框架結(jié)構(gòu)損傷定位的比例柔度矩陣分解法試驗(yàn)研究

安永輝， 歐進(jìn)萍

(大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院， 遼寧 大連116023)

引 言

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的核心問(wèn)題之一是尋找與結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性密切相關(guān)且對(duì)損傷敏感的特征參數(shù)[1]。結(jié)構(gòu)損傷部位的剛度、強(qiáng)度等力學(xué)性能降低，從而導(dǎo)致動(dòng)力特性發(fā)生改變。不同的損傷引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變也不相同，因此可以基于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷[2,3]。柔度矩陣由模態(tài)頻率和振型構(gòu)建而成，也集成了這兩個(gè)模態(tài)參數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，在基于振動(dòng)的損傷識(shí)別方法中有著較多應(yīng)用[4～6]。

損傷識(shí)別關(guān)鍵要把握兩點(diǎn)[7]：第一，選取或構(gòu)建能反映損傷的特征參數(shù)。第二，選取合適的數(shù)學(xué)工具來(lái)處理選定的特征參數(shù)使之對(duì)損傷更敏感，更好地建立與損傷的聯(lián)系。這兩點(diǎn)直接關(guān)系到損傷識(shí)別的精度。作者在早期工作中提出了基于柔度矩陣LU分解的損傷定位方法[8]，并利用直接識(shí)別得到的振型(未進(jìn)行質(zhì)量歸一化處理)對(duì)幾個(gè)單、多損傷工況進(jìn)行了初步的數(shù)值模擬研究并取得成功。該法從結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)入手，首先識(shí)別出結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)振型和頻率，基于直接識(shí)別的模態(tài)參數(shù)構(gòu)建結(jié)構(gòu)模態(tài)柔度矩陣；然后對(duì)損傷前后的柔度矩陣差進(jìn)行LU分解；最后引入以往在模態(tài)振型上使用的曲率法對(duì)U矩陣進(jìn)行處理來(lái)構(gòu)建損傷指標(biāo)對(duì)損傷進(jìn)行定位。但是嚴(yán)格意義上說(shuō)，柔度矩陣應(yīng)該使用質(zhì)量歸一化振型構(gòu)建，所以基于直接識(shí)別振型構(gòu)建的矩陣不能稱(chēng)為柔度矩陣，并且所提出的方法需要進(jìn)一步進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。

由于柔度矩陣由模態(tài)頻率和質(zhì)量歸一化振型構(gòu)建而成，這就需要測(cè)試結(jié)構(gòu)輸入或者需要至少一個(gè)測(cè)點(diǎn)上同時(shí)知道輸入和輸出才能得到質(zhì)量歸一化振型。但是對(duì)于很多工程結(jié)構(gòu)而言，其所受的環(huán)境激勵(lì)等隨機(jī)激勵(lì)很難或者無(wú)法通過(guò)測(cè)試得到，導(dǎo)致無(wú)法獲得質(zhì)量歸一化振型[9]。許多研究者已提出了環(huán)境激勵(lì)下或輸入未知時(shí)構(gòu)建柔度矩陣的方法[5,10，12]。其中段忠東等[11，12]提出了測(cè)試自由度完備和非完備情況下構(gòu)建結(jié)構(gòu)比例柔度矩陣的方法，指出比例柔度矩陣與真正的柔度矩陣僅相差一個(gè)比例因子。比例柔度矩陣這一概念的提出使得基于柔度矩陣的損傷識(shí)別方法可以在環(huán)境激勵(lì)或未知激勵(lì)的情況下使用。因此，本文將比例柔度矩陣的概念用在提出的損傷定位方法中。獲得了結(jié)構(gòu)損傷前后測(cè)點(diǎn)的加速度后，可直接構(gòu)建比例柔度矩陣進(jìn)行損傷定位：當(dāng)質(zhì)量矩陣在各測(cè)點(diǎn)處的元素相等時(shí)，文中提出了一種簡(jiǎn)便的構(gòu)建比例柔度矩陣的方法,其余情況可參考文獻(xiàn)[11，12]構(gòu)建柔度矩陣。該方法不需要建立有限元模型，節(jié)省了大量建模和模型修正工作量；同時(shí)避免了由于有限元模型中各種不確定因素給結(jié)構(gòu)評(píng)估和健康監(jiān)測(cè)帶來(lái)的影響[13]。

