關(guān)于有限群超可解性的一種新判定方法

劉阿明，李保軍，黃 程

(成都信息工程學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都，610225)

0 引言

討論的群皆為有限群文中未交代的符號和定義都是標(biāo)準(zhǔn)的[1－2]。

群的超可解性的描述和判定是有限群研究的重要課題之一。不同于冪零群或可解群，2個正規(guī)子群之積不一定為超可解子群。因此2個超可解子群乘積的結(jié)構(gòu)以及超可解子群的積仍為超可解群的條件成為廣受關(guān)注的研究內(nèi)容。譬如，Baer[3]證明了，如果G為2個正規(guī)超可解子群之積，且G'(群G的換位子群)冪零，則G為超可解群;Friesen[4]證明2個指數(shù)互質(zhì)的正規(guī)的超可解子群之積仍為超可解群;文獻(xiàn)[5－6]等討論了非正規(guī)超可解子群的積為超可解的一些條件。

近年來，群論專家們在對群的超可解性的研究中，引入許多新的研究工具和子群性質(zhì)，其中被廣泛關(guān)注的內(nèi)容是A Skiba[7]提出的子群弱s-置換性質(zhì)。

定義1[7]:G是有限群，H≤G，稱H在G中是弱s-可置換的，如果存在H的1個次正規(guī)子群T使HT=G，并且H∩T≤HsG，其中HsG是由H的所有在G中s-可置換的子群生成的子群。

借助子群的弱s-置換性質(zhì)，研究超可解子群的積的問題，并給出群的超可解性的一些判別方法證明以下定理:

定理1 設(shè)G=AB，其中A在G中是擬正規(guī)的且B為超可解的。若A的Sylow子群的所有極大子群都在G中是弱s-可置換的，則G為超可解群。

1 預(yù)備知識

為了方便引用，列出弱s-置換子群的一些基本性質(zhì)和一些已知的結(jié)論。

引理1[7]設(shè)G是群，H≤K≤G，則下面結(jié)論成立:

(1)如果H在G中是s-可置換的，那么H在G中是弱s-可置換的;

(2)如果H?G，那么K/H在G/H中是弱s-可置換的當(dāng)且僅當(dāng)K在G中是s-可置換的;

(3)如果H在G中是弱s-可置換的，那么H在K中是弱s-可置換的;

(4)如果H?G，對于任何在G中是弱s-可置換的E滿足，那么HE/H在G/H中是弱s-可置換的。

引理2[1]設(shè)H是群G的次正規(guī)子群，則Soc()G≤NG()H，其中Soc()G為G的所有極小正規(guī)子群的積。

引理3[8]群G的p-超可解的，若Op'()G=1，則p為的極大素因子，且G/Op(G)為冪指數(shù)整除p－1的交換群。

群G稱為是一個Dπ-群，如果G滿足:(1)有Hall π-子群;所有Hall π-子群共軛;(2)所有π-子群均含于某一 Hall π -子群。對Dπ-群，得到:

引理4設(shè)G=AB，且A，B，G都為Dπ-群。則存在G的Hallπ-子群H使得H=(H∩A)(H∩B)。

證明 設(shè)Aπ，Bπ分別為A，B的 Hall π-子群，Gπ為G的 Hallπ-子群，由Dπ-群定義，可設(shè)Aπ?Gπ。Bπ?Gπx，x∈G。則x=ab，a∈A，b∈B。于是Bπb－1?Gπa。但Bπb－1仍為B的 Hall π -子群，因此Bπ?Gπa，令H=Gπa，則Bπ?H。又由Aπa?Gπa=H，以Aπ代替Aπa有Aπ?H。于是AπBπ?H.通過對階的比較，立即可得Aπ=H∩A，Bπ=H∩B且H=(H∩A)(H∩B)。

引理5[9]設(shè)V是域GF(p)上n(≥1)維向量空間，令G是V的線性變換組成的交換群，其冪指數(shù)能整除p－1，如果群G既約的作用在V上(即V沒有非平凡的G不變子空間)，則必有n=1且G是循環(huán)群。

2 定理1的證明

為了證明定理1，先證明下述2個引理。

引理6 設(shè)p為G的最小素因子，A是G的擬正規(guī)子群，B為p-冪零子群，且G=AB。若A的Sylowp-子群的所有極大子群在G中是弱s-可置換的，則G為p-冪零的。

