基于重整化群有限原胞級整體安全性分級評價(jià)

顧培英鄧 昌湯 雷

(1.南京水利科學(xué)研究院材料結(jié)構(gòu)研究所,江蘇南京 210029;2.水利部水科學(xué)與水工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210029)

基于重整化群有限原胞級整體安全性分級評價(jià)

顧培英1,2,鄧 昌1,2,湯 雷1,2

(1.南京水利科學(xué)研究院材料結(jié)構(gòu)研究所,江蘇南京 210029;2.水利部水科學(xué)與水工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210029)

為解決重整化群理論研究對象在理論上應(yīng)具有無標(biāo)度性(即原胞級數(shù)趨于無限大),但實(shí)際工程中原胞級數(shù)不可能取很大這一問題,基于重整化群理論的逾滲模型、斷層破裂分形樹模型、巖石破碎模型、重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)破壞概率模型,開展有限原胞級數(shù)的破壞概率規(guī)律研究。研究表明,原胞級數(shù)即迭代次數(shù)取3可滿足實(shí)際工程需要。提出基于三級原胞破壞概率值的實(shí)際結(jié)構(gòu)整體安全性分級方法,并給出應(yīng)用三棱柱模型判別重力壩結(jié)構(gòu)整體安全性狀態(tài)步驟。依據(jù)三級原胞破壞概率關(guān)鍵點(diǎn)、不動點(diǎn)將結(jié)構(gòu)整體安全狀態(tài)劃分為3個(gè)級別:(a)Ⅰ狀態(tài),結(jié)構(gòu)整體安全; (b)Ⅱ狀態(tài),結(jié)構(gòu)整體安全性較低,結(jié)構(gòu)整體由安全向破壞過渡,處于亞健康狀態(tài);(c)Ⅲ狀態(tài),結(jié)構(gòu)整體破壞。

重整化群理論;損傷概率;原胞級數(shù);結(jié)構(gòu)整體安全評價(jià)

Wilson將量子場論中的重整化群方法應(yīng)用于臨界現(xiàn)象研究,認(rèn)為重整化群在不動點(diǎn)附近的性質(zhì)決定了體系的臨界行為,建立了相變臨界現(xiàn)象理論,這是臨界現(xiàn)象研究領(lǐng)域的重大突破[1-2]。相變的基本特點(diǎn)是系統(tǒng)變量連續(xù)變化會造成系統(tǒng)宏觀參數(shù)的不連續(xù)(突變)變化。重整化群方法利用標(biāo)度不變性,先在最小標(biāo)度上研究較為簡單的相互作用系統(tǒng),然后將問題重整化,在進(jìn)一步大的標(biāo)度下利用同樣系統(tǒng)研究大的相互作用系統(tǒng),過程不斷重復(fù)[3]。

重整化群方法成功地解釋了相變和臨界點(diǎn)問題[4-14],得到尺度越來越大情況下的原胞破壞或滲透概率(這里統(tǒng)稱為破壞概率)遞推公式,建立的是局部與整體關(guān)系,該方法已在多孔介質(zhì)中的滲流問題、斷層破裂和巖石脆形等方面得到應(yīng)用。由于混凝土與巖石均屬脆性材料,性能較為相似,因此筆者提出一種基于重整化群理論的混凝土結(jié)構(gòu)整體安全評價(jià)方法[15-16]。

顧培英等[15]針對正方體水工混凝土結(jié)構(gòu),建立了局部損傷概率與整體安全性的關(guān)系。重整化群方法處理大體積塊體結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越性,因此適用于重力壩的整體安全性評價(jià)。重力壩基本剖面呈三角形,將每個(gè)壩段作為一個(gè)整體進(jìn)行分析,壩段呈三棱柱體結(jié)構(gòu)。顧培英等[17]推導(dǎo)得到三棱柱單元的混凝土結(jié)構(gòu)整體破壞概率。

