趙佃立
(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)
資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程是金融市場(chǎng)中的一種復(fù)雜現(xiàn)象,其中,對(duì)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程的研究是很多學(xué)者的主要研究興趣之一.在復(fù)雜的問(wèn)題中,尋找簡(jiǎn)單而有效的模型來(lái)揭示規(guī)律,是一種有效的嘗試.Fama于1970年提出了有效市場(chǎng)(EMH)的概念,認(rèn)為證券的價(jià)格迅速地反映了所有信息,已經(jīng)不可能從過(guò)去的價(jià)格趨勢(shì)中獲得未來(lái)盈利的機(jī)會(huì).然而現(xiàn)實(shí)中依然存在許多該理論無(wú)法解釋的現(xiàn)象,于是通過(guò)非有效市場(chǎng)的簡(jiǎn)單模型來(lái)揭示資產(chǎn)價(jià)格的規(guī)律成為有效的方法之一.Sornette,Johansen和Bouchaud[1]建立了資產(chǎn)價(jià)格的危機(jī)模型,并分析了危機(jī)前后資產(chǎn)價(jià)格的對(duì)數(shù)周期行為,隨后Feigenbaum和Freund[2]通過(guò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該模型的有效性.方勇和孫紹榮[3]研究了投資者情緒對(duì)證券投資的影響.張曉莉和嚴(yán)廣樂(lè)[4]對(duì)滬深股票市場(chǎng)長(zhǎng)程記憶相關(guān)性進(jìn)行了研究.Appleby[5]提出了非有效市場(chǎng)資產(chǎn)價(jià)格的趨勢(shì)驅(qū)動(dòng)離散模型,并在確定和不確定情況下討論了資產(chǎn)價(jià)格的極限行為.Markov過(guò)程是描述和研究資產(chǎn)價(jià)格模型的一個(gè)重要成分.Appleby與其合作者[6-8]對(duì)含有狀態(tài)切換的金融模型進(jìn)行研究,取得了一些重要的成果,并在文獻(xiàn)[9]中對(duì)相關(guān)的方程進(jìn)行了理論分析.本文基于文獻(xiàn)[5]的工作,假設(shè)股價(jià)服從經(jīng)典的Black-Scholes模型,將隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)推廣為含馬氏驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)過(guò)程,在給定的適當(dāng)條件下得到價(jià)格的極限.在上述工作的基礎(chǔ)上,考慮每個(gè)投資者的投資取向,建立含有馬氏切換的非有效市場(chǎng)資產(chǎn)價(jià)格模型;通過(guò)考慮投資者價(jià)格取向的整體表現(xiàn),推導(dǎo)出資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)邊界.
Appleby從投資者的角度建立和分析了一類離散趨勢(shì)投機(jī)模型.假設(shè)資產(chǎn)累計(jì)收益
文獻(xiàn)[5-6]討論了上述模型的特例,并分析了資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程在確定性和隨機(jī)擾動(dòng)兩種情況下的極限行為.
本文在上述工作的基礎(chǔ)上,建立趨勢(shì)投機(jī)者驅(qū)動(dòng)的馬氏切換資產(chǎn)價(jià)格模型.記R(t)為累積平均收益率,定義X(t)=R(t)-μt,μ為固定收益增長(zhǎng)率,則X(t)為資產(chǎn)收益超過(guò)固定增長(zhǎng)的部分.如果市場(chǎng)存在趨勢(shì)投機(jī)者,則會(huì)利用這一趨勢(shì)進(jìn)行投機(jī)行為.演化模型為
式中,υj(t)≤τj(t),j∈{1,2,3,…,N},表示記憶的長(zhǎng)度;αj為正實(shí)數(shù),反映了長(zhǎng)期和短期之間的比重;N為正整數(shù),表示投資者個(gè)數(shù);sj和lj為加權(quán)函數(shù);代表了第j個(gè)投資者選取的該資產(chǎn)的短期移動(dòng)累積收益率;代表了第j個(gè)投資者選取的該資產(chǎn)的長(zhǎng)期移動(dòng)累積收益率;Y(t)是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng).