文中首先模擬研究了某20層框架結(jié)構(gòu)在基底白噪聲激勵(lì)下的單、多損傷工況。然后在University of Illinois at Urbana-Champaign設(shè)計(jì)、建造了一個(gè)6層剪切型集中質(zhì)量框架模型，基于該模型重點(diǎn)進(jìn)行了其振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)和脈沖激勵(lì)試驗(yàn)下的單損傷和多損傷工況驗(yàn)證，并得出了一些有益的結(jié)論。

1 基于比例柔度矩陣LU分解的損傷定位方法

提出的方法基于比例柔度矩陣的LU分解和曲率法，下面給予詳細(xì)介紹。

1.1 方法的理論基礎(chǔ)

1.1.1 比例柔度矩陣的構(gòu)建

如下方程所示[14]，柔度矩陣F可用動(dòng)力測(cè)試模態(tài)參數(shù)(模態(tài)頻率和振型)來(lái)表示

(1)

結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣，當(dāng)質(zhì)量矩陣中各測(cè)點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)元素相等時(shí)，假設(shè)其質(zhì)量矩陣為

M=μI

(2)

式中μ為常數(shù)，I為維數(shù)與M相同的單位陣。假設(shè)直接識(shí)別得到的振型與質(zhì)量歸一化振型之間的關(guān)系為

(3)

式中κi為常數(shù)。結(jié)構(gòu)的質(zhì)量歸一化振型φi可通過(guò)下式求得

(4)

將式(2)，(3)帶入式(4)可得

(5)

所以可求得

(6)

(7)

將式(3)帶入式(1)可得結(jié)構(gòu)的真實(shí)的柔度矩陣F為

(8)

假設(shè)質(zhì)量矩陣M=I，即μ=1時(shí)結(jié)構(gòu)的比例柔度矩陣Fp為

(9)

比較式(8)和(9)，可得兩個(gè)柔度矩陣之間的關(guān)系為

Fp=μF

(10)

可知兩者之間只相差一個(gè)比例因子μ，并且與文獻(xiàn)[11，12]指出的該比例常數(shù)為結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)質(zhì)量這一結(jié)論保持一致。

(11)

(12)

得到U矩陣后，對(duì)于m×m維的U矩陣，定義向量UU為矩陣U的每列元素的平方和，即

(13)

式中符號(hào)“.*”指點(diǎn)乘，即將該符號(hào)前后兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)位置元素相乘。

1.1.3 基于向量UU曲率的損傷指標(biāo)

曲率模態(tài)法由Pandey等[17]于1991年提出，之后研究者基于該法做了很多研究，證明了曲率方法對(duì)損傷的敏感性。對(duì)位移模態(tài)進(jìn)行“中心差分”后得到振型的曲率為[17]

(14)

式中v為模態(tài)位移，h為數(shù)值模型中的單元長(zhǎng)度。

目前，曲率方法已經(jīng)成為損傷識(shí)別領(lǐng)域的一個(gè)基本數(shù)學(xué)工具。類(lèi)似地，本文定義向量UU的“曲率”如下

(15)

式中Ck是節(jié)點(diǎn)k處的曲率，(UU)k是矩陣UU的第k個(gè)元素。

為方便在圖中觀察，定義損傷指標(biāo)DI如下

DIk=(Ck)*

(16)