重整化群理論研究狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)的臨界值問題,即原胞級數(shù)趨于無限大時(shí)概率只有2種可能:0、1,對整體安全而言認(rèn)為要么為完整、要么為倒塌,不討論中間安全狀態(tài)。但實(shí)際工程應(yīng)用中,原胞級數(shù)不可能取很大;此外,實(shí)際結(jié)構(gòu)即使沒有倒塌,但其安全性隨破壞概率的不同有所差異。所以,本文針對逾滲模型、斷層破裂分形樹模型、巖石破碎模型、重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)破壞概率模型,開展有限原胞級數(shù)的破壞概率規(guī)律研究,提出基于三級原胞破壞概率值的結(jié)構(gòu)整體安全性分級方法及判別步驟。

1 重整化群方法

分別對逾滲模型、斷層破裂分形樹模型、巖石破碎模型、三棱柱結(jié)構(gòu)破壞模型進(jìn)行分析,圖1為各模型示意圖。

1.1 逾滲模型

1.1.1 基于2×2二維單元網(wǎng)格模型

取一級單元為最小單位,按重整化群方法組成越來越大的原胞,最低一級原胞由2×2二維單元即4個(gè)單元方陣組成(圖1(a))。根據(jù)每個(gè)單元滲透概率p0確定一級原胞滲透概率p1。如果從原胞的左方至右方存在一個(gè)連續(xù)滲透途徑,則該原胞是可滲透的。問題被重整化后,4個(gè)一級原胞變成二級原胞的4個(gè)二級單元。二級原胞滲透概率p2由二級單元(即一級原胞)滲透概率確定。這個(gè)過程不斷重復(fù)至越來越大的標(biāo)度。

根據(jù)文獻(xiàn)[3],推導(dǎo)得到n+1級原胞滲透概率pn+1與n級原胞滲透概率pn之間的關(guān)系:

1.1.2 基于3×3二維單元網(wǎng)格模型

由3×3二維單元即9個(gè)單元方陣組成一級原胞,3×3二維單元逾滲模型如圖1(b)所示。同樣推導(dǎo)得到該模型滲透概率pn+1與pn之間的關(guān)系[18]:

1.1.3 基于2×2×2三維單元網(wǎng)格模型

一級原胞由2×2×2三維單元即8個(gè)單元方陣組成,根據(jù)文獻(xiàn)[3],得到該模型滲透概率pn+1與pn之間的關(guān)系:

1.2 斷層破裂模型

斷層破裂會產(chǎn)生地震,造成應(yīng)力和應(yīng)變的不連續(xù),這是一種臨界現(xiàn)象。可假定斷層包含范圍很廣的凹凸體,凹凸體強(qiáng)度有限,一旦超過極限強(qiáng)度,凹凸體將會破裂。凹凸體破裂使得其上的應(yīng)力轉(zhuǎn)移至其他未破裂的凹凸體上。

破裂在許多方面與架空電纜破壞類似。如果一根桿子壞了,該桿子承受的應(yīng)力就轉(zhuǎn)移到與它相鄰未壞的桿子上去,圖1(c)為斷層破裂分形樹模型。根據(jù)文獻(xiàn)[3],得到該模型n+1級原胞破壞概率pn+1與n級原胞破壞概率pn之間的關(guān)系為

1.3 巖石破碎模型

一級原胞由8個(gè)單元組成,巖石破碎模型如圖1(d)所示。假定原胞中每個(gè)單元要么破碎、要么完整。根據(jù)每個(gè)單元破碎概率p0確定一級原胞的破碎概率p1。Allegre等假設(shè),如果原胞兩面之間有一不破碎的“支柱”相連,則認(rèn)為原胞是完整的。

根據(jù)文獻(xiàn)[3,15],推導(dǎo)得到n+1級原胞破碎概率pn+1與n級原胞破碎概率pn之間的關(guān)系為

1.4 重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)破壞概率模型

由8個(gè)三棱柱單元組成一級原胞,圖1(e)所示的是三棱柱結(jié)構(gòu)破壞模型。根據(jù)文獻(xiàn)[17],推導(dǎo)得到n+1級原胞破壞概率pn+1與n級原胞破壞概率pn之間的關(guān)系

2 原胞破壞概率比較

2.1 不動點(diǎn)計(jì)算

以重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)破壞概率模型為例研究不動點(diǎn),將式(6)改寫成

