球帶法求光通量的誤差分析及改進(jìn)

徐海涵

(國(guó)家廣播電視產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心，北京 100015)

1 球帶法簡(jiǎn)述[1]

如圖1所示，由已知光強(qiáng)分布I(φ,θ)求總光通量的公式如下：

(1)

Ftot為總光能量，φ和θ的含義如圖1所示，以下相同。

求部分光通量的公式為：

(2)

對(duì)于軸對(duì)稱光源，式(1)、式(2)變?yōu)椋?/p>

(3)

(4)

圖1 光強(qiáng)積分示意圖Fig.1 Schematic drama: luminous intensity integrating

球帶法是為了簡(jiǎn)化分布式光度計(jì)的測(cè)量和計(jì)算而對(duì)式(3)和式(4)作出的一些變化。如圖2所示，將球面分成許多球帶，各個(gè)球帶對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)分別為I1，I2，I3，……，In，這時(shí)由式(4)可以推導(dǎo)出各球帶所對(duì)應(yīng)的光通,如下：

圖2 球帶的分割Fig.2 Schematic drama: Division of sphere-band

(5)

式(5)中Fi為第i個(gè)球帶的光通量，θ含義見圖2，注意θ是從θ0到θn。

總光通量為：

(6)

式(5)為球帶法計(jì)算光通量的基本公式。按照球帶的分割方法，球帶法還可分為等角度法和等立體角法，其基本原理是相同的，在此不再詳述。

2 對(duì)球帶法公式的改進(jìn)

從球帶法的基本公式(5)的推導(dǎo)過(guò)程可以看出，式(5)成立的條件是在整個(gè)球帶上光強(qiáng)I是一個(gè)常數(shù)；式(6)成立的條件是I為以下這樣一個(gè)非連續(xù)的函數(shù)：

但這與實(shí)際的情況是不同的。實(shí)際上，I隨θ是連續(xù)變化的；在每一球帶上，假定I隨θ是線性變化的，這更符合實(shí)際的情況。在這個(gè)前提下，我們將對(duì)球帶上的光通量公式進(jìn)行重新推導(dǎo)。

設(shè)球帶邊界的θ角分別為θi-1和θi，光強(qiáng)I隨θ線性變化，其斜率是a，中心點(diǎn)(θi-1+θi)/2的光強(qiáng)為Ii，此Ii也就是式(5)中的球帶對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)。任意θ角的光強(qiáng)公式如下：

=2πa[(sinθi-θicosθi)-(sinθi-1-θi-1cosθi-1)]+2πb(cosθi-1-cosθi)

(7)

=2πIi(cosθi-1-cosθi)+2πa[(sinθi-θicosθi)-(sinθi-1-θi-1cosθi-1)]-πa(cosθi-1-cosθi)(θi-1+θi)

(8)

式(8)為改進(jìn)后球帶法(以下稱其為新球帶法)的基本公式。以示區(qū)別，把本文第1節(jié)中的方法稱為舊球帶法，其基本公式為式(5)。

3 舊球帶法誤差分析

比較式(8)和式(5)，可以看出：它們的前半部分[2πIi(cosθi-1-cosθi)]是相同的，差異在式(8)的后半部分，這一部分即為舊球帶法的誤差，記為：

(9)

以下對(duì)這一誤差進(jìn)行詳細(xì)分析。

首先，誤差與a成正比，即在某一球帶兩邊界的光強(qiáng)相差越大，則用舊球帶法計(jì)算光通的誤差越大。其次，除a以外的部分：

(10)

姑且稱之為“誤差因數(shù)”，是一個(gè)只與θ角以及Δθ(即θi-θi-1)相關(guān)的量，其與θ角及Δθ的關(guān)系如圖3所示。

圖3 舊球帶法“誤差因數(shù)”與θ角以及Δθ的關(guān)系Fig.3 Correlation curve between the error factor of old sphere-band method and θ for different Δθ

從圖3中可以看出：此“誤差因數(shù)”在兩極部分最大，在“赤道”附近最小。實(shí)際上，如果分成上下兩個(gè)半球的話，它們是對(duì)稱的，這一點(diǎn)很好理解。另外，此“誤差因數(shù)”隨Δθ的減少而快速減小，即球帶劃分劃細(xì)，則誤差越小。在Δθ分別為1°、5°、10°時(shí)，對(duì)同一球帶進(jìn)行光通量計(jì)算(假定a相同)，其光通量誤差分別相差約1個(gè)數(shù)量級(jí)。同時(shí)，這一“誤差因數(shù)”有正有負(fù)，因此在計(jì)算整個(gè)空間的光通量時(shí)，有可能有相互抵消的作用，從而有可能使總光通量的誤差減小。

4 實(shí)例分析與驗(yàn)證

以下通過(guò)實(shí)例進(jìn)行分析與驗(yàn)證。前面的幾個(gè)例子I分布是特例(在現(xiàn)實(shí)中不一定存在)，但通過(guò)式(3)能積分計(jì)算出光通量，由此可對(duì)新舊球帶法進(jìn)行驗(yàn)證；后幾個(gè)是實(shí)際光源光強(qiáng)分布的實(shí)例。

4.1 半空間線性分布(見圖4)

由表1結(jié)果可見，舊球帶法在Δθ較大的情況下計(jì)算結(jié)果與實(shí)際光通量值有較大誤差，Δθ為10°的情況下誤差為0.445%，5°情況下約為0.1%；到Δθ為1°時(shí)誤差才能減小到基本可以忽略的程度。而用新球帶法計(jì)算則不存在誤差。