由于市場(chǎng)總是或多或少地受到一些不確定因素的影響,而且這些因素所在環(huán)境可能在不斷變換,所以,假設(shè)Y(t)滿足方程
式中,γ(t)是有限狀態(tài)空間S上的馬氏過(guò)程;假設(shè)初值X(0)=x0>0;B(t)是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng);擾動(dòng)強(qiáng)度σ:S→R+,f(x,y,t)∈C(R×R× R+,R+).
主要利用隨機(jī)分析知識(shí)和Volterra的理論對(duì)上述模型進(jìn)行分析,內(nèi)容包含了該模型的非線性項(xiàng)在有界性、冪函數(shù)、極限限制這3種情形下的波動(dòng)估計(jì).
假設(shè)B(t)是概率空間(Ω,F(xiàn),(F(t))t≥0,P)的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),其中,域流F(t)=σ(B(s),γ(s):0≤s≤t).γ(t)是有限狀態(tài)空間S={1,2,3,…,K}上的馬氏鏈,Δt時(shí)間間隔上的生成算子Γ=(rij)N×N由
給出,rij≥0是從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率,滿足.假設(shè)有唯一穩(wěn)態(tài)分布π=(π1,π2,π3,…,πN).記Mi(n+1)=inf{t>Mi(n):γ(t)≠i}-Ti(n),Ti(n+1)=inf{t>Ti(n)+Mi(n+1):γ(t)=i},Li(n+1)=Ti(n+1)-Ti(n).那么,Li(n)對(duì)n=1,2,…獨(dú)立同分布,均值為ri,方差為;Mi(n)對(duì)n=1,2,…也是獨(dú)立同分布,均值為mi,方差為.
引理1[7]假設(shè)u,v:R+→R+,而且那么
引理2[8]假設(shè)S是一個(gè)有限不可約狀態(tài)空間,γ是一個(gè)平穩(wěn)跳過(guò)程,而且σ:S→R,那么
而且
引理3[8]假設(shè)Y是式(2)的唯一連續(xù)適應(yīng)解,初值Y(0)=Y(jié)0.如果存在常數(shù)c>0,使得對(duì)任意(x,y,t)∈R+×S×R+有
那么
而且
式中,σ*為標(biāo)準(zhǔn)差.
引理4和引理5給出了該模型解的表達(dá)式及其非負(fù)性質(zhì),其證明省略.
引理4 假設(shè)φ(t),y(t)滿足方程
那么,方程(4)的解可以寫(xiě)成X(t)=φ(t)y(t).
引理5 假設(shè)函數(shù)g(·,·)和k(·)為非負(fù)連續(xù)函數(shù),X是方程(4)的解,那么,X(0)>0(或X(0)≥0)可以依概率1推出X(t)>0(或X(t)≥0).
假設(shè)存在常數(shù)α1,α2>0,使得
定理1 假設(shè)X是方程(4)具有初值X(0)=x0>0的唯一連續(xù)適應(yīng)解,a>0,k(t)>0是[0,∞)上的連續(xù)函數(shù),且存在常數(shù)β∈(0,1)和正數(shù)b,c使得
如果式(3)和式(5)成立,那么
證明 對(duì)應(yīng)αi(i=1,2)分別做輔助函數(shù)Zi滿足
初值Zi(0)=X(0).由引理4知方程(7)的解為
由k(t),φ(t)和X(0)的非負(fù)性及式(5)可得
當(dāng)i=2時(shí),由式(8)得
結(jié)合引理1和引理3推得
當(dāng)t充分大時(shí),由式(9)可得
兩邊取上極限,可得
現(xiàn)在證明反向不等式.由引理4推得
由引理2和引理3,在T1>0,使得當(dāng)t>T1時(shí),有和成立,于是,有
又由式(6)推得
結(jié)合式(12)和式(13),有
綜上,由式(8)、式(11)和式(14)可得定理1成立.