證明:引理不成立，并設(shè)G為極小階反例。4個步驟完成證明。

(1)Op'()G=1

由引理1，容易驗證引理條件對G/Op'()G成立。假設(shè)Op'( )G≠1。則。由G的極小性可知，G/Op'()G是p-冪零的。于是G為p-冪零的，矛盾。

(2)A是p-群且G是p-可解群

由引理1(3)可知，A的Sylowp-子群的所有極大子群在A中也是弱s-可置換的。于是，由文獻(xiàn)[10]中推論2.6和引理3.2，可得A為p-冪零的。令K為A的正規(guī)的p-補(bǔ)，即K為A的 Hallp'-子群且K?A。則K≤Op'()G=1，因此A是p-群。由A在G中擬正規(guī)，得A≤Op(G)且因此有G=Op(G)B為p-可解群。

豎爐檢修完畢，開爐前需預(yù)先將爐內(nèi)銅原料碼成圓柱狀料柱直至加料口；開爐生產(chǎn)后，燒嘴高溫火焰直接噴射至爐內(nèi)銅原料，將料柱熔化成銅液；銅原料從加料口緩慢下降過程中，高溫?zé)煔庠跓焽栊?yīng)的作用下逆銅原料流向上升，與料柱充分換熱后由爐頂排出，熱量利用充分，節(jié)能降耗效果顯著；煙氣溫度由爐底的約1 200 ℃降至加料口的約400 ℃，加料口作為補(bǔ)新風(fēng)口，最終排煙溫度降至約300 ℃[2]；通過持續(xù)預(yù)熱、熔化料柱，在爐底會形成一股連續(xù)的銅液流，銅液在重力作用下，匯入爐底斜坡從出銅口流出。銅液在爐內(nèi)滯留時間短，難以提溫，向爐壁熱傳導(dǎo)也較少，熱損失少。

(3)G為p-閉的

設(shè)T=Opp'()G，由步驟(2)知，A?T，因此T=T∩AB=AT∩()B，由引理1易知T滿足定理條件。若T＜G，則由G的選擇知T是p-冪零的，但Op'()T?Op'()G=1，因此T為p-群;又因為G是p-可解群，必有Op( )G/T≠1，記R/T=Op( )G/T，則由T為p-群得R?Op()G?T，矛盾。因此，T=G，即G為p-閉的。

(4)最后矛盾

設(shè)Bp和Bp'分別為B的Sylowp-子群和Hallp'-子群，因為B是p-冪零的，所以Bp'?B。由步驟(3)知，G為p-閉的，因此B也是p-閉的，于是Bp?B，即B=Bp×Bp'。因為A在G中是擬正規(guī)的，所以ABp'≤G;若ABp'＜G，則由歸納可知ABp'是p-冪零的，即Bp'?ABp'，又因為A是擬正規(guī)子群，A是ABp'的次正規(guī)Sylowp-子群，所以A?ABp'，即ABp'=A×Bp'，因此A?CG(Bp')中，進(jìn)而有ABp?CG(Bp')，這表明Bp'?G=AB，由步驟(1)得Bp'=1，從而G=ABp是p-群，矛盾。因此可設(shè)G=ABp'，則A是G的正規(guī)Sylowp-子群，同步驟(2)的證明可知G為p-冪零的，這是最后的矛盾，因此結(jié)論成立。

引理7 設(shè)G為p-閉的，A是G的擬正規(guī)子群，B為p-超可解子群且G=AB，若A的Sylowp-子群的所有極大子群在G中是弱s-可置換的，則G為p-超可解的。

證明:假設(shè)引理不成立并設(shè)G為極小階反例，即G是滿足條件的極小階非p-超可解群，通過以下步驟證明:

(1)Op'(G)=1

(2)AG=1

假設(shè)AG≠1，并設(shè)N是包含在AG中的G的極小正規(guī)子群，由引理1，容易驗證G/N也滿足定理條件。由G的選擇知G/N是p-超可解的。又由于所有p-超可解的群類為飽和群系，因此N≤/Φ()G。于是存在G的極大子群M，使對于A的Sylowp-子群Ap，Ap=Ap∩NM=N(Ap∩M)，即N在Ap中有補(bǔ)P1=Ap∩M，設(shè)Gp是G的Sylowp-子群，因為N?G，存在N的極大子群L，且L?Gp，令P=LP1，則P是Ap的極大子群，由已知條件可得，P在G中是弱s-可置換的，設(shè)T是G的次正規(guī)子群，則P∩T≤PsG，如果N≤/Op(G)，則NOp(G)/Op(G)?N是G-主因子，但G/Op(G)是p-群，其所有的G主因子是循環(huán)群，因此N是循環(huán)群，所以N≤Op(G)≤T，則L=N∩P≤T∩P≤TsG，所以L=N∩TsG在G是s-擬正規(guī)的，即得Op(G)≤NG(L)，所以L?Op()G·Gp=G，由N的極小性得L=1，所以，即得G為p-超可解的，矛盾。所以AG=1。

