壓力傳感器非線性曲線擬合方法及不確定度分析

趙海鷹

(中國人民解放軍92493 部隊89 分隊，遼寧葫蘆島125000)

0 引言

隨著壓力測試技術(shù)的發(fā)展，各種工程領(lǐng)域及科學(xué)研究中，對壓力傳感器的測量準(zhǔn)確度提出了更高的要求。本文針對壓力傳感器輸出曲線擬合問題進(jìn)行討論與分析。

1 傳感器的輸出特性與擬合曲線

一般來說，對于兩個變量x 和y，如果理論上存在方程y=a +bx，則說x 和y 成線性關(guān)系或直線關(guān)系，通過實驗便可獲知反映兩個變量之間關(guān)系的一系列數(shù)據(jù)來確定方程系數(shù)a 和b 的值，以尋求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，稱其為直線擬合。直線擬合曲線如圖1所示。

壓力傳感器的輸入輸出特性通常也會用代數(shù)法擬合出圖1所示直線關(guān)系，這樣計算過程比較簡單，使用時也比較方便。而實際上許多傳感器的輸入輸出關(guān)系并不是直線關(guān)系，如圖2所示，某應(yīng)變電阻式壓力傳感器的輸入與輸出特性就不是顯著的直線關(guān)系。如果按照J(rèn)JG 860-94《壓力傳感器(靜態(tài))檢定規(guī)程》的要求，理論上擬合出輸入輸出的直線關(guān)系，這種數(shù)據(jù)處理方法必然會引入較大的偏差。因此，應(yīng)對傳感器輸出特性進(jìn)行非線性擬合以提高傳感器測試準(zhǔn)確度［1］。

圖1 直線擬合曲線

圖2 傳感器輸出特性

2 傳感器輸出特性的非線性擬合

最小二乘法是求解直線擬合方程最有效的實驗數(shù)據(jù)處理方法，用最小二乘法直接求解非線性擬合方程是非常復(fù)雜的。但是，如果通過變量代換把非線性擬合曲線變?yōu)榫€性擬合直線，繼而，可用一元線性擬合方法求解傳感器非線性擬合方程［2］。

2.1 非線性曲線模型確定

觀察圖2 中散點數(shù)據(jù)分布特點，發(fā)現(xiàn)其形狀酷似指數(shù)函數(shù)曲線，所以可取指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行擬合。假設(shè)指數(shù)函數(shù)模型如公式(1)。

公式(1)可變換為公式(2)，有

令Y=lny，A=lnα，B=β，X=x，代入公式(2)有

通過上述變量代換，傳感器輸出特性曲線方程便可轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量Y 與X 的直線關(guān)系方程。

2.2 線性方程的求解

某型壓力傳感器輸入壓力與輸出電壓關(guān)系測試值如表1所示，其中Y 與X 為變量代換值。

表1 傳感器輸出特性測試值與變量代換值

下面以表1 中的數(shù)據(jù)推導(dǎo)變量代換后一元線性方程Y=A+BX 中參數(shù)A 與B 的值。按照誤差最小的原則，以最小二乘法直線作為擬合曲線的模型是求系數(shù)A 與B 最佳估計值時最常用的有效方法。

利用最小二乘法原理求直線方程系數(shù)為［3］

把表1 數(shù)據(jù)代入公式(4)和(5)，得B=25.3690，A=0.2142。

所以，變量代換的直線擬合方程可表示為

2.3 非線性方程的擬合

公式(1)為傳感器輸出特性的非線性模型，根據(jù)變量代換關(guān)系A(chǔ)=lnα 有

將求得參數(shù)A 值代入公式(7)得

α=eA=1.2389

根據(jù)變量代換關(guān)系B=β 有β=B=25.3690。

將α 與β 值分別代入公式(1)求得傳感器輸出特性非線性擬合方程為

傳感器輸出特性非線性擬合方程(8)如圖3 中曲線所示，圖3 中直線為線性擬合方程。這一實例可以看出非線性擬合較直線擬合準(zhǔn)確度顯著提高。

圖3 傳感器輸出非線性擬合曲線

3 非線性擬合曲線不確定度分析

由代換變量Y=lny 和公式(3)得

公式(9)可見，由非線性擬合曲線得預(yù)測值y 的不確定度取決于代換變量值Y，下面首先推導(dǎo)代換變量值Y 的不確定度。

3.1 變量Y 的殘余標(biāo)準(zhǔn)差

變量代換方程Y=A+BX(X=x)如圖4所示，因變量Y 之間的差異由兩個因素決定:一是自變量x 取值的不同;二是測量誤差等其他因素的影響。圖4 中將變量Y 的值Yi與其均值的偏差分解為由變量x的不同取值引起的回歸偏差和由測量誤差等其他因素引起的殘余誤差，因為xi 為非測量量(不是隨機(jī)量)，其不確定度分量小到可忽略，則此時殘差方程可表示為

式中:Q 為殘余平方和，即所有觀測點Yi到擬合直線的殘余誤差的平方和。則Y 的殘余標(biāo)準(zhǔn)差s 為(Q 的自由度ν=N-2)

式中:s 用來表征所有隨機(jī)因素對Y 的一次性觀測的平均變差的大小。

圖4 直線擬合方程

3.2 代換方程系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

擬合系數(shù)B 的標(biāo)準(zhǔn)差用來描述擬合系數(shù)的分散性。根據(jù)公式(4)和(5)及方差的性質(zhì)有［4］:

所以擬合系數(shù)B 的標(biāo)準(zhǔn)差為

同理推出擬合系數(shù)A 的標(biāo)準(zhǔn)差為

擬合系數(shù)a 和b 的協(xié)方差為

3.3 變量代換方程的穩(wěn)定性

變量代換方程的穩(wěn)定性是指由代換方程曲線計算得的值Y 的波動性，大小用其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Y)表示。

根據(jù)不確定度傳播公式及方程(3)有［5-7］:

將公式(11)，(13)，(14)及(15)代入公式(16)計算得:

3.4 非線性擬合曲線預(yù)測值的不確定度

根據(jù)不確定度傳播公式及公式(9)，非線性擬合曲線預(yù)測值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

需要指出的是，在化曲線為直線的回歸計算中，通常y 是做了變換的，本例中函數(shù)曲線方程y=αeβx經(jīng)變換后，雖然是按最小二乘意義使達(dá)到最小，實際是使最小，兩者物理意義不同，此時求得的回歸曲線不能說是最佳擬合曲線。所以，非線性擬合中存在著比較哪個函數(shù)模型擬合效果好的問題。模型的假設(shè)除了依靠觀察經(jīng)驗，還有一個原則是比較不同函數(shù)模型計算所得Q 值與s 值，小者為優(yōu)。

4 結(jié)束語

本文詳細(xì)介紹了壓力傳感器非線性輸出擬合方法及其不確定度分析，所舉例中擬合曲線參數(shù)及相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)差的計算可利用Excel 中函數(shù)、Matlab 等工具或軟件方便快速求得。對于校準(zhǔn)測試實踐中，非線性數(shù)據(jù)或信號的處理及修正具有參考意義。

［1］杜水友，章皓，永軍，等.最小二乘法擬合壓力傳感器二次曲線及精度分析［J］.中國計量學(xué)院學(xué)報，2005，16(3):185-187.

［2］吳石林，張玘.誤差分析與數(shù)據(jù)處理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［3］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京:高等教育出版社，2010.

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［5］國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局.JJF1059.1-2012 測量不確定度的評定與表示［S］.北京:中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2013.

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