式中 (Ck)*為Ck的歸一化值，即將最大值變?yōu)?。

1.1.4 比例柔度矩陣對(duì)損傷指標(biāo)的影響

下面簡(jiǎn)要討論一下基于柔度矩陣和比例柔度矩陣對(duì)文中提出的損傷指標(biāo)DI有何影響。

基于真正的柔度矩陣差FΔ進(jìn)行損傷定位時(shí)，

(17)

對(duì)FΔ進(jìn)行LU分解，結(jié)果見(jiàn)下式

(18)

記此時(shí)向量UU為UU*，

(19)

由于UU和UU*是成比例的，則根據(jù)式(15)計(jì)算出的向量UU和UU*的曲率在每個(gè)測(cè)點(diǎn)處也是成比例的，并且比例因子相同；但最終的損傷指標(biāo)，即向量UU和UU*的歸一化曲率則相同。所以基于比例柔度矩陣和基于真正的柔度矩陣進(jìn)行損傷定位時(shí)，提出的方法中最終的損傷指標(biāo)是相同的，損傷定位結(jié)果也是相同的。

1.2 方法的步驟

1)獲得結(jié)構(gòu)損傷前后測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)；

2)基于NExT-ERA法(針對(duì)環(huán)境激勵(lì))或者ERA法(針對(duì)脈沖激勵(lì))等參數(shù)識(shí)別方法識(shí)別結(jié)構(gòu)的前幾階模態(tài)參數(shù)；

3)構(gòu)建質(zhì)量歸一化振型，對(duì)于文中結(jié)構(gòu)或常見(jiàn)的質(zhì)量均勻分布的結(jié)構(gòu)，可假設(shè)其質(zhì)量矩陣為單位陣進(jìn)而獲得假設(shè)情況下的質(zhì)量歸一化振型進(jìn)而構(gòu)建損傷前后的比例柔度矩陣；其他情況下的比例柔度矩陣構(gòu)建參考文獻(xiàn)[11，12]；

4)對(duì)比例柔度矩陣差進(jìn)行LU分解；

5)獲得向量UU；

6)計(jì)算向量UU在各個(gè)測(cè)點(diǎn)處的“曲率”并將曲率值對(duì)其最大值歸一化，其中正向突起處與損傷位置相關(guān)；

7)為了減弱噪聲及模態(tài)識(shí)別的不確定性對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果帶來(lái)的影響，采用多組不同的數(shù)據(jù)按照前6個(gè)步驟進(jìn)行多次識(shí)別，取多次識(shí)別結(jié)果的平均值作為最終損傷識(shí)別結(jié)果；尤其對(duì)小損傷，將多次識(shí)別結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果可較大提高損傷識(shí)別準(zhǔn)確率。

2 數(shù)值驗(yàn)證

2.1 數(shù)值模型

為了檢驗(yàn)提出方法的有效性，選取某20層集中質(zhì)量剪切型框架結(jié)構(gòu)(圖1)作為研究對(duì)象進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證：該結(jié)構(gòu)中ki=600 kN/m，mi=500 kg，i=1,2,3,…,20，阻尼比ζ=0.02，獲得剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M后，Rayleigh阻尼矩陣C可由K，M求出，則結(jié)構(gòu)基本運(yùn)動(dòng)方程為

(20)

圖1 某20層剪切型框架結(jié)構(gòu)

基底隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間矩陣As，Bs，Cs，Ds可用下列式子表示

式中As為系統(tǒng)矩陣，Bs為輸入矩陣，Cs為輸出矩陣，Ds為直接傳遞矩陣。

脈沖激勵(lì)下該結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間矩陣中As和Cs不變，Bs和Ds如下：

