S-亞緊空間

張焰杰，吳昭鑫，楊思鑫

（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

S-亞緊空間

張焰杰，吳昭鑫，楊思鑫

（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，成都610059）

文章引入了S-亞緊空間，并且獲得3個(gè)主要結(jié)果:（1）如果（X，T）是一個(gè)S-亞緊的T2空間，則對(duì)X中的任意一個(gè)閉集A和不屬于A的任一點(diǎn)x，存在U∈T，V∈SO（X，T）使x∈U，A?V且U∩V=?。（2）如果（X，Tα）是S-亞緊的，則（X，T）是S-亞緊的。（3）（X，T）是一個(gè)極不連通的T2空間，則（X，T）是S-亞緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)開(kāi)覆蓋U有一個(gè)點(diǎn)有限的正則閉加細(xì)V，V∈RC（X，T）。

半開(kāi)集；極不連通；S-亞緊；α-集

S-仿緊空間的概念是由K.Y.AL-ZOUBI提出［1］，文章在此基礎(chǔ)上定義了S-亞緊空間，并對(duì)S-亞緊空間的性質(zhì)做了初步的探討，S-亞緊空間是對(duì)亞緊空間進(jìn)一步拓展，即亞緊空間一定是S-亞緊空間，反之則不一定成立。

1 預(yù)備知識(shí)

本文簡(jiǎn)稱(chēng)拓?fù)淇臻g為空間，int（A）、cl（A）和scl（A）分別表示集A的內(nèi)部、閉包和半閉包。

定義1［1］（X，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，集合A是X的子集，集合A稱(chēng)為半開(kāi)集，如果在X中存在開(kāi)集U使得U?A?cl（U）或A?cl（int（A））半閉集，即半開(kāi)集的余集。集合A的半閉包，即包含A的最小的半閉集，用scl（A）表示。集合A稱(chēng)為正則開(kāi)（正則閉，預(yù)開(kāi)啟），如果A =int（cl（A））（A=cl（int（A）），A?int（cl（A））），用SO（X，T）、RO（X，T）、RC（X，T）和PO（X，T）分別表示由（X，T）中所有的半開(kāi)集、正則開(kāi)、正則閉和預(yù)開(kāi)啟的子集構(gòu)成的集族。

定義2空間X稱(chēng)為是S-亞緊的，如果X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)覆蓋。

定義3［2］空間（X，T）稱(chēng)為極不連通的，如果空間（X，T）中每個(gè)開(kāi)集的閉包在（X，T）中仍然是開(kāi)集。

定義4［3］（X，T）中的子集A稱(chēng)為α-集，如果A?int（cl（int（A）））。

定義5［3］用Tα表示由（X，T）中所有α-集構(gòu)成的集族，若它形成X的一個(gè)拓?fù)?，則有T?Tα?SO（X，T）=SO（X，Tα）。

引理1［3］若A是空間（X，T）中的一個(gè)開(kāi)集，則對(duì)任意的V∈SO（X，T）有A∩V∈SO（X，T）。

引理2［4］F=｛Fα∶α∈I｝是空間（X，T）的一個(gè)集族，則集族F是點(diǎn)有限的當(dāng)且僅當(dāng)｛scl（Fα）∶α∈I｝是點(diǎn)有限的。

證明顯然成立。

引理3［3］若空間（X，T）是極不連通的，則對(duì)每一個(gè)U∈SO（X，T）有scl（U）=cl（U）。

2 主要結(jié)論

定理1如果（X，T）是一個(gè)S-亞緊的T2空間，則對(duì)X中的任意一個(gè)閉集A和不屬于A的任一點(diǎn)x，存在U∈T，V∈SO（X，T）使x∈U，A?V且U∩V=?，即對(duì)X的每個(gè)包含x的開(kāi)集U，存在開(kāi)集V使得x∈V?scl（V）?U。

