梯形明渠臨界水深直接計(jì)算公式研究

徐海嵩，把多鐸，張國(guó)輝，袁 璞

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

梯形明渠是水利工程中一種常見(jiàn)的斷面形式，主要用于農(nóng)田灌排和城市供水等渠道的設(shè)計(jì)，較其他斷面形式應(yīng)用更為廣泛[1]。梯形明渠臨界水深是水力計(jì)算中的重要參數(shù)之一[1-6],通過(guò)臨界水深和正常水深的計(jì)算設(shè)計(jì)渠道的斷面尺寸，從而確定工程量，這將直接影響工程的經(jīng)濟(jì)效益。所謂臨界水深是指相應(yīng)于斷面單位能量最小值的水深[7]，該參數(shù)無(wú)法直接求解，而需求解一元高次方程[4-6]。常見(jiàn)的求解方法有試算法、圖解法、迭代法[8]和近似求解法[9]等，其中試算法和圖解法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且誤差較大[5,10]。

近年來(lái)，一些水利專(zhuān)家致力于梯形明渠臨界水深的研究，相繼提出了幾種直接計(jì)算臨界水深的公式，如劉善綜公式[11]，王正中等公式[3,12]等。這些計(jì)算公式，往往引入無(wú)量綱參數(shù)即單位水面寬度[13-16]，并根據(jù)迭代原理，選取合適的迭代方程和迭代初值，從而可方便、快捷地計(jì)算出梯形明渠的臨界水深。但是，這些計(jì)算公式從簡(jiǎn)捷性、計(jì)算精度等方面均存在不足[5]。本研究在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)迭代公式和迭代初值進(jìn)行細(xì)致地分析和推導(dǎo)，提出新的直接計(jì)算梯形明渠臨界水深的公式，并對(duì)比前人的公式進(jìn)行了精度和誤差分析，以期為梯形明渠臨界水深的計(jì)算提供更為精確的計(jì)算方法。

1 臨界水深的計(jì)算公式及迭代式

在推求臨界水深時(shí)，大都引入無(wú)量綱參數(shù)“單位水面寬度”[10]，即臨界水深(h1)所對(duì)應(yīng)的水面寬度與梯形渠道底寬的比值，用λ表示。其中，λ等于1時(shí)，過(guò)水?dāng)嗝鏋榫匦螖嗝妫沪说扔?∞時(shí)，過(guò)水?dāng)嗝鏋槿切螖嗝鎇6]。故梯形斷面單位水面寬度取值范圍為1<λ<+∞，其值反映了梯形明渠斷面過(guò)流時(shí)過(guò)水?dāng)嗝娴南鄬?duì)形狀[5]。

于是有下面的等式：

(1)

由上式可得：

(2)

式中：λ為單位水面寬度；Bk為臨界水深時(shí)對(duì)應(yīng)的水面寬度，m；b為梯形渠道底寬，m；m為梯形渠道的邊坡系數(shù)，非等腰梯形斷面時(shí)m=(m1+m2)/2，其中m1、m2為梯形斷面兩側(cè)邊坡系數(shù)[11]；hk為梯形渠道的臨界水深，m。

而明渠均勻流臨界水深的計(jì)算公式[7]為：

(3)

式中：α為動(dòng)能修正系數(shù)，取1.0；Q為過(guò)流流量，m3/s；g為重力加速度，取9.81 m/s2；Ak為相應(yīng)于臨界水深時(shí)的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2。

對(duì)于等腰梯形過(guò)水?dāng)嗝鎇5-6]，有

Ak=(b+mhk)hk，

(4)

Bk=b+2mhk。

(5)

將式(1)、(2)、(4)、(5)代入式(3)并整理得：

(6)

(7)

為了與式(7)的形式相似，式(6)變?yōu)椋?/p>

(8)

將式(8)恒等變形并整理，得：

(9)

然后，根據(jù)迭代原理，式(9)變?yōu)椋?/p>

(10)

式中：λn為第n次求得的單位水面寬度值，λn+1為第n+1次求得的單位水面寬度值。

2 迭代公式的收斂性證明

采用迭代法計(jì)算時(shí)無(wú)法直接求解方程，一般需要進(jìn)行試算才能求出迭代方程的解。但使用迭代法是有條件的，必須使推求的迭代公式收斂，這樣才能保證計(jì)算值逼近所要求解的真值。因此，需首先對(duì)式(9)或式(10)進(jìn)行斂散性判別，而本研究則需要證明式(9)或式(10)在區(qū)間1<λ<+∞是收斂的，證明如下：

對(duì)于式(9)，設(shè)λ=φ(λ)，則

(11)

φ2(λ)=4kλ1/3+1。

(12)

根據(jù)迭代理論，如果方程x=φ(x)的1個(gè)根為a,則迭代公式xn+1=φ(xn)收斂于a的條件是：在a的某一鄰域|x-a|<δ內(nèi)，使|φ′(x)|<1，那么該值域內(nèi)任一點(diǎn)為初值的迭代都收斂于a，因此只要證明上式中的迭代函數(shù)φ(λ)的一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值小于1，就可以證明該迭代函數(shù)是收斂的[5]。

因此，對(duì)式(11)兩邊求導(dǎo)，得：

(13)

將式(11)、(12)代入式(13)中得：

(14)