推論1 假設(shè)X是方程(4)具有初值X(0)=x0>0的唯一連續(xù)適應(yīng)解.k(t)>0是[0,∞)上的連續(xù)可積函數(shù).如果式(3)和式(5)成立,那么
推論2 假設(shè)X是方程(4)具有初值X(0)=x0>0的唯一連續(xù)適應(yīng)解,k(t)>0是[0,∞)上的連續(xù)函數(shù),式(3)和式(5)成立.
比較式(15)和式(16)可知,結(jié)論與
矛盾,所以,a得證.
而且
由上述結(jié)論可知,如果k(t)可積,那么,李雅譜諾夫指數(shù)為0,即非指數(shù)增長(zhǎng).定理2給出了更精確的增長(zhǎng)邊界估計(jì).
定理2 假設(shè)X是方程(4)具有初值X(0)=x0>0的唯一連續(xù)適應(yīng)解,k(t)>0是[0,∞)上的連續(xù)可積函數(shù).如果式(3)和式(5)成立,那么,有
而且
成立.
現(xiàn)證另一個(gè)不等式.當(dāng)t充分大時(shí),由式(12)
由引理4,將g x,(t)=xρ代入解的表達(dá)式,可得
定理3 假設(shè)X是方程(4)具有初值X(0)=x0>0的唯一連續(xù)適應(yīng)解,k(t)>0是[0,∞)上的連續(xù)函數(shù),g (x,t)=xρ,ρ>0.如果式(3)成立,那么,有
證明 由y(t)的定義可知,y(t)單調(diào)遞增而且
結(jié)合φ(t)的定義和式(18)推得
由引理2和引理3,當(dāng)t充分大時(shí),有
整理可得
取下極限,推得
現(xiàn)證明關(guān)于上極限的不等式.結(jié)合引理2、引理3和式(18),推得
在式(18)兩邊取極限
由于對(duì)任意t>0,有
又由式(19)推得
由定理3可知b成立.
假設(shè)存在正數(shù)β和ρ∈(0,1),使得
定理4 假設(shè)X是方程(4)具有初值X(0)=x0>0的唯一連續(xù)適應(yīng)解,k(t)>0是[0,∞)上的連續(xù)函數(shù),a>0,式(3)和式(20)成立,則有以下結(jié)論:
證明 先證明關(guān)于下極限的情形.由式(20),對(duì)任意ε∈(0,β),存在K=K(ε)>0,使得當(dāng)x>K時(shí),而且有又由方程的解非負(fù)可知,對(duì)任意t>0,存在L=L(ε)>0,使得g x,(t)<由引理4推得,X(t)=φ(t)y(t),而且
由定理3的證明易得
于是,由推論3可知以下關(guān)系成立:
現(xiàn)證明關(guān)于上極限的結(jié)論.由y(t)的單調(diào)性推得
由引理2和引理3推得,當(dāng)t充分大時(shí),有
和
同時(shí),由式(22)推得
結(jié)合
比較可得
于是
于是
構(gòu)造了具有馬氏調(diào)制的非有效市場(chǎng)趨勢(shì)驅(qū)動(dòng)的資產(chǎn)價(jià)格模型.利用隨機(jī)分析和Volterra方程的有關(guān)理論,對(duì)該模型在多種情況下的波動(dòng)范圍進(jìn)行估計(jì).在給定的條件下,資產(chǎn)價(jià)格的增長(zhǎng)的邊界估計(jì)依賴于反映投資者投資趨勢(shì)的取向函數(shù),馬氏切換的引入打破了原有的價(jià)格增長(zhǎng)邊界.本文的理論結(jié)果推廣了已有文獻(xiàn)的有關(guān)結(jié)論.
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