從中美比較談高等數(shù)學課堂教學改革與實踐

鄔毅，龍?zhí)m，張正萍，王蕾

作為全國高校理、工科各類專業(yè)學生的一門必修基礎課程，高等數(shù)學不僅奠定了學生必要的數(shù)學基礎，為其后續(xù)學習課程提供知識及方法的理論支撐；還在培養(yǎng)學生的思維方式、提高學生解決問題的能力等方面起著舉足輕重的作用。高等數(shù)學課堂教學改革的探討屢見不鮮，但效果總是差強人意。因此，有必要尋求高等數(shù)學課堂教學改革的突破口和切入點。筆者借在奧本大學訪學的契機，立足于對美國大學教學體制和教育價值取向的體會，結合自身的教學實踐經(jīng)驗，對高等數(shù)學課堂教學改革有了更深層次的認識。

一、中美高等數(shù)學課程的比較分析

中國高等數(shù)學課程教學知識結構主要包括極限、微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級數(shù)、常微分方程等。高等數(shù)學以微積分為主，不僅使得函數(shù)、速度、加速度和曲線斜率等均可用一套通用的符號進行討論，還為定義和計算面積、體積等提供了一套通用的方法。中美高等數(shù)學課程除了排列順序略有不同之外，理論知識點大致相當，都秉承了微積分學中的經(jīng)典，覆蓋了應用最廣泛的內容和對本科學生必須具備的基本要求，并且深淺程度也基本相當。因此，兩者具有可比性。它們較為明顯的差異在于教學設計的導向不同。中國高等數(shù)學課程注重嚴謹?shù)倪壿嬐评砗蛧烂艿臄?shù)學表達，在此基礎上強調該課程為本科學生學習后續(xù)課程提供知識和方法的理論支撐，導致教學內容和教學方法均朝著理論方面傾斜。美國高等數(shù)學課程將“培養(yǎng)學生概念性的理解能力、解決問題的技巧、分析與舉一反三的技能”作為微積分課程的基本要求，并鼓勵通過實行新方法減少冗長乏味的計算[1]2-10，在此基礎上強調該課程對現(xiàn)代技術工具的作用，從而削弱其理論性，側重于啟發(fā)性和應用性。因此，中美高等數(shù)學（微積分）課程對于相同內容的闡述和處理方式不盡相同，主要體現(xiàn)在教學內容的采編和教學重點的表達。

中國從20世紀70年代開始自編高等數(shù)學教材，40余年來出版的教材不僅滿足了各高等院校的教學需要，同時也涌現(xiàn)出一些影響深遠的優(yōu)秀教材和教輔資料。如現(xiàn)在仍被師生廣泛使用的同濟大學數(shù)學系編寫的《高等數(shù)學》（上、下冊）第六版[2]，經(jīng)過多年的教學實踐、修訂，在內容和結構等方面都趨于成熟和完善。90年代后期，隨著高等數(shù)學課程教學改革的不斷深入，越來越多的國外優(yōu)秀英文教材原版影印版和譯著版被引入國內。如從Pearson出版公司引進的《托馬斯微積分》第十版[3]。 50多年來，該書平均每4至5年就有一個新版面世，每版較之先前版本都有不少改進之處，體現(xiàn)了這是一部銳意革新的教材。與此同時，該書的一些基本特色始終保持且有所增強，說明它也是一部重視繼承傳統(tǒng)的教材。以上兩本教材雖然在理論內容上基本一致，但從多媒體輔助教學的角度看，后者更顯得圖文并茂，其正文和習題都穿插了大量精美圖片。這些圖片有的是利用數(shù)學軟件制作而成，比如在“空間中的向量和運動”與“多元函數(shù)及其導數(shù)”中出現(xiàn)的曲線、曲面圖形；有的來自于生活中的實例，比如在引入“方向導數(shù)”的概念時，教材中配了一幅紐約Hudson河西點軍校的等高線地圖作為插圖指出支流沿最速下降的路徑垂直于等高線流動，用來揭示方向導數(shù)在科學和工程中以及在數(shù)學中的意義；有的則來自于新聞圖片，比如有關導數(shù)的一道習題配上一張1988年8月5日Mike McCarthy在比薩斜塔跳傘的新聞場景。這些圖形不僅可以幫助學生更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，同時又能使學生覺得生動有趣，閱讀時不感到枯燥。此外，《托馬斯微積分》第十版除了在各小節(jié)末總結理論、介紹實例、闡述應用之外，還專門配備了計算機代數(shù)系統(tǒng)（CAS）練習，用以加強學生對重要概念的理解，方便他們更深入地探索。教材所附光盤中的Mathematica和Maple教學單元更是實現(xiàn)了圖形、數(shù)值、分析三者之間的完善和平衡。