式中G為脈沖激勵(lì)輸入位置向量，沒(méi)有激勵(lì)的自由度處G元素為0。

獲得結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間矩陣As，Bs，Cs，Ds后，可在SIMULINK里建立不同激勵(lì)形式下相應(yīng)的結(jié)構(gòu)模型來(lái)獲得加速度響應(yīng)。需要注意的是SIMULINK里通過(guò)Band-limited white noise模塊來(lái)施加隨機(jī)激勵(lì)來(lái)模擬環(huán)境激勵(lì)，為了使損傷前后的隨機(jī)激勵(lì)不同，需在這個(gè)模塊里設(shè)置不同的seed。損傷通過(guò)折減某層的剛度k來(lái)模擬，在損傷前后各測(cè)點(diǎn)的加速度響應(yīng)里加入5%的噪聲模擬測(cè)試誤差及環(huán)境噪聲。

2.2 損傷工況及結(jié)果

本文側(cè)重于試驗(yàn)驗(yàn)證，數(shù)值模擬部分僅以基底白噪聲激勵(lì)(模擬環(huán)境激勵(lì))下的三個(gè)損傷工況為例來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。如表1所示，三個(gè)損傷工況分別為單損傷、雙損傷和三損傷工況。

表1 數(shù)值損傷工況

獲得各損傷工況中損傷前后的加速度響應(yīng)后，假設(shè)結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣M為單位陣對(duì)識(shí)別振型進(jìn)行處理，選取結(jié)構(gòu)前4階振型，然后按照1.2節(jié)提出方法的具體步驟進(jìn)行10次損傷識(shí)別并取平均值，最終的損傷定位結(jié)果分別如圖2,3,4所示，圖中第二部分為第一部分中的正值部分的直方圖。

圖2 5%噪聲下?lián)p傷工況S1數(shù)值模擬結(jié)果

圖3 5%噪聲下?lián)p傷工況S2數(shù)值模擬結(jié)果

圖4 5%噪聲下?lián)p傷工況S3數(shù)值模擬結(jié)果

從圖2,3,4中可以看出無(wú)損傷處的損傷指標(biāo)(即歸一化曲率)接近于0；同時(shí)從圖2可知當(dāng)?shù)?層損傷時(shí)，節(jié)點(diǎn)5和6處的損傷指標(biāo)值明顯突起，其中5處正向突起；圖3可知當(dāng)?shù)?1,12層損傷時(shí)，節(jié)點(diǎn)10,11處的損傷指標(biāo)值明顯正向突起，12處的損傷指標(biāo)值負(fù)向突起；圖4可知當(dāng)?shù)?,10,18層損傷時(shí)，節(jié)點(diǎn)4,9,17處的損傷指標(biāo)值明顯正向突起，5,10,18處的損傷指標(biāo)值負(fù)向突起。以上結(jié)果及未列舉出的大量的數(shù)值模擬結(jié)果均呈現(xiàn)相同的規(guī)律：節(jié)點(diǎn)(x-1)處的損傷指標(biāo)值正向突起代表結(jié)構(gòu)第x層損傷。至此，無(wú)論單損傷還是多損傷工況的數(shù)值模擬結(jié)果均成功定位了預(yù)設(shè)損傷。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步試驗(yàn)驗(yàn)證提出方法的可行性，在美國(guó)University of Illinois at Urbana-Champaign的智能結(jié)構(gòu)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室里設(shè)計(jì)、建造了一個(gè)6層剪切型集中質(zhì)量框架模型，如圖5所示。該框架層高為210 mm，寬度為260 mm，每層的彈簧鋼柱子的尺寸為50 mm×1.27 mm，每層的集中質(zhì)量(包括塑料梁、鋼塊、螺釘)為2.17 kg。經(jīng)過(guò)模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試，該模型的前6階固有頻率依次為1.72,5.16,8.34,11.06,13.19,14.59 Hz。預(yù)備幾個(gè)厚度稍小(也是美國(guó)鋼板標(biāo)準(zhǔn)厚度之一)、其余尺寸不變的柱子作為損傷柱，試驗(yàn)中通過(guò)將某層柱子更換為損傷柱來(lái)模擬該層的損傷。

圖5 試驗(yàn)?zāi)Ｐ图罢駝?dòng)臺(tái)

