函數(shù)、等差數(shù)列“牽手”研究

陳鵬

摘 要 函數(shù)、等差數(shù)列這部分知識是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個銜接點(diǎn)，歷來是高考考查的重點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果用函數(shù)方程的思想來研究數(shù)列，尤其是等差數(shù)列，往往能起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞 函數(shù)；等差數(shù)列；數(shù)據(jù)研究；一次函數(shù)

函數(shù)在高中階段非常重要的一個數(shù)學(xué)階段，它貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程中。用函數(shù)思想解決有些問題要比用普通方法簡單、輕松。在日常教學(xué)過程中，教師和學(xué)生都應(yīng)不斷挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的函數(shù)思想，從而更深刻地理解函數(shù)概念。 一、函數(shù)、等差數(shù)列“牽手”

函數(shù)是貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程的一條主線，這條主線鏈接著高中數(shù)學(xué)課程的許多內(nèi)容，來分析如下教學(xué)案例。在高三這個階段，同學(xué)們已學(xué)習(xí)了數(shù)列的基本知識和基礎(chǔ)函數(shù)的應(yīng)用，其實(shí)函數(shù)和數(shù)列存在著千絲萬縷的聯(lián)系。那么我們可以嘗試將等差數(shù)列和一次函數(shù)結(jié)合起來，在等差數(shù)列中我們通常用通項(xiàng)公式來求數(shù)列的相關(guān)量，而等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（n R），an可以看做n的一次函數(shù)（特殊地，d=0為常數(shù)函數(shù)），也就是說數(shù)列可以直接看成特殊的函數(shù)，那么在數(shù)列中很多問題都可以應(yīng)用函數(shù)來解決了。

例一：

（1）求等差數(shù)列8，5，2，...的第20項(xiàng)。

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，...的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

解：（1）因?yàn)椋?，8）、（2，5）、（20，a20）是同一直線上的點(diǎn)。 所以，解之得a20=-49

（2）由題意可知，所求問題就是求n是否為正整數(shù)的問題。因?yàn)椋?，-5）、（2，-9）、（n，-401）是同一直線上的點(diǎn)。所以，解之得n=100。故-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng)。

總結(jié)升華：求函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，具體怎樣求出其中的待定系數(shù)的值，要根據(jù)具體的題設(shè)條件求出。

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值就是數(shù)列。差數(shù)列會是什么樣的函數(shù)，首先研究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，因?yàn)樗w現(xiàn)了數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系在等差數(shù)列{an}中，公差為d（d是常數(shù)）。當(dāng)d≠0時，其通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），f（n）=dn+（a1-d），是關(guān)于自變量n的一次函數(shù)。所以，通項(xiàng)an可以寫成關(guān)于n的一次函數(shù)形式是an成等差數(shù)列的充要條件。當(dāng)d=0時，an=a1，而一次函數(shù)要求一次項(xiàng)的系數(shù)一定不為0，所以當(dāng)d=0時，an不是關(guān)于n的一次函數(shù).只有在d≠0時，才可以進(jìn)行剛才的研究。但不管公差d是否等于0，我們都可以認(rèn)為an分布在一條直線上，d相當(dāng)于該直線的斜率，這樣就得到d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，這實(shí)際就是是在用函數(shù)思想來研究數(shù)列。

二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

例二：數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是它的通項(xiàng)an可以寫成關(guān)于n的一次函數(shù)的形式。若an是等差數(shù)列，公差為d，an 是關(guān)于n的一次函數(shù)。若an可以寫成關(guān)于n的一次函數(shù)，即：an=An+B（A、B為常數(shù)）則：an+1-an=〔A（n+1）+B〕-（An+B）=A所以an是以A為公差的等差數(shù)列

根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線知：等差數(shù)列an中的任三點(diǎn)（m，am）（p，ap）（q，ap）共線。已知等差數(shù)列（an）和第n項(xiàng)為1997，第1997項(xiàng)為n，求數(shù)列的第n+2000項(xiàng)。解：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以點(diǎn)（n，1997）（1997，n）（n+2000，an+2000）三點(diǎn)共線，所以an+2000=-3。

例三：已知當(dāng)x=5時，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx取得最小值，等差數(shù)列{An}的前n項(xiàng)和Sn=f（n），A2=-7。求數(shù)列{An}的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)镾2=A2+A1

A1=S1=f（1）=a+b

S2=f（2）=4a+2b

所以A2=S2-S1=S2-A1=4a+2b-a-b=3a+b=-7

又因?yàn)?/p>

當(dāng)x=5時f（x）=ax2+bx有極小值

所以可推算出

函數(shù)f（x）與x軸交點(diǎn)在0，10處及x1=x2=10

有10a+b=0與3a+b=-7聯(lián)立解得：a=1，b=-10

那么數(shù)列的通項(xiàng)公式為：An=Sn-Sn-1=n^2-10n-[（n-1）^2-10（n-1）]=2n-11

三、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

在掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)以后，要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。而在解決函數(shù)問題時我們通常選擇畫圖，如果將前n項(xiàng)和公式也看成一個特殊函數(shù)，利用圖像來解決問題，是不是會更簡單呢？

例四：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S9<0，S10>0，則此等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中n是多少時取得最小值？

分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，常數(shù)項(xiàng)為0，因此函數(shù)的圖象是過原點(diǎn)的拋物線上橫坐標(biāo)為自然數(shù)的點(diǎn)。由題意可知該數(shù)列公差大于0。如圖1對應(yīng)的拋物線，開口向上，與橫軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間（9，10）內(nèi)，可見其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間（4.5，5）內(nèi)，故當(dāng)n=5時，Sn最小。

總結(jié)：

數(shù)列這部分知識是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個銜接點(diǎn)，是高考考試中的關(guān)鍵拿分點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都可以看成n的函數(shù)，也可以看成是方程或方程組，特別是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是n的一次函數(shù)，而其求和公式可以看成是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)，因此許多數(shù)列問題可以用函數(shù)方程的思想進(jìn)行分析數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，更是與函數(shù)思想密不可分。而現(xiàn)行教材中對于函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用涉及較少，但這一點(diǎn)對于加深學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力是十分重要的。所以，廣大教育工作者們應(yīng)與時俱進(jìn)，把握好函數(shù)、等差數(shù)列“牽手”進(jìn)行專項(xiàng)課題研究。