期望矩在陜北地區(qū)洪水頻率分析中的應(yīng)用

王俊珍，宋松柏

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

洪水是我國最頻繁和嚴(yán)重的自然災(zāi)害之一。洪水因暴雨形成，具有突發(fā)性、破壞性和危險性，可以使村鎮(zhèn)、城市及人民生命財產(chǎn)毀于一旦[1-2]。修建水庫和堤防等水利工程是常用的防洪措施，而推求設(shè)計洪水是防洪規(guī)劃、管理和建設(shè)的基礎(chǔ)[3-6]。設(shè)計洪水計算通常采用頻率分析方法，其內(nèi)容包括線型和參數(shù)估計方法等[7-9]。我國《水利水電工程設(shè)計洪水計算規(guī)范》[10]中規(guī)定，我國的洪水頻率曲線線型一般采用P-Ⅲ型分布，而參數(shù)估計方法主要有矩法、適線法、概率權(quán)重矩法和權(quán)函數(shù)法等，實際應(yīng)用中這些方法各有優(yōu)劣。限于我國水利事業(yè)發(fā)展?fàn)顩r，現(xiàn)有的實測資料序列均較短，影響著設(shè)計洪水的計算精度。有研究結(jié)果顯示，在洪水資料系列中考慮歷史洪水資料可以提高洪水頻率的計算精度[11-12]。因此，矩法、概率權(quán)重矩法和權(quán)函數(shù)法等方法中，具有歷史洪水資料的計算式被相應(yīng)推導(dǎo)出來，但其中實測資料被賦予的權(quán)重大于歷史洪水資料。期望矩法(Expected Moments Algorithm,簡稱EMA法)是Cohn等于1997年提出的，該方法提高了歷史洪水資料的權(quán)重[13-16]。因此，采用EMA法進(jìn)行具有歷史洪水的設(shè)計洪水計算時，可以有效利用歷史洪水資料，提高設(shè)計洪水值的計算精度。

陜北一帶小面積洪水發(fā)生次數(shù)多，洪峰模數(shù)大，尤以黃河沿岸神木一帶和無定河、延河、洛河中上游最為突出[17]。針對陜北地區(qū)的洪水災(zāi)害問題，本研究選用該區(qū)6個水文站的洪峰流量序列，以EMA法和普通矩法進(jìn)行洪水頻率曲線擬合，進(jìn)而評價所得洪水頻率曲線的擬合效果及實測值與設(shè)計值誤差，旨在為該區(qū)水利工程設(shè)計中洪水頻率的準(zhǔn)確計算提供理論依據(jù)。

1 EMA矩簡介

假設(shè)有一個s年的實測系列，具有h年的歷史洪水資料系列。以N表示洪水調(diào)查期(包括歷史和實測期的年數(shù))，xi表示洪峰流量，e1為歷史洪水系列的特大洪水次數(shù)，xh-e1為歷史洪水期中小于門限值x0(一般認(rèn)為很大的流量)的洪峰流量，e為實測系列的特大洪水次數(shù)，則在N年內(nèi)，特大洪水(超過門限值x0)的總次數(shù)為k=e1+e。

1.1 樣本矩初始值的估計

P-Ⅲ型分布的概率密度函數(shù)為：

(1)

式中：α，β,a0分別為P-Ⅲ型分布的形狀、尺度和位置參數(shù)。

完全伽馬函數(shù)Γ(α)為：

(2)

實測資料的權(quán)重系數(shù)(大于1)W的計算公式為：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：g為洪水的總次數(shù)，符號“^”表示參數(shù)估計值。

P-Ⅲ型分布的參數(shù)α、β、a0可以聯(lián)合式(7)～(9)進(jìn)行求解。

(7)

(8)

(9)

設(shè)計頻率p的分位數(shù)估計值為：

(10)

1.2 EMA矩計算

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：E[xh-e1]表示xh-e1的期望矩，可用不完全伽馬函數(shù)?！磝|α〉表示為：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：K為期望矩的階數(shù)，j=0,1,2…。