二、中美高等數(shù)學課堂教學現(xiàn)狀的比較分析

以重慶科技學院為例，就目前而言，“粉筆加黑板”的傳統(tǒng)教學手段已經(jīng)得到明顯改善。一方面，絕大部分教師都能夠結合課件采用多媒體教學去提高學生的學習興趣和教師的教學效率，卻又受阻于多媒體課件“后頁看不到前頁”、不便于學生記憶的局限性。另一方面，“注入式”教學方式和“以書本為內容，以課堂為陣地，以教師為中心”的傳統(tǒng)教育理念仍廣泛存在于高等數(shù)學的課堂教學中。教師總是千篇一律地先給出概念，再證明定理，最后講解例題。從數(shù)學知識的角度出發(fā)，教師遵循從一般到特殊的過程來組織高等數(shù)學課程的教學，以便于從整體上刻畫高等數(shù)學課程的主體思路和基本理論。這種教學方式顯得枯燥乏味，教師主宰課堂，學生們往往只是被動、盲目地接受知識。在遇到抽象難懂的問題時，學生們往往從困惑到疲憊，最后放棄，從而大大扼殺了其學習的積極性和主動性。對教師的依賴心理也導致學生思維僵化。雖然考試成績不錯，但學生創(chuàng)新能力的缺失影響了其能力的發(fā)展，沒有達到應用型本科院校的人才培養(yǎng)目標。

相比而言，美國大學的高等數(shù)學課堂少了幾分形式演繹，顯得風格活潑。以奧本大學本科微積分課程（MATH 1610）課堂教學為例。首先，教師能夠根據(jù)課程的具體內容，要么通過實例引入知識內容，要么在引入知識內容之后進行相應的舉例。這些例子不局限于幾何、物理、力學和經(jīng)濟的傳統(tǒng)應用，還來源于建筑、生物、醫(yī)學、金融、軍事、政治等領域，信息量大，充滿了生活氣息和趣味性。在教學過程中，教師還傾向于借助直觀形象的圖形來對概念、原理和方法進行闡述。其次，教師在講授理論知識時會引入相關的微積分歷史，包括介紹其產生的背景和發(fā)展過程。這不僅有助于強化學生對理論知識的理解，還拓展了學生的知識面。此外，教師在闡明重、難點的基礎上，還會創(chuàng)造有助于學生自主學習的問題情境，適時地向學生提問，引導其以思考和交流的方式獲取知識，或對一些問題各抒己見。教師不再是講臺上聲嘶力竭的表演者，而是和學生一起成為課堂上的教學主體。

三、關于高等數(shù)學課堂教學的一些思路和實踐

通過對中美本科高等數(shù)學（微積分）課程及課堂教學的比較分析，筆者及其所帶的課程教改小組認為，高等數(shù)學課堂教學應該在“交流互補、融合提高”的原則下，以“在理論內容中體現(xiàn)其實用性”為突破口，以“解決該課程教學上存在的矛盾”為切入點進行改革和完善，以滿足應用型本科院校對人才培養(yǎng)的要求。