(3)設(shè)N是包含在Op()G中的G的極小正規(guī)子群，則G/N為p-超可解群

由G的極小性，只需驗證G/N也滿足定理條件。顯然G/N=(AN/N)(BN/N)且AN/N是GN/N的擬正規(guī)子群，BN/N為p-超可解子群。設(shè)S/N為AN/N的Sylowp-子群的任一極大子群，P為S的Sylowp-子群。則顯然P為A的Sylowp-子群的一個極大子群，從而在G中是弱s-可置換的。即存在次正規(guī)子群T使PT=G，并且P∩T≤PsG。由于|G:T|=|P:P∩T|為p-數(shù)，所以N?Op()G?T。于是G/N=(PN/N)(T/N)=(S/N)(T/N)，且S/N∩T/N=(PN∩T)/N=(P∩T)N/N≤PsGN/N≤(S/N)S(G/N).因此S/N在G/NG中是弱s-可置換的，即G/N滿足定理條件。

(4)A為p-子群

設(shè)N是包含在Op(G)中的G的極小正規(guī)子群，由步驟(1)知N?Op(G)中，顯然Z(Op(G))?G，又由N∩Z(Op(G))≠1知N?Z(Op(G))，即N∩A?Z(Op(G));另一方面，A是G的擬正規(guī)子群，因此Op(G)?NG(A)，并且有Op(G)?NG(A∩N)。因為G為p-閉的，表明G=Op(G)·Op(G)?NG(A∩N)，即A∩N?G，由N是G的極小正規(guī)子群，則A∩N=1或A∩N=N，但AG=1，所以A∩N=1，由引理2知AN=A×N，即A?CG(N)。

令A(yù)p是A的Sylowp-子群，則ApB=Op(G)B≤G。令M=ApB則Ap在M中是擬正規(guī)的，且M也滿足定理的條件。若M＜G，則由G的選擇可知，M是p-超可解的，設(shè)R?N是M的極小正規(guī)子群，則R=p，又由N?CG(A)得R?G=AB=AM，N的極小性表明，N=R為p階群。又由步驟(3)知G/N為p-超可解的，所以G為p-超可解的，矛盾。這一矛盾表明，G=M=ApB，由此，不妨設(shè)A=Ap，即A為p-群。

(5)Op'(B)=1

假設(shè)Op'(B)≠1，則 (Op'(B))G=(Op'(B))BA=(Op'(B))A≤AOp'(B)，令L是含于 (Op'(B))G的G的極小正規(guī)子群，則L≤Op'(B)，由步驟(1)知L必為p-群，從而L?A，矛盾于步驟(2)AG=1，因此Op'(B)=1。

(6)G的Hallp'-子群為冪指數(shù)整除p－1的交換群

由步驟(5)Op'(B)=1，且B為p-超可解群，由引理3知B的Hallp'-子群Bp'?B/Op(B)為冪指數(shù)整除p－1的交換群，但A為p-群，因此Bp'為G的Hallp'-子群，是冪指數(shù)整除p－1的交換群。

(7)最后矛盾

因為G為p-閉的且G的Hallp'-子群是冪指數(shù)整除p－1的交換群，由引理5得G為p-超可解的，矛盾。這一最后矛盾表明，引理成立。

給出定理1的證明:

由引理6知，G為p-冪零的，其中p為G的最小素因子。令M為G的p-補(bǔ)，則M=(M∩A)·(M∩B)且滿足定理條件，重復(fù)此過程，可以得到G為Sylow塔群。設(shè)q是的極大素因子，則G為q-閉的，又由引理7可知G為q-超可解的。令Q是G的Sylowq-子群，則。設(shè)X是Q在G中的補(bǔ)，則由引理4可知，,從而用歸納法可知x是超可解的，又因為，且Q?Z∞()G，所以G為超可解群。

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