū)域各車種的密度和車流總密度均單調(diào)遞減.約在x＝0．64至x＝0．725之間為解函數(shù)的第2個(gè)常數(shù)區(qū)域.約在x＝0．725處為2－激波，穿過(guò)激波后，第2種和第3種車流的密度有一定的增加，而第1種車流的密度有所減小，車流總密度有所增加.約在x＝0．725至x＝0．78之間為解函數(shù)的第3個(gè)常數(shù)區(qū)域.約在x＝0．78處為3-激波，穿過(guò)激波后，第3種車流的密度有一定的增加，而第1種和第2種車流的密度有所減小，車流總密度略有增加.約在x＝0．78之后的部分為解函數(shù)的第4個(gè)常數(shù)區(qū)域.

上述過(guò)激波和在稀疏波內(nèi)密度單調(diào)性變化的模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［6］的理論分析結(jié)果一致，同時(shí)，通過(guò)該算例也驗(yàn)證了本文格式的有效性.

算例3 排隊(duì)消散問題［4，9］.考慮長(zhǎng)度L＝2 km的路段，車種數(shù)M取9.左邊界設(shè)為0 veh·km－1，右邊界采用自由出流邊界條件.各車種的速度－密度關(guān)系為Drake模型［23］的推廣：

式中ρ0為最佳密度，取為50 veh·km－1.各車種占混合交通流的比例和自由流速度如圖4所示.

情形1.非擁擠交通狀態(tài)

初始的排隊(duì)車隊(duì)如圖5所示，最大密度為40 veh·km－1，低于最佳密度ρ0＝50 veh·km－1，交通流處于非擁擠狀態(tài).為便于比較，將文獻(xiàn)［9－10］中的五階WENO格式簡(jiǎn)記為WENO，本文的半離散中心迎風(fēng)格式簡(jiǎn)記為SDCU，并用N表示空間網(wǎng)格數(shù)目.圖6給出兩種格式的計(jì)算結(jié)果，網(wǎng)格剖分為400，CFL數(shù)取0.48，計(jì)算到T＝0.015 h.圖中實(shí)線是取12 800個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，本文格式的計(jì)算結(jié)果，可以看作是精確解.圖6中車流總密度出現(xiàn)九個(gè)小的“臺(tái)階”，與初始時(shí)九種類型車輛混合相對(duì)應(yīng)，這些小的“臺(tái)階”實(shí)際上是激波［6，9］.從圖6可以看出，本文方法對(duì)激波具有較高的分辨率，并且優(yōu)于WENO格式的計(jì)算結(jié)果.表1給出T＝0.015 h時(shí)刻兩種格式的L1誤差，當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)增加時(shí)，兩種格式計(jì)算結(jié)果的誤差均不斷減小，SDCU格式的誤差均小于WENO格式.圖7給出了不同時(shí)刻的總密度圖，可以看出排隊(duì)消散和臺(tái)階現(xiàn)象出現(xiàn)的演變過(guò)程，在非擁擠狀態(tài)下車輛可以超車并以期望的速度行駛，所以排隊(duì)尾部和前部均隨時(shí)間的推移逐漸消散.

情形2.擁擠交通狀態(tài)

初始的排隊(duì)車隊(duì)如圖8所示，最大密度為120 veh·km－1，高于最佳密度ρ0＝50 veh·km－1，交通流處于擁擠狀態(tài).圖9給出了T＝0.045 h時(shí)兩種格式的計(jì)算結(jié)果，可以看出SDCU格式的結(jié)果略優(yōu)于WENO格式.表2對(duì)兩種格式的L1誤差進(jìn)行了比較，在不同的網(wǎng)格下SDCU格式的誤差均小于WENO格式.圖10給出不同時(shí)刻的總密度圖，車輛在擁擠狀態(tài)下，超車受到限制，所以排隊(duì)尾部車輛消散是非常有限的，當(dāng)密度接近最佳密度時(shí)，排隊(duì)尾部車輛逐漸開始消散，當(dāng)密度低于最佳密度時(shí)，車輛處于非擁擠狀態(tài)，排隊(duì)消散過(guò)程與非擁擠交通狀態(tài)類似，而排隊(duì)前部的車輛由于下游沒有車輛可以隨時(shí)間的推移逐漸消散.

4 結(jié)論

將WENO-Z重構(gòu)方法和半離散中心迎風(fēng)數(shù)值通量結(jié)合起來(lái)，利用半離散中心迎風(fēng)數(shù)值通量簡(jiǎn)單、實(shí)用和WENO-Z重構(gòu)高精度、基本無(wú)振蕩的優(yōu)點(diǎn)，得到了一種求解多車種LWR交通流模型的高分辨率數(shù)值方法.對(duì)初始擾動(dòng)問題、過(guò)激波和稀疏波的密度變化和排隊(duì)消散問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，并將該方法與WENO格式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文方法具有更低的數(shù)值耗散和更高的分辨率.也可以將本文格式推廣到流通量間斷的多車種LWR模型［6］，或嘗試將其與δ-映射算法［8］結(jié)合求解流通量間斷的多車種LWR模型，這方面的進(jìn)展將在以后的文章中詳述.

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A Semi-discrete Central-upwind Scheme for Multi-class Lighthill-Whitham-Richards Traffic Flow Model

HU Yanmei1，F(xiàn)ENG Jianhu1，CHEN Jianzhong2
（1．College of Science，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2．College of Automation，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China）

A semi-discrete central-upwind scheme for multi-class Lighthill-Whitham-Richards（LWR）traffic flow model is presented.It combines improved fifth-order weighted essentially non-oscillatory（WENO）reconstruction called WENO-Z with semidiscrete central-upwind numerical flux.WENO-Z reconstruction improves accuracy of solution with non-oscillatory property.Time integration is carried out with strong stability preserving Runge-Kutta method.Numerical results demonstrate the scheme is efficient.

multi-class；LWR traffic flow model；central-upwind scheme；WENO-Z reconstruction

date： 2013－07－03；Revised date： 2013－10－11

O35；O241.82

A

1001-246X（2014）03-0323-08

2013－07－03；

2013－10－11

國(guó)家自然科學(xué)基金（11102165，11171043），陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃（2012JM1001，2013JQ7014），中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（CHD2011JC039）及西北工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金（JC201254）資助項(xiàng)目

胡彥梅（1976－），女，博士生，講師，從事計(jì)算流體力學(xué)、交通流模型與數(shù)值模擬研究，E-mail：yanmeihu＠126.com