繼續(xù)對(duì)φ′(λ)求二階導(dǎo)數(shù)，可得：

由二階導(dǎo)數(shù)可知，當(dāng)λ∈(1,+∞)時(shí)，φ″(λ)∈(0,0.33)，即二階導(dǎo)數(shù)大于零，迭代函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)。當(dāng)λ=1時(shí)，φ′(λ)=0；當(dāng)λ=+∞時(shí)，φ′(λ)=0.17。因此，根據(jù)夾逼定理，當(dāng)λ∈(1,+∞)時(shí)，φ′(λ)∈(0,0.17)，故|φ′(λ)|<1。

綜上所述，對(duì)于任意的λ∈(1,+∞)，迭代公式(9)是收斂的。同理，可以證明式(10)也是收斂的。

3 迭代初值的合理選取和臨界水深的直接計(jì)算

對(duì)于迭代計(jì)算，其收斂速度不僅與迭代公式有關(guān)，而且與迭代初值的選取也有關(guān)[5]，且迭代初值的選取更為重要，選取合理的迭代初值會(huì)加速迭代計(jì)算的收斂速度。對(duì)式(8)作恒等變形，即可得出迭代初值。

由式(8)得：

(15)

由于λ∈(1,+∞)，當(dāng)λ趨近于正的無(wú)窮大時(shí)，λ=(4k)0.6，并以此作為迭代函數(shù)的初值，即λ0=(4k)0.6。將λ0代入式(9)，可得

(16)

將式(16)代入式(9)并整理，得：

(17)

為提高計(jì)算精度，可將式(17)代入式(9)并整理，得：

(18)

將式(17)或式(18)代入式(2),得：

(19)

或hk=

(20)

通過(guò)式(19)或式(20)可直接計(jì)算梯形明渠的臨界水深，其中式(20)較式(19)計(jì)算的結(jié)果更加精確，然而在一般的工程實(shí)際中，式(19)的計(jì)算精度已經(jīng)可以滿(mǎn)足工程實(shí)際的要求。

4 臨界水深直接計(jì)算公式的精度分析

4.1 幾種常見(jiàn)的臨界水深直接計(jì)算公式描述

國(guó)內(nèi)外計(jì)算梯形明渠臨界水深的方法和公式很多，但從準(zhǔn)確性和間接性等方面考慮，有4套公式相對(duì)較好，分別如下所示。

①王正中等[3,12]公式：

(21)

②廖云鳳[16]公式：

y=kl(1+kl)-0.372。

(22)

③劉善綜[11]公式：

(23)

(24)

④趙延風(fēng)等[5]公式：

(25)

(26)

⑤本研究公式：

(27)

(28)

4.2 臨界水深直接計(jì)算公式的誤差分析

由以上的5個(gè)公式中的k值可以看出kw=ks=4k，kl=k，kz=(64k3)2，給出單位水面寬度λ=0.001～100的值，由式(9)求出λ值，進(jìn)而求出λw、kl、ks、kz，再根據(jù)上述5個(gè)公式計(jì)算各自的臨界水深及其相對(duì)誤差，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。其中，圖1-a、b為1<λ≤10和10≤λ≤100時(shí)，梯形明渠臨界水深5種不同計(jì)算公式的相對(duì)誤差分析結(jié)果。由于圖1-b中廖云鳳公式計(jì)算的相對(duì)誤差隨單位水面寬度λ的增加而增大，為了進(jìn)一步直觀分析，圖1-c為10≤λ≤100時(shí)除去廖云鳳[16]公式后所對(duì)應(yīng)的分析結(jié)果，圖1-d為1<λ≤10時(shí)劉善綜[11]公式、趙延風(fēng)等[5]公式和本研究公式所對(duì)應(yīng)的分析結(jié)果。

圖1-a、b、c和d能夠清晰地反映出臨界水深的相對(duì)誤差變化，但要確切的分析，還需通過(guò)具體的數(shù)據(jù)加以說(shuō)明。因此，表1給出了梯形明渠臨界水深相對(duì)誤差的計(jì)算結(jié)果。對(duì)表1進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，得到梯形明渠臨界水深計(jì)算最大和最小相對(duì)誤差，結(jié)果如表2所示。

圖 1 梯形明渠臨界水深不同計(jì)算公式相對(duì)誤差的變化

表 1 利用不同公式計(jì)算梯形明渠臨界水深的相對(duì)誤差比較

由表2并結(jié)合各種臨界水深的直接計(jì)算公式和相對(duì)誤差分析結(jié)果(圖1)，從公式的簡(jiǎn)捷性、各自適用范圍內(nèi)的誤差大小等方面進(jìn)行比較，表明王正中等[3,12]公式和廖云鳳[16]公式形式簡(jiǎn)單，相對(duì)誤差較大；劉善綜[11]公式和趙延風(fēng)等[5]公式形式比較復(fù)雜，但相對(duì)誤差較?。欢狙芯抗叫问綇?fù)雜，但相對(duì)誤差最小。由于本研究公式精度較高，因此可用于精度要求較高的臨界水深的計(jì)算。

表 2 梯形明渠臨界水深5種公式計(jì)算誤差分析結(jié)果(1<λ≤100)

5 結(jié) 論

在前人研究基礎(chǔ)之上，本研究提出了新的梯形明渠臨界水深直接計(jì)算公式，并對(duì)公式計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)在相同單位水面寬度值下，用本研究新建立的公式求得臨界水深的相對(duì)誤差均小于其他幾個(gè)公式，最大相對(duì)誤差僅為0.010%，不但適用范圍廣，而且還能夠應(yīng)用于精度要求較高的梯形明渠臨界水深的計(jì)算。本研究新建立的公式雖然較其他幾個(gè)公式復(fù)雜，但是借助計(jì)算器還是比較易于計(jì)算的，可用于工程實(shí)際設(shè)計(jì)中。

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