（一）優(yōu)化課堂教學內容

一方面，優(yōu)化課堂教學內容，不是簡單地補充和增刪教材的內容[4]88-89。隨著大學的不斷擴招，學生的整體數(shù)學水平下降，個體水平也參差不齊。在進行高等數(shù)學課堂教學的過程中，教師除了把最基本的概念、原理和方法闡述清楚，把基本問題講解透徹之外，還應該特別指出一些需要注意的問題，并相應地補充一些教材上沒有的內容和例子。對于教材上一些計算過程比較繁雜、證明過程比較繁瑣的定理或例題，教師可以在梳理清思路的前提下，留給有興趣、有余力的學生在課后去進一步研究，而不必要求全班學生都去掌握詳細的過程。例如，令學生普遍感到茫然的極限概念關于 ε-δ、ε-N、ε-X 的語言描述[5]88-89，我們沒有去做過多的討論，而是通過介紹一些具有代表性的例子，讓學生對極限的概念先有一個直觀的認識，再在以后的學習中去慢慢體會極限思想。

另一方面，高等數(shù)學作為基礎課程，教授給學生的不僅是一些實用的數(shù)學工具，還應該包含數(shù)學素質和數(shù)學思維、應用能力和創(chuàng)新能力。因此，教師需要研究學生所屬專業(yè)的教學計劃，了解該專業(yè)教學計劃中核心課程及主干課程對高等數(shù)學的應用要求，從培養(yǎng)應用型、復合型人才的角度吐故納新，更新教學內容。在此過程中，不僅要處理好經(jīng)典內容與現(xiàn)代數(shù)學觀點和方法的關系，還要根據(jù)學生及其專業(yè)的特點，突破學科界限，促進不同學科內容的融合，從而加強對學生應用能力的培養(yǎng)，達到學以致用的效果。此外，我們也將數(shù)學建模的方法融入高等數(shù)學課堂教學，這樣不僅填補了理論和應用的鴻溝，還激發(fā)了學生學習高等數(shù)學的積極性。

（二）實現(xiàn)課堂教學方法多元化

教學方法是實現(xiàn)教學目標，落實人才培養(yǎng)模式，提高教學質量的具體實施環(huán)節(jié)，也是高等數(shù)學教學改革的重頭戲[6]42-45。教學方法作為調動學生學習積極性的手段，形態(tài)并不唯一，教師應根據(jù)教學內容適當?shù)剡x擇教學方法。

在高等數(shù)學課堂教學中，“啟發(fā)教學”無疑是授課最適宜的方法。針對高等數(shù)學“高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性”這些固有的特點，教師首先應在如何激發(fā)學生積極性上下功夫，在教學中力求從實際問題出發(fā)進行數(shù)學層面的抽象。例如，定積分的形成過程與幾何和物理背景都相關。我們可以通過討論“曲邊梯形面積的求解”和“勻變速直線運動的路程”來抽象出定積分這一概念。這不僅有助于學生掌握內容，還有助于發(fā)展其抽象思維能力。

其次，高等數(shù)學系統(tǒng)性強，知識點銜接緊密。在揭示新舊知識連接點的過程中，“對比教學”不僅可以引導學生進行主動探究，還有助于學生對知識的遷移。例如，在講授“多元函數(shù)微分學”時可以把相關概念和原理與“一元函數(shù)微分學”的對應概念和原理進行比較，我們以分析二元函數(shù)為主。因為，從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù)所產生的新問題可以按照從一元函數(shù)到二元函數(shù)所產生的問題進行類推。這樣既可以展示高等數(shù)學理論的推論過程，也可讓學生掌握系統(tǒng)學習數(shù)學的方法。

此外，“直觀教學”在高等數(shù)學課堂教學中也舉足輕重。教師應注重運用直觀、形象的語言或圖形去幫助學生把握高等數(shù)學的原理與方法。例如，在講授直角坐標系下三重積分的兩種基本計算方法時，我們可以采用更為形象的“切條法”與“切片法”來分別對應教材中的“投影法”和“截面法”[7]58-60。 又如，在講授弧微分時，我們借助曲邊三角形模型去分析，便于學生記住曲線弧在分別由直角坐標方程、參數(shù)方程和極坐標方程的形式給出時弧微分的相應計算公式。