令f(x)=x,得到不動點(diǎn)。在0≤x≤1區(qū)間內(nèi)得到3個(gè)不動點(diǎn)x=0、0.9239、1。

為說明式(6)的迭代過程,考慮一特定情況。對于p0=0.70,可得到p1=0.3824、p2=0.0207、p3=9.18×10-10。p3接近0,當(dāng)?shù)^續(xù)下去時(shí),pn更趨于p∞=0。因此,p0=0.70時(shí)不會發(fā)生整體破壞。當(dāng)p0=0.95時(shí)p1=0.9648、p2=0.981 9、p3=0.995 0,p3接近1。p*=0.923 9是一個(gè)臨界點(diǎn),它對應(yīng)于混凝土突變式破壞。所以,對于小于臨界值的概率,即0＜p0＜p*,迭代過程趨于p∞=0,不會發(fā)生整體破壞;p*＜p0＜1,迭代過程趨于p∞=1,發(fā)生整體破壞;為臨界值p*時(shí),各級破壞概率一樣。

類似可計(jì)算其他模型的不動點(diǎn),得到臨界破壞概率,見表1。

2.2 原胞破壞概率比較

理論上,原胞級數(shù)趨于∞時(shí)(1級單元尺度遠(yuǎn)小于最大級原胞尺度),若單元破壞概率為非臨界值p*,則整體概率只有0、1這2種可能,即要么破壞、要么完整。但在實(shí)際工程應(yīng)用中,原胞級數(shù)不可能取很大,所以需要確定合理的原胞級數(shù)即迭代次數(shù)。

下文將對上述模型開展前4級原胞破壞概率規(guī)律研究。原胞破壞概率曲線比較如圖2所示。

表1值與臨界破壞概率值p*Table1and critical damage probability p*

注:為p=0.01所對應(yīng)的p值。30

模 型p*pp3=0.01 0p*-pp3=0.01 00.6180 0.3161 0.30193×3二維單元逾滲模型 0.6193 0.4787 0.1406 2×2×2三維單元逾滲模型 0.2818 0.1718 0.1100斷層破裂模型 0.2063 0.1187 0.0876巖石破碎模型 0.8960 0.7570 0.1390重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)破壞概率模型____ 2×2二維單元逾滲模型0.9239______ _______________________________ 0.8184_0.1055

由圖2可知,原胞破壞概率隨著單元破壞概率p0的增加而增加,高一級原胞破壞概率趨于0或1的范圍比低一級原胞的范圍大。當(dāng)0＜p0＜p*時(shí),除2×2二維逾滲模型外,3次迭代即三級原胞破壞概率p3很小,趨于0,說明雖然存在局部破壞,但整體結(jié)構(gòu)是安全的;隨著單元破壞概率的增加,原胞破壞概率收斂速度降低,若3次迭代后p3仍較大,則說明單元破壞概率接近臨界值,不過只有很小范圍的p0使得p3較大;當(dāng)p*＜p0＜1時(shí),大多情況下只需3次迭代后p3就已很大,趨于1,則整體結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。此外,2×2二維逾滲模型概率收斂速度相對較慢,這與該模型誤差稍大[18]有關(guān),因而對于二維問題,主要分析3×3逾滲模型。

大多數(shù)情況下,原胞級數(shù)即迭代次數(shù)取3可滿足實(shí)際工程需要。若p0接近于臨界值p*,3次迭代后p3仍較大,利用收斂速度可判斷接近臨界值的程度。

3 基于三級原胞破壞概率的結(jié)構(gòu)整體安全性分級

理論上,結(jié)構(gòu)整體要么破壞、要么完整,一般情況下,若p3不大,結(jié)構(gòu)雖不會發(fā)生整體破壞,但有可能存在較小的整體破壞趨勢,所以仍需關(guān)注以下2個(gè)問題:(a)實(shí)際情況下結(jié)構(gòu)的整體安全狀態(tài)如何?(b)距整體破壞還有多遠(yuǎn)?由此,開展了基于三級原胞破壞概率的實(shí)際結(jié)構(gòu)整體安全性分級研究。

