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    自主泊車路徑規(guī)劃一致性方法*

    2018-08-28 11:45:14余卓平夏浪熊璐
    汽車技術(shù) 2018年8期
    關(guān)鍵詞:庫(kù)位泊車初值

    余卓平 夏浪 熊璐

    (同濟(jì)大學(xué),上海 201804)

    主題詞:自主泊車 一致性路徑規(guī)劃 凸優(yōu)化

    1 前言

    自主泊車路徑規(guī)劃作為智能汽車技術(shù)的典型代表,要求在極其狹窄的環(huán)境中找尋汽車從當(dāng)前區(qū)域到指定停車位之間的可行駛路徑。輪式機(jī)器人所具有的不完整約束性質(zhì),以及車輛在復(fù)雜、狹窄環(huán)境里的碰撞檢測(cè),都使自主泊車路徑規(guī)劃更具挑戰(zhàn)性。

    在對(duì)當(dāng)前泊車環(huán)境完全理解的基礎(chǔ)上,幾何法以其簡(jiǎn)單、高效的特點(diǎn),在路徑規(guī)劃中得到大量應(yīng)用,它通過獲取當(dāng)前車輛、環(huán)境障礙物、目標(biāo)泊車位三者的幾何關(guān)系,采用直線或曲線求解車輛可行駛泊車路徑。具有開創(chuàng)性的幾何法當(dāng)屬Dubins曲線[1]和可倒車Dubins曲線[2]。為彌補(bǔ)Dubins曲線曲率不連續(xù)的缺點(diǎn),更多學(xué)者采用樣條曲線[3]、多項(xiàng)式曲線[4]以及回旋曲線[5]路徑規(guī)劃。然而,基于幾何的方法對(duì)環(huán)境要求高,通常每一套算法僅對(duì)應(yīng)一種或一類環(huán)境,在停車環(huán)境日益復(fù)雜化的今天,幾何法已很難滿足自主泊車的“自主”需求,以快速隨機(jī)擴(kuò)展樹(Rapidly Random Tree,RRT)或A*為基礎(chǔ)的各種變形搜索算法普遍用于輪式機(jī)器人的路徑規(guī)劃。然而,這些算法并未廣泛應(yīng)用于自主泊車路徑規(guī)劃研究。Schwesinger U等人[6]在對(duì)歐洲代客充電(Valet Charge,V-Charge)項(xiàng)目的調(diào)研中提出將Hybrid A*算法應(yīng)用于第3階段自主泊車路徑規(guī)劃,但該文僅限于思路,并未提及相關(guān)仿真及實(shí)車試驗(yàn)。Kwon H等人[7]提出KPP(Korea University Path Planner)算法,對(duì)標(biāo)基礎(chǔ)RRT算法,仿真結(jié)果表明,在泊車工況下,KPP算法在提供可選路徑寬度、曲率連續(xù)性等方面較基礎(chǔ)RRT算法有更佳表現(xiàn)。此外,一種基于數(shù)值優(yōu)化求解的方法引起了關(guān)注。浙江大學(xué)的Li Bai[8]采用拉格朗日差值點(diǎn)的方法,將動(dòng)態(tài)連續(xù)規(guī)劃問題離散為非線性優(yōu)化問題,以數(shù)值求解的方式迭代求解出自主泊車可行路徑。然而仿真結(jié)果表明,該方法存在實(shí)時(shí)性差、優(yōu)化過程初值敏感等缺點(diǎn),實(shí)用效果并不理想。Zips P[9]與Gao H[10]等人分別針對(duì)泊車過程道路狹窄以及保障泊車過程安全性開展研究,核心部分同樣以數(shù)值求解的方式離散車輛狀態(tài)點(diǎn),求解車輛路徑。

    針對(duì)自主泊車工況,現(xiàn)有研究大多針對(duì)平行庫(kù)位與垂直庫(kù)位,鮮見關(guān)于斜庫(kù)位的泊車研究。根據(jù)我國(guó)公安部1988年頒布的《停車場(chǎng)規(guī)劃設(shè)計(jì)規(guī)則(試行)》,標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)位包含不同角度的斜庫(kù)位。本文基于數(shù)值優(yōu)化求解的特點(diǎn),提出一種自主泊車路徑規(guī)劃的一致性方法,針對(duì)不同角度的庫(kù)位均可規(guī)劃出滿足需求的路徑,環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)。

    2 問題描述

    2.1 問題背景

    路徑規(guī)劃本質(zhì)是兩點(diǎn)邊值問題的求解。針對(duì)泊車規(guī)劃的場(chǎng)景,統(tǒng)一約束方程,構(gòu)造最優(yōu)目標(biāo)函數(shù):

