高階差分的值分布

俞偉鵬， 葉亞盛

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

使用值分布理論的基本概念和標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］.設(shè)f（z）和α（z）是兩個(gè)亞純函數(shù)，稱(chēng)α（z）是f（z）的小函數(shù)，如果T（r，α）＝S（r，f），其中當(dāng)r→∞時(shí)，S（r，f）＝o（T（r，f）），除去一個(gè)有限對(duì)數(shù)測(cè)度集.

在差分理論中，將f′（z）差分模擬定義為Δcf（z）＝f（z＋c）－f（z），以及Δf（z）＝f（qz＋c）－f（z），其中對(duì)于f（k）（z）的差分模擬，定義為以及Δkf（z）＝Δk－1（Δf（z））.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，有

Hayman［3］提出了如下猜想：

上述猜想逐漸得到了證明，Hayman［1］證明了n≥3的情形，Mues［4］證明n＝2的情形，Bergweiler等［5］證明了n＝1的情形.

Hayman［3］也證明了如下結(jié)論：

定理2 設(shè)n（≥5）為正整數(shù)，a（≠0），b為兩個(gè)有窮復(fù)數(shù)，f為復(fù)平面上的亞純函數(shù)，如果f′－afn≠b，則f恒為常數(shù).

最近，國(guó)內(nèi)外很多文章聚焦于復(fù)域上的差分方程和Nevanlinna理論的差分模擬［6－11］，并且得到許多相關(guān)的結(jié)論.張繼龍等［12］考慮了定理1的高階差分對(duì)應(yīng)，證明了如下定理：

首先改進(jìn)了定理3：

利用差分的思想，考慮了定理2的高階差分模擬.

還研究了一個(gè)高階差分的唯一性定理：

1 引 理

為了證明本文的結(jié)論，需要如下幾個(gè)引理：

引理1［13］設(shè)f是有窮級(jí)（記為ρ）超越亞純函數(shù)，c∈＼｛0｝，則對(duì)于每個(gè)ε＞0，有

引理2［14］設(shè)f是非常數(shù)零級(jí)超越亞純函數(shù)，q∈＼｛0｝，則

在下對(duì)數(shù)測(cè)度為1的集合上成立.

引理3［14］設(shè)f是非常數(shù)零級(jí)超越亞純函數(shù)，q∈＼｛0｝，則

在下對(duì)數(shù)測(cè)度為1的集合上成立.

引理4［6］設(shè)f是復(fù)平面上的有窮級(jí)亞純函數(shù)，c∈＼｛0｝，n∈N，則對(duì)于f的任意小函數(shù)a（z），有對(duì)所有的r成立，除去一個(gè)有限對(duì)數(shù)測(cè)度集.

引理5［1］設(shè)f是復(fù)平面上的亞純函數(shù)，a1（z），a2（z），a3（z）是f（z）的3個(gè)小函數(shù)，則

引理6［8］設(shè)f是非常數(shù)零級(jí)亞純函數(shù)，q∈＼｛0｝，則在對(duì)數(shù)測(cè)度為1的集合上成立.

引理8［15］設(shè)F和G是兩個(gè)非常值亞純函數(shù)，如果F與G分擔(dān)1CM，則下面3個(gè)結(jié)論必有一個(gè)成立：

2 定理的證明

由于定理4的證明與定理5的類(lèi)似，只證明定理4.

2.1 定理4的證明

設(shè)F（z）＝fn（z）Δkcf（z），則

再結(jié)合式（1）和式（2）以及引理1、引理5，得

2.2 定理6的證明

另一方面

則由式（3）和式（4）及第一、第二基本定理，得

即（n－k－3）T（r，f）≤S（r，f），這與n≥k＋4矛盾.因此，f恒為常數(shù).

2.3 定理7的證明

假設(shè)f不是常數(shù)，則令

以下考慮兩種情形：

情形1 Δkf（z）≡b.此種情況必有b≠0.

當(dāng)q≠1時(shí)，Δkf（z）＝Δ（Δk－1f（z））＝Δk－1f（qz＋c）－Δk－1f（z），則是Δkf（z）的零點(diǎn)，這與Δkf（z）≡b≠0矛盾；

當(dāng)q＝1時(shí)，f（z）不存在極點(diǎn)，否則若存在，記為z0，那么z0＋c，z0＋2c，…，z0＋kc中至少有一個(gè)是f（z）的極點(diǎn)，從而f的級(jí)至少是1，這又和條件矛盾，所以f（z）是零級(jí)超越整函數(shù)，于是Δkf（z）－afn（z）≡b－afn（z）也是零級(jí)超越整函數(shù)，則Δkf（z）－afn（z）取每個(gè)有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次，這與條件矛盾.

這種情形與定理6的證明類(lèi)似，此處省略.因此f恒為常數(shù).

2.4 定理8的證明

4 T（r，f）＋4 T（r，g）＋S（r，f）＋S（r，g），即（n－5）T（r，f）≤4T（r，g）＋S（r，f）＋S（r，g），同理（n－5）T（r，g）≤4T（r，f）＋S（r，f）＋S（r，g）.

兩式相加，并整理，有

（n－9）（T（r，f）＋T（r，g））≤S（r，f）＋S（r，g）這與n≥10矛盾.因此，由引理8有F＝G或FG＝1.

如果F·G＝1，則fn（z）Δkf（z）gn（z）·Δkg（z）＝d2.由于g是整函數(shù)，則零級(jí)超越整函數(shù)f與Δkf（z）沒(méi)有零點(diǎn)，于是f（z）與Δkf（z）是非零常數(shù).而由f是非零常數(shù)可知，Δkf（z）恒為零，矛盾.所以F＝G，即fn（z）Δkf（z）＝gn（z）Δkg（z）.

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