（三）滲透背景知識，建立與后續(xù)專業(yè)課程的聯(lián)系

傳統(tǒng)的高等數(shù)學課堂教學往往鐘情于嚴密的數(shù)學知識和嚴謹?shù)睦碚撏茖?，片面強調數(shù)學知識的傳授，卻忽略了與之有關的實際問題，令學生感受不到學習高等數(shù)學的意義。事實上，高等數(shù)學的課堂教學，首先，應該強調學科本身對工科學習的工具作用。華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學”。這是對數(shù)學源于生活的精彩描述。因此，在高等數(shù)學課堂教學中，教師根據(jù)相應內容，適當?shù)亟斍爸R與后續(xù)專業(yè)課程中的聯(lián)系，將理論知識實用化是必要且可行的。例如，對于經(jīng)濟學類的學生，可以補充經(jīng)濟學家利用微積分來預測全球經(jīng)濟發(fā)展趨勢的實例；對于地理科學類的學生，可以補充海洋學者利用微積分來描述海洋流動理論和氣象學者利用微積分來討論高空大氣層空氣流動的實例；對于醫(yī)學類的學生，可以補充醫(yī)學家利用微積分來設計掃描人體內部器官的超聲波和X-射線探測儀器的實例等[8]6-10。這些源于人們生產和生活的實例與學生所屬的專業(yè)息息相關，使他們覺得所學的知識更貼切，一方面培養(yǎng)了他們知識遷移的能力和解決實際問題的能力；另一方面又提高了學生的學習興趣和教師的教學效果。

其次，高等數(shù)學背景知識除了包括知識的應用之外，也包括知識的形成，即知識的縱向和橫向脈絡。數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新離不開數(shù)學家們的研究方法和研究成果，以及數(shù)學家們的審美觀和審美情趣。因此，在高等數(shù)學的范圍內，教師可適當?shù)亟榻B數(shù)學家的生平簡史和數(shù)學史，在審美原則下去強化數(shù)學美感，發(fā)揮數(shù)學美感在高等數(shù)學課堂教學中的指導作用，引導學生鑒賞高等數(shù)學之美。生動活潑的數(shù)學歷史和專業(yè)背景不僅可以調節(jié)沉悶的課堂氛圍，還起到培養(yǎng)學生學習興趣的作用，利于提高教學效果。

（四）合理利用現(xiàn)代化教學手段

重慶科技學院的教室全部配備了多媒體教學設施。這些設施不僅可以通過文字、聲音、動畫相結合的方式傳遞理論知識，將學生的視、聽、觸覺等都調動起來，還從某種程度上減輕了教師的勞動量。但同時，它也造成了部分老師對多媒體教學的過度依賴。實際上，對于高等數(shù)學課堂教學而言，多媒體教學的優(yōu)勢并不是絕對的。多媒體教學在提高教學效率的同時，卻因“后頁看不到前頁”和“快節(jié)奏”的弊端而不便于學生記憶和梳理知識的整體性和系統(tǒng)性。“粉筆加黑板”的傳統(tǒng)教學手段不僅靜態(tài)信息容量大、視野寬，有助于教學過程前后呼應，使學生的思考與板書同步，保證學生思維過程的連續(xù)性，也有利于教師糾錯、自由發(fā)揮和隨機應變[9]20-21。因此，合理利用多媒體，將傳統(tǒng)與現(xiàn)代化教學手段相結合，是我們的主要實踐方式。

筆者及其帶隊的課程教改小組采取了以 “粉筆加黑板”為主的傳統(tǒng)教學手段。由于高等數(shù)學理論知識的抽象和概括，有其本身的節(jié)奏，我們必須適應這種情況并適時調整。一般我們用一塊黑板板書某個完整的高等數(shù)學問題，對于一些重要的演算或證明過程還可以長時間停留在黑板上，學生注意力不易分散。當遇到一些難以理解的概念和難以想象的圖形，我們再以多媒體教學為輔助，發(fā)揮其圖形和動畫功能，直觀地展示高等數(shù)學中各種幾何空間關系，甚至包括幾何體的形成過程，使要表述的問題更清晰，更便于學生理解。例如，我們在講解定積分的概念時，可以充分利用多媒體來演示“分割、近似、求和、取極限”四個步驟去求曲邊梯形的面積。這種效果，傳統(tǒng)的黑板講解無法達到。因此，在高等數(shù)學課堂教學中，我們應該合理適度地利用多媒體，取長補短。這樣才能真正提高教學效率。