    式中,gi(x)為等式約束;hj(x)為不等式約束;f(x)為優(yōu)化目標(biāo)。

    針對(duì)一般的軌跡優(yōu)化問題,優(yōu)化對(duì)象包含T·K個(gè)變量,其中T為整個(gè)問題離散的狀態(tài)數(shù)目,K為優(yōu)化對(duì)象狀態(tài)數(shù)。本文依次分析泊車問題中的等式約束、不等式約束以及優(yōu)化目標(biāo),對(duì)整個(gè)泊車問題進(jìn)行全面的數(shù)學(xué)表述。

    2.2 等式約束

    現(xiàn)實(shí)生活中,泊車過程車速較慢,本文忽略懸架作用,避免復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型,采用經(jīng)典線性2自由度汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖1所示。

    圖1 汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

    其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

    式中,(x(t),y(t))為車輛當(dāng)前位置參考點(diǎn)(車輛后軸中心)P的坐標(biāo);φ(t)為車輛航向角;v(t)為車輛后軸中心線速度;δ(t)為前輪轉(zhuǎn)向角;a(t)為車輛切向加速度;L為軸距。

    本文將整個(gè)泊車過程離散為(N+1)個(gè)狀態(tài),假設(shè)任意兩相鄰狀態(tài)時(shí)間間隔top相等,離散后車輛的前后時(shí)刻狀態(tài)變換滿足:

    式中,zt∈Rnz為系統(tǒng)在(tt∈{t0,t1,…,tN})時(shí)刻的所有狀態(tài)變量;zs為系統(tǒng)初始狀態(tài);zf表示系統(tǒng)目標(biāo)狀態(tài);nz為狀態(tài)變量個(gè)數(shù),包括x(t)、y(t)、φ(t)、v(t);ut∈Rnu為系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸入變量;nu為輸入變量個(gè)數(shù),包括δ(t)、a(t);Rnu→Rnz表示系統(tǒng)的狀態(tài)變換;TF為整個(gè)泊車過程所需時(shí)間。

    2.3 不等式約束

    假設(shè)障礙物OM與車輛E均為定義在R2上的真錐(Proper Cone),即含有非空內(nèi)部且有界[11]。當(dāng)前環(huán)境t時(shí)刻車輛占據(jù)的空間表示為Et?R2,障礙物占據(jù)的空間為OM?R2,OM=O1∪O2∪…∪Om。t時(shí)刻車輛與障礙物不發(fā)生沖突可表示為Et∩OM=?。通常上述問題是非凸的,因此需要對(duì)該問題進(jìn)行進(jìn)一步描述。

    假設(shè)車輛與障礙物均為定義在R2上的多胞形(Poly?tope),那么,障礙物與車輛所占據(jù)的空間可表示為:

    式中,A∈Rl·n;b∈Rl;Cm∈Rkm·n;dm∈Rkm;n為空間維度;l、k為組成凸集的超平面?zhèn)€數(shù)。

    定義在R2上兩凸集Et、Om間的距離可表示為dist(Et,Om)=inf{||x-y||2|x∈Et,y∈Om},如圖2所示,其中連接兩凸集的虛線為歐幾里得2范數(shù)(Euclidean Norm 2)最小值,即車輛與障礙物的距離。對(duì)于泊車過程的避障約束,通常設(shè)定車輛與障礙物之間的安全距離dmin,即dist(Et,Om)>dmin,?t∈{1,2,…,N}。進(jìn)一步描述為:

    圖2 車輛與障礙物間距離示意

    由于OM、Et的非空凸集性質(zhì),原問題滿足Slater條件,即?x∈Et,y∈Om,Ax=b,Cmy=dm,滿足強(qiáng)對(duì)偶性要求[11-12],且對(duì)偶問題的最優(yōu)解即原問題的最優(yōu)解。上述不等式的對(duì)偶問題可以表示為 maxλ,μ{-bTλ-dTmμ}>dmin,ATλ+CTmμ=0,||ATλ||*≤1,λ?0,μ?0[13],即:

    式中,λ、μ均為拉格朗日變量;||?||*為對(duì)偶范數(shù)。

    針對(duì)障礙物,可通過獲得障礙物角點(diǎn)坐標(biāo)求取矩陣Cm、dm。針對(duì)車輛本身,當(dāng)車輛在P(xt,yt)點(diǎn)以航向角φ行駛時(shí),車輛4個(gè)角點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

    式中,e1、e3分別為車輛后軸到前、后端的距離;e2為車輛后軸中心至左、右端的距離。

    將式(7)代入式(4),通過變換可得:

    2.4 優(yōu)化目標(biāo)

    文獻(xiàn)[8]針對(duì)自主泊車工況,將總時(shí)長(zhǎng)TF設(shè)為優(yōu)化目標(biāo),即整個(gè)過程用時(shí)最少、路徑最短。然而最短路徑在實(shí)際工況中可能并非最佳路徑。泊車過程希望在獲得最短路徑以及最小時(shí)長(zhǎng)的前提下,車輛控制輸入應(yīng)盡量小,在實(shí)際工況中表現(xiàn)為轉(zhuǎn)向角度盡量小、加速度盡量小,因此,本文設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為:

    式中,ut表示每一個(gè)迭代步驟的控制量(前輪轉(zhuǎn)角δ(t)、切向加速度a(t));p∈R、q∈R分別為時(shí)間和控制量的權(quán)重,在實(shí)際仿真過程作為經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行適當(dāng)選取。

    2.5 內(nèi)點(diǎn)法

    內(nèi)點(diǎn)法(Interior-Point Methods)是一類解決線性或非線性凸優(yōu)化問題的算法,通過引入懲罰函數(shù),將約束問題轉(zhuǎn)換成無約束問題,隨后在迭代過程中不斷更新懲罰函數(shù),將可行解“固定”在一定區(qū)域內(nèi),最終得到最優(yōu)解。代表性的內(nèi)點(diǎn)法有障礙法(Barrier Methods)和原始對(duì)偶法(Primal-Dual Methods)。無論面對(duì)線性規(guī)劃(Linear Programming,LP)問題還是二次規(guī)劃(Quadratic Programming,QP)問題,內(nèi)點(diǎn)法在算法復(fù)雜度上都展示了極好的性能。

    對(duì)泊車問題的統(tǒng)一優(yōu)化框架包含上述等式約束、不等式約束以及優(yōu)化目標(biāo),依據(jù)該優(yōu)化框架,以及對(duì)當(dāng)前環(huán)境的完整描述,運(yùn)用內(nèi)點(diǎn)法即可進(jìn)行泊車路徑的求解。

    3 仿真驗(yàn)證

    3.1 仿真描述

    本文基于Ubuntu 16.04.4 LTS環(huán)境Atom JunoLab Plug-in:Julia-client/uber-juno對(duì)提出的方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,程序語言為Julia,處理器為Intel Core i5-7200U,最高睿頻3.1 GHz,內(nèi)存8 GB,DDR4,2 133 MHz。數(shù)值優(yōu)化求解器為開源優(yōu)化庫(kù)IPOPT v3.12.9。仿真車輛模型采用某小型純電動(dòng)轎車的參數(shù),庫(kù)位大小參照國(guó)家停車場(chǎng)規(guī)劃設(shè)計(jì)規(guī)則,其余具體參數(shù)見表1。

    表1 泊車場(chǎng)景相關(guān)參數(shù)

    3.2 仿真結(jié)果與討論

    仿真泊車場(chǎng)景模擬實(shí)際生活中各種角度的庫(kù)位,與道路夾角分別為0°、30°、45°、60°、90°,仿真結(jié)果如圖3~圖7所示。其中,陰影矩形表示障礙物,在實(shí)際工況中可能表示非目標(biāo)庫(kù)位、對(duì)向車道等。從圖3~圖7可以看出,針對(duì)各種角度的庫(kù)位,本文提出的一致性算法均可成功規(guī)劃出車輛起點(diǎn)至目標(biāo)庫(kù)位的可行路徑,各車輛狀態(tài)與運(yùn)用學(xué)參數(shù)均滿足車輛本身物理要求,滿足了自主泊車“自主”的要求。

    圖3 0°庫(kù)位角仿真場(chǎng)景及相應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

    圖4 30°庫(kù)位角仿真場(chǎng)景及相應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

    3.2.1 實(shí)時(shí)性

    由于泊車工況車輛自身速度較低,且周圍通常無其他行駛車輛,與無人車路徑規(guī)劃相比,自主泊車路徑規(guī)劃實(shí)時(shí)性不足通常不會(huì)帶來安全隱患。然而,如果當(dāng)前環(huán)境突然變化等情況發(fā)生,車輛不得不停止并等待計(jì)算出新的路徑,等待時(shí)間過長(zhǎng)勢(shì)必極大影響用車體驗(yàn)。表2給出了5個(gè)場(chǎng)景的計(jì)算總用時(shí)。