圖4 驗(yàn)證實(shí)例4.1的光分布：半空間線性分布Fig.4 Luminous intensity distribution of example 4.1: semi-direction linear

表1 實(shí)例分析與驗(yàn)證：半空間線性分布計(jì)算結(jié)果Table 1 Result of example: semi-direction linear distribution

4.2 全空間線性分布(見圖5、表2)

從總光通量來(lái)看，新舊兩種方法計(jì)算出的結(jié)果是相同的，并且誤差為0。但如果單獨(dú)計(jì)算下半球或上半球光通量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)與實(shí)例1中相同的情況，即Δθ較大時(shí)誤差較大。只不過(guò)下半球是正誤差、上半球是負(fù)誤差，對(duì)總光通量來(lái)說(shuō)，正負(fù)誤差相加剛好給抵消掉了。這正是在第3節(jié)中分析過(guò)的計(jì)算全光通量時(shí)誤差抵消的實(shí)例。

圖5 驗(yàn)證實(shí)例4.2的光分布：全空間線性分布Fig.5 Luminous intensity distribution of example 4.2: omni-direction linear

表2 實(shí)例分析與驗(yàn)證：全空間線性分布計(jì)算結(jié)果Table 2 Result of example: omni-direction linear distribution

4.3 LED射燈No.1(見圖6、表3)

Δθ為10°時(shí)，新舊方法計(jì)算結(jié)果誤差為4.24%、2.19%，Δθ為5°時(shí)則分別為1.07%、0.55%。由結(jié)果可見：當(dāng)Δθ較大時(shí)，由于未能準(zhǔn)確體現(xiàn)出光源光強(qiáng)分布的真實(shí)情況，因此Δθ為10°和5°時(shí)兩種方法求出的光通量誤差都比較大，但相對(duì)而言用新球帶法計(jì)算出的誤差更小，更接近真實(shí)光通量值。

圖6 驗(yàn)證實(shí)例4.3：LED射燈No.1的光分布Fig.6 Luminous intensity distribution of example 4.3: LED reflector lamp No.1

表3 實(shí)例分析與驗(yàn)證：LED射燈No.1Table 3 Result of example: LED reflector lamp No.1

4.4 LED射燈No.2(見圖7、表4)

其結(jié)果與實(shí)例4.3類似。

圖7 驗(yàn)證實(shí)例4.4：LED射燈No.2的光分布Fig.7 Luminous intensity distribution of example 4.4:LED reflector lamp No.2

表4 實(shí)例分析與驗(yàn)證：LED射燈No.2Table 4 Result of example: LED reflector lamp No.2

4.5 LED筒燈No.1(見圖8、表5)

圖8 驗(yàn)證實(shí)例4.5：LED筒燈No.1的光分布Fig.8 Luminous intensity distribution of example 4.5: LED downlight No.1

表5 實(shí)例分析與驗(yàn)證：LED筒燈No.1Table 5 Result of example: LED downlight No.1

4.6 LED筒燈No.2(見圖9、表6)

圖9 驗(yàn)證實(shí)例4.6：LED筒燈No.2的光分布Fig.9 Luminous intensity distribution of example 4.6: LED downlight No.2

表6 實(shí)例分析與驗(yàn)證：LED筒燈No.2Table 6 Result of example: LED downlight No.2

4.7 LED球泡燈(見圖10、表7)

圖10 驗(yàn)證實(shí)例4.7：LED球泡燈的光分布Fig.10 Luminous intensity distribution of example 4.7: LED bulb lamp

表7 實(shí)例分析與驗(yàn)證：LED球泡燈Table 7 Result of example: LED bulb lamp

5 結(jié)論

如果假定光強(qiáng)在球帶上隨θ角線性變化，則根據(jù)數(shù)學(xué)推理，應(yīng)按改進(jìn)后球帶法的式(8)計(jì)算該球帶的光通量。這樣計(jì)算出的光通量相比舊球帶法式(5)計(jì)算出的光通量誤差小，理論分析(圖3，式(9))第4節(jié)中的實(shí)例均證明了這一點(diǎn)。

據(jù)筆者的了解，在利用光強(qiáng)分布計(jì)算總光通量或部分光通量的實(shí)際應(yīng)用中，仍多采取式(6)的求和方法進(jìn)行(對(duì)非軸對(duì)稱光源，先對(duì)光強(qiáng)在水平面上求平均，再利用此式),如本文的分析，在Δθ足夠小的情況下(3°或更小)，計(jì)算誤差較小。但如果Δθ比較大(>5°)，并且光強(qiáng)在垂直方向上變化較大時(shí)(例如射燈、筒燈等方向性光源)，計(jì)算誤差會(huì)較大。但無(wú)論如何，這種計(jì)算誤差都是客觀存在的。因此，筆者認(rèn)為在高精度要求的場(chǎng)合，有必要對(duì)按式(5)計(jì)算造成的計(jì)算誤差進(jìn)行估算，如果誤差較大，應(yīng)按式(8)的算法進(jìn)行修正。

更進(jìn)一步，在所有要應(yīng)用到球帶光通量的場(chǎng)合，例如LM79-08、GB/T 29293—2012等標(biāo)準(zhǔn)中求平均色度時(shí)，都應(yīng)該對(duì)按式(5)計(jì)算造成的計(jì)算誤差進(jìn)行評(píng)估，特別是在這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中Δθ都為10°。

[1] 周太明,周詳,蔡偉新.光源原理與設(shè)計(jì)[M].2版.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2006.