關(guān)于素環(huán)導(dǎo)子的幾個(gè)定理

于 憲 君

(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)院，哈爾濱150076 )

1 引 理

自Posner 在文獻(xiàn)[1]中討論了素環(huán)和半素環(huán)上導(dǎo)子的幾個(gè)問題后，關(guān)于素環(huán)和半素環(huán)上導(dǎo)子的研究，一直是環(huán)論中一個(gè)引入注目的課題．許多人在這方面進(jìn)行了研究.1957 年P(guān)osner 首先證明具有中心化的非零導(dǎo)子的素環(huán)一定是可換環(huán)， 1984 年Mayne 在文獻(xiàn)[2]中推廣了Posner 定理，討論了對任意x∈I均有[x，d(x)]∈Z的情況.1994 年在文獻(xiàn)[3]中又討論了任意的x∈I均有[x2，d(x)]∈Z的情況，最近文獻(xiàn)[4]和[5]討論了[x，d(x2)]∈Z情況和x·d(x)∈Z且Z∩I≠{0} 的情況．得到了環(huán)R交換的一些新的條件.證明了下列結(jié)果：

定理A 設(shè)R是6- 扭自由的素環(huán),I是R的非零理想,Z是環(huán)R的中心, 若存在非零導(dǎo)子d滿足對任意的x∈I均有[x,d(x)]Z, 則環(huán)R為交換環(huán).

定理B 設(shè)R是6-扭自由的素環(huán)，I是R的非零理想，Z是環(huán)R的中心，若存在非零導(dǎo)子d滿足對任意的x∈I均有x2·d(x)Z且Z∩I≠{0}，則環(huán)R為交換環(huán).

本文推廣改進(jìn)了上述結(jié)果.

本文中的環(huán)R均為結(jié)合環(huán)，用Z表示環(huán)R的中心.

引理1[3]設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I是R的非零理想，若存在非零導(dǎo)子d，滿足對任意的x∈I均有[x2,d(x)]∈Z，則R環(huán)為交換環(huán).

引理2[6]若Z為環(huán)R的中心，d為R的導(dǎo)子，則d(Z)∈Z.

2 結(jié)論及證明

定理1 設(shè)R是2-扭自由的素環(huán)，I是R的非零理想，Z是環(huán)R的中心，若存在非零導(dǎo)子d滿足對任意的x∈I均有[x，d(x2)∈Z，則環(huán)R為交換環(huán).

證明對任意的x∈I，由d為R的導(dǎo)子得，

[x，d(x2)]=[x，d(x)x+xd(x)]

=[x，d(x)]∈Z

由I是R的非零理想及引理1可知環(huán)R為交換環(huán).

定理2 設(shè)R是2-扭自由的素環(huán)，I是R的非零理想，Z是環(huán)R的中心，若存在非零導(dǎo)子d滿足對任意的x∈I均有x2·d(x)∈Z且Z∩I≠{ 0}，則環(huán)R為交換環(huán).

證明由Z∩I≠{0}可知存在0≠c∈Z∩I，于是由對任意的x∈I均有x2·d(x)∈Z知對任意的x∈I，用c+x代x2·d(x)∈Z中的x，有(x+c)2·d(x+c)∈Z，從而有(x2+ 2xc+c)·d(x+c)∈Z，所以得

x2·dx+x2·dc+ 2xc·dx+ 2xc·dc+c2·dx+c·dc∈Z，

(1)

同樣的用x-c代x2·d(x)∈Z中的x得

x2.dx-x2·dc- 2xc·dx+ 2xc·dc+c2·dx-c2·dc∈Z，

(2)

式(1)-式(2) ，得

2x2·dc+ 4xc·dx+ 2c2·dc∈Z.

(3)

由引理2知dc∈Z，故有2c2·dc∈Z，2x2·dc=4x2dc，從而由式(3)有

4x2dc+ 4xc·dx=4x2dc+ 4c(xdx+(dx)x)∈Z,

所以對任意的x∈I均有

[x, 4x2dc+ 4c(xdx+(dx)x)] = 4c[x,xdx+(dx)x] = 4c[x2,dx] = 0.

又R是2-扭自由的，c∈Z,故對任意的x∈I有[x2,dx]=0,由引理1可知環(huán)R為交換環(huán).

參考文獻(xiàn)：

[1] POSNER E C. Derivations in prime rings[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1957, 8: 1093-1100.

[2] MAYNE J． Centralizing mappings of prime rings[J]. CanadMath Bull．，1984，279: 122 -126.

[3] HUANG Y B，ZHU L S. On derivation of prime rings[J]. (PRC) of Math, 1994, 4:579-586.

[4] 王 立, 陳光海, 杜君花. 素環(huán)理想上的導(dǎo)子[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 14(5): 105-106.

[5] 杜君花, 王 立. 關(guān)于素環(huán)的導(dǎo)子[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2013, 29(3):373- 374.

[6] 王 宇，張秀英. 素環(huán)上中心化廣義導(dǎo)子[J]. 東北師范大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2001, 33(2): 116-118.