證明對(duì)于任意的y∈A，存在Wy，Y∈Wy，x?cl（Wy）。故集族W=｛Wy∶Y∈A｝∪｛X-A｝是X的一個(gè)覆蓋，那么它存在一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)覆蓋H，令V=∪｛H∈H∶Y∈H｝，那么V是一個(gè)包含A的半開(kāi)集，由cl（V）=cl（∪｛H∈H∶Y∈H｝）知道U=X-cl（V）是一個(gè)包含x的開(kāi)集且U∩V=?。

推論1每個(gè)S-亞緊T2空間是半正則的，即T=TS。

證明對(duì)于任意的U∈T，由定理1知存在開(kāi)集V，使V?s cl（V）?U，又V?int（cl（V））推出V∈PO（X，T），推出scl（V）=int（cl（V）），即V?int（cl（V））?U，由于int（cl（V））構(gòu)成的集族是空間X的一個(gè)基，所以X是半正則的。

推論2每個(gè)極不連通的S-亞緊T2空間是正則的。

證明?x∈X和x的任意開(kāi)鄰域存在開(kāi)集V使x∈V?scl（V）?U，由（X，T）是極不連通的，所以scl（V）=cl（V）即x∈V?cl（V）?U，從而X是正則的。

定理2每個(gè)極不連通的S-亞緊T2空間是亞緊的。

證明U是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由推論2知任意的x∈X，存在Ux∈U，Vx∈T使得x∈Vx?cl（Vx）?Ux，則V=｛Vx∶x∈X｝是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋，從而V存在一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)覆蓋，W=｛Wβ∶β∈B｝對(duì)于任意的β∈B存在開(kāi)集Hβ使得Hβ?Wβ?cl（Hβ），那么對(duì)于任意的β∈B存在Vx∈V使得cl（Hβ）=scl（Hβ）=cl（Wβ）?cl（Vx）?Ux，由引理2知W=｛Wβ∶β∈B｝是點(diǎn)有限的，當(dāng)且僅當(dāng)W=｛scl（Wβ）∶β∈B｝是點(diǎn)有限的，從而W=｛cl（Wβ）∶β∈B｝是點(diǎn)有限的，那么集族H=｛cl（Hβ）∶β∈B｝是點(diǎn)有限的，故H是U的一個(gè)點(diǎn)有限的開(kāi)加細(xì)覆蓋。

定理3如果（X，Tα）是S-亞緊的，則（X，T）是S-亞緊的。

證明設(shè)U是（X，T）的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由于T?Tα，所以U是（X，Tα）的一個(gè)開(kāi)覆蓋，從而U在（X，Tα）中存在一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)V，由于SO（X，T）=SO（X，Tα），顯然V在（X，T）中也是點(diǎn)有限的，所以（X，T）是S-亞緊的。

定理4（X，T）是極不連通的空間，若（X，TSO）是S -亞緊的，則（X，T）是S-亞緊的。

證明由于（X，T）是極不連通的，SO（X，T）?PO（X，T）［5］，知Tα=SO（X，T）∩PO（X，T）=SO（X，，由定理3知（X，T）是S-亞緊的。

定理5（X，T）是T2空間，則有（X，T）是S-亞緊的，當(dāng)且僅當(dāng)X的每一個(gè)開(kāi)覆蓋都有點(diǎn)有限的半閉加細(xì)V（V∈SC（X，T），任意V∈V）。

證明必要性∶設(shè)U是X的任一個(gè)開(kāi)覆蓋，對(duì)于任意的x∈X，存在UX∈U，且x∈UX，由定理1知存在VX∈T使得x∈VX?scl（VX），因此｛VX∶x∈X｝是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋。則它存在一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)W=｛Wβ∶β∈B｝，令scl（W）=｛scl（Wβ）∶β∈B｝，顯然scl（W）是一個(gè)點(diǎn)有限的半閉集族，且對(duì)任意的β∈B有scl（Wβ）?scl（VX）?UX，所以scl（W）是U的一個(gè)半閉加細(xì)［7］。