3.1 試驗(yàn)設(shè)備

圖6 地震臺(tái)試驗(yàn)各設(shè)備連接示意圖

圖7 小錘脈沖激勵(lì)試驗(yàn)示意圖

圖8 VIBPILOT儀

采用兩種不同形式的試驗(yàn)激勵(lì)方式來(lái)驗(yàn)證提出的方法，圖6,7所示分別為地震臺(tái)試驗(yàn)和脈沖激勵(lì)試驗(yàn)中各設(shè)備和儀器之間的連接示意圖。圖8所示為VIBPILOT信號(hào)發(fā)射與采集儀，它既能產(chǎn)生信號(hào)并通過(guò)控制器輸送給振動(dòng)臺(tái)，同時(shí)又能采集模型的振動(dòng)響應(yīng)；試驗(yàn)采集過(guò)程中采用Butter低通濾波對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，截止頻率為15 Hz，加速度傳感器的靈敏度約為100 mV/g。

3.2 試驗(yàn)工況及結(jié)果

如表2所示，8種試驗(yàn)工況用來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證提出的方法在不同激勵(lì)下的損傷定位效果?；谇笆龇椒▽?duì)每個(gè)損傷工況進(jìn)行識(shí)別。

表2 試驗(yàn)損傷工況

單次損傷識(shí)別試驗(yàn)結(jié)果如圖9所示，根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果呈現(xiàn)的規(guī)律來(lái)確定損傷位置：當(dāng)結(jié)果為節(jié)點(diǎn)(x-1)處損傷指標(biāo)正向突起時(shí)，結(jié)構(gòu)第x層損傷；圖9所示試驗(yàn)結(jié)果均成功定位出損傷層。不同激勵(lì)下的單損傷和多損傷工況試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的損傷定位方法可以準(zhǔn)確地對(duì)損傷進(jìn)行定位，并且該法不受激勵(lì)形式的影響，只要模態(tài)參數(shù)識(shí)別準(zhǔn)確，損傷定位結(jié)果就準(zhǔn)確。同時(shí)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若用直接識(shí)別振型構(gòu)建柔度矩陣，識(shí)別效果不好甚至錯(cuò)誤。

4 結(jié) 論

本文提出了基于比例柔度矩陣LU分解和曲率的損傷定位方法，并通過(guò)大量的數(shù)值和試驗(yàn)工況對(duì)這個(gè)新方法進(jìn)行了模擬和試驗(yàn)驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：

1)文中研究了不同激勵(lì)形式下的單損傷和多損傷工況，數(shù)值和試驗(yàn)結(jié)果均表明提出的損傷定位方法能對(duì)損傷進(jìn)行準(zhǔn)確地定位；噪聲水平5%下，該方法可對(duì)單元?jiǎng)偠冉档?0%的小損傷進(jìn)行準(zhǔn)確定位。

2)文中提出的損傷定位方法可適用的結(jié)構(gòu)激勵(lì)方式多樣，可以是環(huán)境激勵(lì)、脈沖激勵(lì)、基底隨機(jī)激勵(lì)等，并且不需要測(cè)量輸入，可用于結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)健康監(jiān)測(cè)和定期檢測(cè)。

3)當(dāng)質(zhì)量陣的各測(cè)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)元素相等時(shí)，還提出了一種簡(jiǎn)便的構(gòu)建比例柔度矩陣的方法。

4)文中提出的損傷定位方法只需損傷前后的振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，不需要結(jié)構(gòu)有限元模型，避免了復(fù)雜的數(shù)值模型建模及模型修正工作；并且構(gòu)建一個(gè)滿足精確度的柔度矩陣只需要結(jié)構(gòu)的前幾階低階模態(tài)參數(shù)，這些參數(shù)基于目前的參數(shù)識(shí)別技術(shù)便可得到較為準(zhǔn)確的識(shí)別，這些優(yōu)點(diǎn)均為該方法的工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

圖9 8個(gè)試驗(yàn)損傷工況的損傷定位結(jié)果

致謝本文試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈谝蛔髡咴赨niversity of Illinois at Urbana-Champaign建立，該模型得到了B F Spencer,Jr教授的經(jīng)費(fèi)資助，在此表示衷心的感謝！

參考文獻(xiàn)：

[1] 林友勤，任偉新.基于隨機(jī)狀態(tài)空間模型的工程結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè) [J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2007，20(6)：599—605.Lin Youqin, Ren Weixin. Stochastic state space model-based damage detection of engineering structures[J]. Journal of Vibration Engineering, 2007,20(6):599—605.