    由表2可知,針對(duì)不同庫(kù)位角度,規(guī)劃時(shí)間有些許差異,總體上,實(shí)時(shí)性在可接受范圍,但并不能令人滿意。本次模型的一致性,使得問題所需要的求解器強(qiáng)大而可行,由于工具有限,本文采取數(shù)值求解的方法。該方法將連續(xù)變量進(jìn)行離散化處理,變量個(gè)數(shù)為離散點(diǎn)個(gè)數(shù)與系統(tǒng)變量個(gè)數(shù)之積。龐大的變量數(shù)量給提升算法實(shí)時(shí)性帶來不小的挑戰(zhàn)。

    圖5 45°庫(kù)位角仿真場(chǎng)景及相應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

    圖7 90°庫(kù)位角仿真場(chǎng)景及相應(yīng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

    表2 不同場(chǎng)景規(guī)劃用時(shí)

    眾所周知,對(duì)每一個(gè)優(yōu)化問題來說,初值的選取極為重要。求解的過程是否收斂、求解所需的時(shí)間、求得全局解還是局部解,都與初值的選取息息相關(guān)。理想狀況下,所選取的初值應(yīng)滿足上述所有約束,包括等式約束和不等式約束,然而由于車輛航向角的存在,適當(dāng)?shù)某踔颠x取并不容易。本文首先假設(shè)泊車過程無任何障礙物,將線性離散起始點(diǎn)至目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)值作為x(t)、y(t)的初值,其余變量φ(t)、v(t)、δ(t)、a(t)各值均置為零,求取該泊車場(chǎng)景的可行解,隨后將該解所對(duì)應(yīng)的所有變量作為初值,求取障礙物存在時(shí)的泊車軌跡。

    然而仿真表明,隨意的初值選取,使得算法的實(shí)時(shí)性并不理想。針對(duì)此問題,本文進(jìn)行了進(jìn)一步仿真,將上一個(gè)場(chǎng)景得出的解作為下一個(gè)場(chǎng)景的初值進(jìn)行計(jì)算,如90°庫(kù)位角度得出的解作為60°的初值,60°庫(kù)位角度的解作為45°的初值,依次類推,90°采取最新60°庫(kù)位角求得的解。通過這樣初值選取,仿真時(shí)間如表3所示。

    表3 改變優(yōu)化初值后不同場(chǎng)景規(guī)劃用時(shí)

    從表3可以看出,重新選取初值后,計(jì)算速度得到了顯著提高。這給實(shí)際泊車提供了一個(gè)新思路:為了提升泊車規(guī)劃實(shí)時(shí)性,可預(yù)先存取一定數(shù)量的解在規(guī)劃器中,針對(duì)實(shí)際具體泊車場(chǎng)景,提取與當(dāng)前場(chǎng)景相近的離線場(chǎng)景所對(duì)應(yīng)的解作為初值,在提高算法實(shí)時(shí)性的同時(shí)也極大地保障了問題的可收斂性。

    3.2.2 車輛行為

    由圖4~圖6可以看出,車輛泊車過程中,相比于調(diào)整自身位置,車輛希望更快向目標(biāo)庫(kù)位靠近,遇到障礙物后再進(jìn)行轉(zhuǎn)向操作。這與優(yōu)化過程的初值密切相關(guān),特別是車輛坐標(biāo)初值。依上文所述,泊車過程初值選取的是不存在障礙物情況下的可行解,由于該解無視環(huán)境中障礙物,在當(dāng)前迭代優(yōu)化目標(biāo)的驅(qū)動(dòng)下,軌跡希望更快靠近目標(biāo)庫(kù)位。由此,該初值所得出的最終解通常會(huì)有一段路徑離障礙物很近。實(shí)際工況中,駕駛員可能希望車輛距離障礙物較遠(yuǎn),然而從數(shù)值優(yōu)化本身的角度看,所求出的路徑滿足不等式約束,且滿足優(yōu)化目標(biāo)的最小值,便是可行解。

    4 結(jié)束語

    本文驗(yàn)證了自主泊車路徑規(guī)劃一致性方法在仿真環(huán)境中的可行性,尚未進(jìn)行實(shí)車試驗(yàn)。本算法要求車輛當(dāng)前信息與環(huán)境信息準(zhǔn)確可靠,然而實(shí)際情況下,傳感器輸入信息極有可能前、后時(shí)刻不一致。此時(shí)須在當(dāng)前基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升算法實(shí)時(shí)性,根據(jù)更新后的輸入信息實(shí)時(shí)求取路徑。

    此外,非線性數(shù)值優(yōu)化求解器數(shù)量多達(dá)數(shù)十種[14],本文僅討論Ipopt使用情況。針對(duì)自主泊車路徑規(guī)劃問題,是否有其他求解器在求解成功率、實(shí)時(shí)性等方面有更佳表現(xiàn),值得研究。

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