此外，結合數(shù)值試驗可以作為高等數(shù)學課堂教學的一個創(chuàng)新嘗試。一方面教師可以借助數(shù)學工具軟件（如Matlab、Maple等）的運用來豐富課堂教學；另一方面，學生還可以通過數(shù)學工具軟件的應用從繁雜的計算中解放出來，輕松地投入到高等數(shù)學課程本質的學習中去。

（五）充分鼓勵學生積極參與

在“以教師為中心”的傳統(tǒng)教學模式下，高等數(shù)學課堂教學幾乎完全是由教師獨自串講教學內容為主，我們之前普遍形成的觀點就是只要把知識毫無保留地傳授給學生即達到目的。G.B.Thomas精辟地指出，“教師和學生在一起才能夠成一門課?！笔聦嵣?，數(shù)學教育的核心內容除了數(shù)學知識的傳授，還包含數(shù)學技能的培養(yǎng)，包括計算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、應用能力等[10]。本文認為，應該倡導“以教師為指導、學生積極參與”的“教與學”并重的課堂教學模式。在高等數(shù)學課堂教學中，我們可通過適時提問、討論等方式鼓勵和誘導學生積極思考，給學生一定的思考空間，提供機會讓學生自我發(fā)現(xiàn)，充分發(fā)揮學生的主體作用，激發(fā)學生的探索和創(chuàng)新精神。借由這樣的過程，我們旨在提高學生的數(shù)學思維能力、解決問題的實際能力，進而提高學生的數(shù)學素質。

（六）及時回顧與總結

要完善高等數(shù)學課堂教學，回顧與總結是不可或缺的一個環(huán)節(jié)。在小節(jié)、篇章內容結束之后，教師以系統(tǒng)的觀點對該章（節(jié)）所講授的內容勾勒出清晰的框架，循序漸進地對該章（節(jié)）的知識點進行綜合、歸類，以便于加深學生對各部分內容之間關系的理解。例如，在講完“微分中值定理與導數(shù)的應用”這一章之后，可以將四個微分中值定理之間的條件和結論進行比較，把它們的關系歸結出來，使學生明確在什么情況下使用哪一個微分中值定理更為合適。簡單的回顧與總結不僅能夠促使學生累積經(jīng)驗，還能夠促進有效的高等數(shù)學教學。此外，教師還可以讓學生對本章（節(jié)）的學習過程進行評價，明確指出在該過程中存在的學習方法的誤區(qū)，并鼓勵學生科學、合理地評價教師的教學效果。

四、高等數(shù)學課堂教學實踐的效果

筆者及其帶隊的課程教改小組按照前面的思路，對高等數(shù)學課堂教學進行了優(yōu)化和更新，并在教學過程中不斷改進、完善。現(xiàn)分別對革新前（重慶科技學院石油工程2011級1、2、5班）和革新后（重慶科技學院石油工程2013級1、2、5班）兩個時期相同教學單位的考試成績進行了比較。通過對比分析，我們發(fā)現(xiàn)革新后的教學班級及格率和優(yōu)生率都有所提高。

五、結語

為了適應重慶市經(jīng)濟社會發(fā)展和產業(yè)結構調整需要，促進高等教育規(guī)模結構質量效益的協(xié)調發(fā)展，重慶科技學院正積極推動著教學模式的轉型升級。我們必須立足于新的條件，在“工科類本科數(shù)學基礎課程教學基本要求”的指導下，結合應用型本科院校對人才質量的培養(yǎng)要求，積極探索新建本科院校高等數(shù)學課程教學的改革模式與方法，著重培養(yǎng)學生在理解理論的基礎上應用高等數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，以進一步提高高等數(shù)學課程的教學質量。

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