③ 利用迭代法計算，直到前后2次參數(shù)迭代估計結(jié)果滿足迭代計算精度要求為止。

2 實例應(yīng)用

2.1 研究區(qū)概況

洪水主要由暴雨形成，受西太平洋副熱帶高壓與西風(fēng)帶低槽相互作用的影響，陜北地區(qū)的暴雨具有明顯的季節(jié)性，該區(qū)洪水多出現(xiàn)在7-8月，最大洪峰流量的變化較大，最大與最小年洪峰流量的比值達(dá)到23～82，由于水文地質(zhì)條件較差，水災(zāi)頻繁且危害嚴(yán)重。

本研究選取陜北交口河、趙石窖、綏德、劉家河、張村驛和志丹6個水文站的洪峰流量資料，經(jīng)還原處理后，所用資料滿足代表性和可靠性及一致性要求。根據(jù)《陜西省洪水歷史洪水資料》，確定各水文站的歷史洪水考證期，分析P-Ⅲ型分布的EMA法和普通矩法應(yīng)用于洪水序列的擬合效果。陜北地區(qū)6個水文站最大洪峰流量資料的基本概況如表1所示。

表 1 陜北地區(qū)6個水文站年最大洪峰流量資料系列長度

2.2 參數(shù)的估計

應(yīng)用EMA法估計上述6個水文站洪峰流量序列參數(shù)(序列均值(ex)、變差系數(shù)(Cv)，偏態(tài)系數(shù)(Cs))，并與普通矩法進(jìn)行對比分析，其中普通矩法的原理和算法參見文獻(xiàn)[4]。計算結(jié)果如表2所示。由表2可知，除了交口河和張村驛站，其他4個站EMA法的均值ex均大于普通矩法，偏態(tài)系數(shù)Cs則與之相反，而變差系數(shù)Cv沒有明顯的規(guī)律。

2.3 洪峰流量頻率曲線的繪制

根據(jù)表2估算出的參數(shù)值，推求洪峰流量設(shè)計值xp，并繪制洪峰流量頻率曲線，結(jié)果如圖1所示。

表 2 陜北6個水文站洪峰流量序列參數(shù)的估算結(jié)果

圖 1 陜北地區(qū)6個水文測站的洪峰流量頻率曲線

根據(jù)表2中的參數(shù)估計結(jié)果，進(jìn)一步分析比較2種方法估計的洪峰流量頻率曲線對經(jīng)驗點據(jù)的擬合情況，結(jié)果(圖1)顯示，2種方法在交口河和張村驛站上的擬合效果十分接近，而在其他站點均以EMA法的擬合效果較普通矩法好，這與參數(shù)估計結(jié)果的變化規(guī)律相符，表明EMA法能較好地應(yīng)用于陜北地區(qū)洪水頻率曲線的擬合。

2.4 誤差分析

(22)

表3顯示，除交口河站外，其他5個站點的設(shè)計值偏差均以EMA法較普通矩法小，表明EMA法能充分利用歷史洪水資料，降低了設(shè)計值的計算偏差。結(jié)合洪峰流量頻率曲線擬合圖結(jié)果可知，EMA法不僅能較好地擬合經(jīng)驗點據(jù)，同時還可有效降低設(shè)計值的計算偏差，使估計結(jié)果更為穩(wěn)定、可靠。

表 3 EMA法和普通矩法估計陜北6個水文站洪峰流量頻率設(shè)計值偏差的比較

3 結(jié) 論

本研究以陜北地區(qū)6個水文測站的年最大洪峰流量序列為例，選用P-Ⅲ型分布，以EMA法和普通矩法對洪峰序列參數(shù)進(jìn)行估計，評估洪水頻率曲線擬合效果及設(shè)計值與實測值的偏差。結(jié)果表明，EMA法能用于研究區(qū)洪水頻率曲線的擬合，且設(shè)計值偏差小，可為研究區(qū)防洪工程建設(shè)提供理論依據(jù)。但在實際應(yīng)用時，需注意區(qū)分洪水序列樣本中實測特大洪水值和歷史洪水考證期的長度，以確保其可靠性。

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