充分性∶U是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋，V是U的一個(gè)點(diǎn)有限的半閉加細(xì)，若V中僅含一個(gè)元素V，則V=X，顯然V是U的一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)；若V中含有多個(gè)元素，令V′=X-V，V∈V，則｛V′∶V∈V｝是X的一個(gè)半開(kāi)覆蓋，任意的V∈V都存在UV∈U使得V?UV，由引理1知｛UV∩V′∶V∈V｝是U的一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)。

定理6［8］（X，T）是一個(gè)極不連通的T2空間，則（X，T）是S-亞緊的，當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)開(kāi)覆蓋U有一個(gè)點(diǎn)有限的正則閉加細(xì)V，V∈RC（X，T）。

證明充分性∶對(duì)任意的V∈RC（X，T）顯然int（V）?V=cl（int（V）），從而V∈SO（X，T），所以X的每個(gè)開(kāi)覆蓋U有一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)V。

必要性∶設(shè)U是X的任一開(kāi)覆蓋，則對(duì)任意的x∈X和任意的Ux∈T，由推論2知存在X的一個(gè)開(kāi)領(lǐng)域V使得x∈VX?cl（VX）?Ux，因此｛VX∶x∈X｝是X的一個(gè)開(kāi)覆蓋，則它存在一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)?W=｛Wβ∶β∈B｝，由引理2知｛scl（Wβ）∶β∈B｝是點(diǎn)有限的，又（X，T）是極不連通的，故｛cl（Wβ）∶β∈B｝是點(diǎn)有限的，又Wβ?VX，知cl（Wβ）?cl（VX）?Ux，所以V=｛cl（Wβ）∶β∈B｝點(diǎn)有限加細(xì)U，又由于Wβ∈SO（X，T），所以cl（Wβ）∈RC（X，T），故V=｛cl（Wβ）∶β∈B｝是U的一個(gè)點(diǎn)有限的正則閉加細(xì)覆蓋。

［1］Levine N.Sem i-open sets and sem i-continuity in topological spaces［J］.Amer.M ath.M onthly'1963'70: 36-41.

［2］Noiri T.Properties of S-closed spaces［J］.Acta Math. Hungar.'1980'35:431-436.

［3］AL-Zoubi K Y.s-paracompact［J］.Acta Math.Hungar.' 2006'110:165-174.

［4］Al-Zoubi K Y.s-expandable spaces［J］.Acta M ath.Hungar.'2004'102:203-212.

［5］Jankovic D S.A note on mappings of extremally disconnected spaces［J］.Acta Math.Hungar'1985'46:83-92.

［6］Reilly IL'Vamanamurthy M K.Onα-continuity in topological spaces［J］.Acta Math.Hungar'1985'45:27-32.

［7］高國(guó)士.拓?fù)淇臻g論［M］.北京:科學(xué)出版社'2000.

［8］趙樹(shù)魁.亞強(qiáng)和亞弱仿緊空間的一些性質(zhì)［J］'吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào)'2012(4）:80-83.

S-weak Paracom pact Spaces

ZHANG Yanjie，WU Zhaoxin，YANG Sixin
（College of Management Science，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China）

The notion of S-weak paracompact is introduced and the following results aremainly proved:（1）If（X，T）is a S-weak paracompact T2-space，then for every closed subset A of X and x?A，there exist U∈T and V∈SO（X，T）such that x∈U，A∈V and U∩V=?；（2）If（X，Tα）is S-weak paracompact then（X，T）is S-weak paracompact；（3）Let（X，T）be a extremely disconnected T2-space.Then（X，T）is S-weak paracompact if and only if each open cover U of X has a locally finite regular-closed refinement V，V∈RC（X，T）

semi-open sets；extremely disconnected；S-weak paracompact；α-sets

O189.11

A

1673-1549（2014）01-098-03

10.11863/j.suse.2014.01.25

2013-09-30

安徽省高等學(xué)校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金項(xiàng)目（2010SQRL158）

張焰杰（1988-），男，河南安陽(yáng)人，碩士生，主要從事拓?fù)鋵W(xué)方面的研究，（E-mail）1036961343@qq.com