根據(jù)以上分析及圖2趨勢可知,當(dāng)0＜p0＜p*時(shí)大多數(shù)p3非常小,p3隨著p0的增加而增加,一旦p3≥0.01,則p3會隨p0增加而在很小范圍內(nèi)急劇增加,所以,p3=0.01所對應(yīng)的p0點(diǎn)稱為關(guān)鍵點(diǎn),記為,該值已列于表1中。由表1可知,除2×2二維逾滲模型誤差較大外,其他模型比p*小0.087 6～ 0.1406,平均小0.1165,這說明單元破壞概率平均只要比再增加0.1165時(shí)結(jié)構(gòu)就會達(dá)到整體破壞臨界狀態(tài)。

值得一提的是,確定p3=0.01為關(guān)鍵點(diǎn)有3個(gè)方面的考慮:(a)從圖2趨勢看,當(dāng)p3≥0.01時(shí),p3隨p0增加急劇增加;(b)從定量角度,單元破壞概率平均只要比增加0.116 5時(shí)結(jié)構(gòu)就會達(dá)到整體破壞臨界狀態(tài),說明p3=0.01有共性;(c)基于安全考慮。

分別以斷層破裂、重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)破壞為例,p0與p3關(guān)系曲線用OABC表示,其中O、A、B、C點(diǎn)分別對應(yīng)于縱坐標(biāo)p3=0、0.01、p*、1,p0與p3關(guān)系曲線及結(jié)構(gòu)整體安全狀態(tài)如圖3所示。將結(jié)構(gòu)劃分成3個(gè)狀態(tài),OA段為Ⅰ狀態(tài),結(jié)構(gòu)整體安全;AB段為Ⅱ狀態(tài),整體安全性較低,結(jié)構(gòu)由安全向整體破壞過渡,處于亞健康狀態(tài);BC段為Ⅲ狀態(tài),結(jié)構(gòu)整體破壞。簡而言之,當(dāng)0≤p3＜0.01時(shí),結(jié)構(gòu)整體處于安全狀態(tài);0.01≤p3＜p*時(shí),結(jié)構(gòu)整體處于破壞過渡狀態(tài);p3≥p*時(shí),結(jié)構(gòu)處于整體破壞狀態(tài)。理論上,當(dāng)p3=p*時(shí)結(jié)構(gòu)整體安全處于臨界狀態(tài)。

4 結(jié)構(gòu)整體安全性狀態(tài)判別步驟

以三棱柱模型處理重力壩為例說明判別結(jié)構(gòu)整體安全性狀態(tài)的具體步驟。

4.1 劃分三棱柱單元

假定重力壩三棱柱結(jié)構(gòu)體特征長度為8h(8h為三棱柱結(jié)構(gòu)體各條棱長組成的矩陣),即結(jié)構(gòu)體尺度為8h。首先,確定三棱柱結(jié)構(gòu)體各條棱長的中點(diǎn),劃分成4h尺度的8個(gè)大小相等的二級三棱柱原胞。同樣,將8個(gè)二級三棱柱原胞劃分成2h尺度的64個(gè)大小相等的一級三棱柱原胞。再將64個(gè)一級三棱柱原胞劃分成h尺度的512個(gè)大小相等的三棱柱單元,如圖1(e)所示。

4.2 確定三棱柱單元平均破壞概率p0

a.采用試驗(yàn)方法得到各單元破壞概率:單元破壞概率可定義為單元破損體積總和與該單元總體積之比。

b.采用數(shù)值仿真分析方法得到各單元破壞概率:應(yīng)用二參數(shù)Weibull分布公式確定混凝土單元的破壞概率[16]。

c.計(jì)算三棱柱單元平均破壞概率p0:根據(jù)各單元破壞概率,利用算術(shù)平均法計(jì)算平均破壞概率p0。

4.3 結(jié)構(gòu)整體安全性狀態(tài)判別

將三棱柱單元平均破壞概率p0與關(guān)鍵點(diǎn)(即p0=0.8184)、臨界值0.9239進(jìn)行比較,當(dāng)0≤p0＜0.8184時(shí)結(jié)構(gòu)整體處于安全狀態(tài),當(dāng)0.8184≤p1＜0.9239時(shí)結(jié)構(gòu)整體處于破壞過渡狀態(tài),當(dāng)p0≥0.9239時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生整體破壞。