[2] 張育智，李喬，單德山.SOFM網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)損傷位置識(shí)別中的應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊，2007，26(2)：160—163.Zhang Yuzhi, Li Qiao, Shan Deshan. Application of SOFM network for structure damage location identification[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007,26(2):160—163.

[3] 李睿，于德介，曾威.模式密度方法在結(jié)構(gòu)異常檢測(cè)中的應(yīng)用研究[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21(4)：343—348.Li Rui, Yu Dejie, Zeng Wei. Application of structural damage diagnosis using density-based outlier detection[J]. Journal of Vibration Engineering, 2008,21(4):343—348.

[4] 于德介，雷慧，程軍圣.基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與柔度變化的結(jié)構(gòu)破損診斷[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2001，14(3)：345—348.Yu Dejie, Lei Hui, Cheng Junsheng. A method for structural damage detection based on back propagation neural network and flexibility changes[J]. Journal of Vibration Engineering, 2001,14(3):345—348.

[5] Gao Y, Spencer B F Jr. Damage localization under ambient vibration using changes in flexibility[J]. Earthquake Engineering and Earthquake Vibration, 2002,1:136—144.

[6] Bernal D. Flexibility-based damage localization from stochastic realization results[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2006,132(6):651—658.

[7] An Y H, Ou J P. Experimental and numerical studies on model updating method of damage severity identification utilizing four cost functions[J]. Structural Control and Health Monitoring, 2013,20:107—120.

[8] An Y H, Ou J P. Use of LU decomposition of modal flexibility in structural damage detection: numerical validation[J]. Key Engineering Materials, 2013,569/570:986—993.

[9] Ni Y Q, Zhou H F, Chan K C, et al. Modal flexibility analysis of cable-stayed ting kau bridge for damage identification[J]. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering, 2008,23:223—236.

[10] Yan A M, Golinval J C. Structural damage localization by combining flexibility and stiffness methods[J]. Engineering Structures, 2005,27:1 752—1 761.

[11] 段忠東，閆桂榮，歐進(jìn)萍，等.結(jié)構(gòu)比例柔度矩陣[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(8)：1 236—1 238.Duan Zhongdong, Yan Guirong, Ou Jinping, et al. Proportional flex ibility ma tr ix of structures[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2006,38(8):1 236—1 238.

[12] Duan Z D, Yan G R, Ou J P, et al. Damage detection in ambient vibration using proportional flexibility matrix with incomplete measured DOFs[J]. Structural Control and Health Monitoring, 2007,14:186—196.

[13] 楊海峰，韓暉，吳子燕.基于MIGA的結(jié)構(gòu)模型修正及其應(yīng)用[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2012，32(2)：261—266.Yang Haifeng, Han Hui, Wu Ziyan. Structure model updating based on miga and its application[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012,32(2):261—266.

[14] Pandey A K, Biswas M. Damage detection in structures using changes in flexibility[J]. Journal of Sound and Vibration, 1994,169(1):3—17.

[15] Juang J N, Pappa R S. An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1985,8(5):620—627.

[16] James G H, Carne T G, Lauffer J P. The natural excitation technique (NExT) for modal parameter extraction from operating structures[J]. Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, 1995,10(4):260—277.

[17] Pandey A K, Biswas M, Samman M M. Damage detection from changes in curvature mode shapes[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991,145(2):321—332.