幾何畫板在二次函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

鐘俊浪

用幾何畫板可以動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)函數(shù)圖像的變化過程，化抽象為形象.解決函數(shù)最值時(shí)我們用圖像分析法能直觀、容易地得出結(jié)論，但含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，由于參數(shù)是可變的，用傳統(tǒng)的靜態(tài)圖像有很多學(xué)生是比較難掌握的.利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)教學(xué)，通過具體的感性的圖像呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解它，而是能夠更有實(shí)感地去把握它.結(jié)合幾何畫板畫出含參數(shù)的函數(shù)圖像，結(jié)合圖像的動(dòng)態(tài)變化過程為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合的情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).從而更好地理解在哪里取最大值、哪里取最小值，幫助學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)出自己的結(jié)論.下面以二次函數(shù)為例來說明幾何畫板動(dòng)態(tài)教學(xué)的應(yīng)用.

一、函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[-1，3.2]上的最大值和最小值的動(dòng)態(tài)演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制好A點(diǎn)（-1，0）和B點(diǎn)（3.2，0），即區(qū)間[-1，3.2].在線段AB上構(gòu)造一個(gè)點(diǎn)C，度量出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記為x，再計(jì)算出f（x），繪制好D（x，f（x））；選擇C、D【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡(jiǎn)潔.過D點(diǎn)作y軸的垂線段交y軸于E點(diǎn).C點(diǎn)在線段AB上移動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與E點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣.通過E點(diǎn)的值的變化可以清晰地反映函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.選擇點(diǎn)E【編輯】|【操作類按鈕】|【動(dòng)畫】，制作好按鈕.只要按就可以讓F點(diǎn)在圖像上運(yùn)動(dòng)起來，觀察出何時(shí)取最大值和最小值，最后將E、F的標(biāo)簽改為x、f（x），如圖1.

圖1

二、函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+2]上的最大值和最小值的動(dòng)態(tài)演示

1.利用幾何畫板畫出f（x）=x2-2x+2的圖像，在x軸上繪制一點(diǎn)A，度量A的橫坐標(biāo)，記為t，計(jì)算t+2；繪制點(diǎn)B（t+2，0），構(gòu)造線段AB，在線段AB取一點(diǎn)P，度量其橫坐標(biāo)，記為x，計(jì)算f（x），繪制點(diǎn)M（x，f（x））；選擇P、M【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像.

2.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡(jiǎn)潔.作出函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，過A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線段，作出線段PM，再過M作y軸的垂線段（虛線），最后將A、B、P、M的標(biāo)簽改為t，t+2，x，f（x），如圖2.

圖2

3.拖動(dòng)點(diǎn)t讓函數(shù)f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的圖像動(dòng)起來.觀察函數(shù)在區(qū)間[t，t+2]的最大值和最小值，并從中總結(jié)出需要的結(jié)論.

4.當(dāng)t≤-1時(shí)，函數(shù)的最大值為f（t），最小值為f（t+2）；當(dāng)-11時(shí)，函數(shù)的最大值為f（t+2），最小值為f（t）.

三、函數(shù)f（x）=x2-2tx+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值的動(dòng)態(tài)演示

1.在x軸上構(gòu)造一點(diǎn)A，過A點(diǎn)構(gòu)造x軸的垂線，再在垂線上構(gòu)造一點(diǎn)B，度量其縱坐標(biāo)，記為t，并將B點(diǎn)標(biāo)簽改為t.

2.繪制函數(shù)f（x）=x2-2tx+2圖像；繪制點(diǎn)C（-1，0）、D（1，0），構(gòu)造線段CD，在線段CD上取一點(diǎn)E，度量其橫坐標(biāo)，記為x，計(jì)算f（x），繪制點(diǎn)F（x，f（x））；選擇E、F【構(gòu)造】|【軌跡】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的圖像.

3.隱藏圖像上不要的元素，使圖像更加簡(jiǎn)潔.作出對(duì)稱軸，并作出線段EF，再過F作y軸的垂線段（虛線）.將點(diǎn)E、F的標(biāo)簽改為x，f（x）.

4.拖動(dòng)參數(shù)t，觀察圖像的變化，然后保持參數(shù)t不變，再拖動(dòng)點(diǎn)x，觀察其函數(shù)值的變化，得出函數(shù)f（x）=x2-2tx+2在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值（圖略）.

5.當(dāng)t≤-1時(shí)，函數(shù)的最大值為f（1），最小值為f（-1）；當(dāng)-11時(shí)，函數(shù)的最大值為f（-1），最小值為f（1）.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）