矩陣的秩與零化多項(xiàng)式

丁博輝， 曹 煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，寧波315211)

1 引 言

矩陣的秩與特征值是大學(xué)高等代數(shù)課程中的兩個(gè)重要內(nèi)容，二者之間又有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系. 如滿秩的矩陣必不存在零特征值.而對(duì)于一般的矩陣，利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形不難證明，其秩等于矩陣的階數(shù)減去零特征值的幾何重?cái)?shù). 矩陣的零化多項(xiàng)式與特征值密切相關(guān)(如下引理2.4). 因而，在一些特殊情況下，可利用矩陣的零化多項(xiàng)式來(lái)確定矩陣的秩，反之亦然. 這類問(wèn)題也常出現(xiàn)在歷年的考研數(shù)學(xué)試題中. 下面的定理1.1即為北京大學(xué)2005年的考題.

定理1.1設(shè)矩陣A∈n×n，則A3=I的充要條件是

rank(I-A)+rank(I+A+A2)=n.

若矩陣A滿足A2=I，則A也稱為對(duì)合矩陣. 在文獻(xiàn)[1]中，給出了關(guān)于對(duì)合矩陣的類似性質(zhì)：

定理1.2設(shè)矩陣A∈n×n，則A2=I的充要條件是

rank(I-A)+rank(I+A)=n.

定理1.1和定理1.2推廣可得到

定理1.3設(shè)矩陣A∈n×n,k≥2為整數(shù)，則Ak=I的充要條件是

rank(I-A)+rank(I+A+…+Ak-1)=n.

實(shí)事上，以上三個(gè)定理均為下面定理的特殊情形.

定理1.4設(shè)矩陣A∈n×n.若多項(xiàng)式f(x)=(x-1)g(x)且g(1)≠0，則f(A)=O的充要條件是

rank(A-I)+rank(g(A))=n.

經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的研究，我們發(fā)現(xiàn)，定理1.1-1.4都是下面定理1.5的推論. 因此，本文將只證明定理1.5.

定理1.5設(shè)矩陣A∈n×n.若f(x)=h(x)g(x)滿足gcd(h(x),g(x))=1，則f(A)=O的充要條件是

rank(h(A))+rank(g(A))=n.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)中的相關(guān)定義及引理參見(jiàn)文獻(xiàn)[2，3].

定義2.1設(shè)矩陣A∈n×n，定義A的核(又稱零空間)為

ker(A)={X∈n|AX=0}.

注 矩陣A的核的維數(shù)，即dim(ker(A))又稱為A的零度.

引理2.2(秩—零度定理) 設(shè)矩陣A∈n×n，則有

rank(A)+dim(ker(A))=n.

秩—零度定理是一個(gè)非常重要的定理，將在下文的證明中發(fā)揮關(guān)鍵作用. 且由該定理，不難得到下面的引理2.3：

引理2.3設(shè)n階矩陣A與B滿足AB=O，則有

rank(A)+rank(B)≤n.

引理2.4已知n階矩陣A的特征值為λi(i=1,2,…,n),則矩陣多項(xiàng)式f(A)的特征值為f(λi) (i=1,2,…,n).

我們還需要一個(gè)有關(guān)多項(xiàng)式互素的充分必要條件.

引理2.5多項(xiàng)式h(x)與g(x)互素，即gcd(h(x),g(x))=1，當(dāng)且僅當(dāng)存在多項(xiàng)式u(x)與v(x)，使得u(x)h(x)+v(x)g(x)=1.

3 定理1.5的證明

首先證必要性.將x=A代入f(x)=h(x)g(x)，可得

f(A)=h(A)g(A)=O.

由引理2.3知

rank(h(A))+rank(g(A))≤n.

(1)

另一方面，

rank(h(A))+rank(g(A))≥rank(h(A)-g(A))

(2)

設(shè)B=h(A)-g(A)，我們斷言B的特征值不可能為0. 設(shè)λ是A的特征值. 由引理2.4可知，與λ相對(duì)應(yīng)的B的特征值λ′=h(λ)-g(λ). 假設(shè)λ′=0,則有h(λ)=g(λ)，從而(x-λ)|h(x)-g(x)，這與gcd(h(x),g(x))=1相矛盾. 故λ′≠0，斷言得證. 因而由(2)可得

rank(h(A))+rank(g(A))≥n.

(3)

由(1)和(3)可證得必要性.

再證充分性.令

W1=ker(h(A)),W2=ker(g(A)),W=ker(f(A))，

由題設(shè)f(x)=h(x)g(x)可知

W1?W,W2?W.

現(xiàn)取X∈W1∩W2，即

h(A)X=0,g(A)X=0.

因?yàn)間cd(h(x),g(x))=1，由引理2.5知，存在多項(xiàng)式u(x)與v(x)，使得u(x)h(x)+v(x)g(x)=1.將x=A代入，并兩邊同時(shí)右乘X，可得X=0，即W1∩W2={0}.故和空間W1+W2是直和.由引理2.2及已知條件，可得

dim(W1)+dim(W2)=2n-(rank(h(A))+rank(g(A)))=n.

又因?yàn)閐im(W)≤n，所以dim(W)=dim(W1)+dim(W2)=n. 從而再次由引理2.2知，rank(f(A))=n-dim(W)=0. 故有f(A)=O.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張禾瑞，郝鄢新.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，1983.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] 程云鵬，張凱院，徐仲.矩陣論[M].2版.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1999.