5 結(jié)論與展望

應(yīng)用重整化群理論評價(jià)結(jié)構(gòu)整體安全性時(shí),理論上研究對象應(yīng)具有無標(biāo)度性,即原胞級數(shù)趨于∞,但實(shí)際工程應(yīng)用中原胞級數(shù)不可能取很大。筆者提出基于三級原胞破壞概率值的結(jié)構(gòu)整體安全性分級方法及判別步驟。

研究表明,當(dāng)0＜p0＜p*時(shí)大多數(shù)p3非常小,p3隨著p0的增加而增加,一旦p3≥0.01則p3會隨著p0增加在很小范圍內(nèi)急劇增加,高一級原胞破壞概率趨于0或1的范圍比低一級原胞范圍大。原胞級數(shù)即迭代次數(shù)取3可滿足實(shí)際工程需要,若p0接近于臨界值p*,3次迭代后p3仍較大,利用收斂速度可判斷接近臨界值程度。

單元破壞概率平均只要比p3=0.01所對應(yīng)的p0點(diǎn)增加0.1165,結(jié)構(gòu)就會達(dá)到整體破壞臨界狀態(tài),依據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)、不動點(diǎn)將結(jié)構(gòu)整體安全狀態(tài)劃分為3個(gè)級別。當(dāng)0≤p3＜0.01時(shí),結(jié)構(gòu)處于Ⅰ狀態(tài),整體安全; 0.01≤p3＜p*時(shí),結(jié)構(gòu)處于Ⅱ狀態(tài),整體安全性較低,結(jié)構(gòu)由安全向整體破壞過渡;p3≥p*時(shí),結(jié)構(gòu)處于Ⅲ狀態(tài),整體破壞。

需要指出的是,本文雖然通過局部損傷概率與整體安全性間的關(guān)系,提出結(jié)構(gòu)整體安全性評價(jià)分級新方法,但仍有一些問題有待完善。還需開展考慮外力及其他不利環(huán)境因素對結(jié)構(gòu)整體破壞概率影響規(guī)律的研究,這將陸續(xù)在其他相關(guān)專題里進(jìn)一步闡述。

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Safety classification evaluation of an overall structure based on limited primitive cell level using renormalization group theory

GU Peiying1,2,DENG Chang1,2,TANG Lei1,2
(1.Materials and Structural Engineering Department,Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029,China; 2.Key Laboratory of Water Science and Engineering,Ministry of Water Resources,Nanjing 210029,China)

The study subject of the renormalization group theory is supposed to have a scaleless property in theory.In other words,the primitive cell level tends to be infinite.However,the level cannot be set at a very high value in actual engineering projects.In order to solve this problem,comparative studies of damage probability of limited primitive cell levels were carried out using the percolation model,the fault rupture model,the rock breaking model,and the structural damage probability model of a triangular prism unit for a gravity dam based on the renormalization group theory.The results of iterative computations show that level 3 of a primitive cell or three iterations can be applicable to actual engineering projects.A safety evaluation classification method for an overall structure is proposed based on the damage probability of a primitive cell of level 3.The steps of determing the overall safety of a gravity dam using the triangular prism model are presented.According to the key points and fixed points of the damage probability,three safety states of the overall structure were classified as follows:(a)a safe state;(b)an intermediate state,between safey and overall collapse;and(c)an overall collapse state.

renormalization group theory;damage probability;primitive cell level;structural overall safety evaluation

TV331

:A

:1000-1980(2014)04-0355-06

10.3876/j.issn.1000-1980.2014.04.014

2013-05 31

國家自然科學(xué)基金(51179107)

顧培英(1968—),女,江蘇如東人,教授級高級工程師,博士,主要從事結(jié)構(gòu)健康診斷、安全評估、抗震及振動控制研究。E-mail: pygu@nhri.cn