基于拉格朗日方法的飛行器多體分離姿態(tài)動力學(xué)分析研究

王鑫, 袁曉光, 楊星

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071

主要符號定義

飛行器攜帶特種分離載荷的飛行任務(wù)模式目前成為航空航天領(lǐng)域一個(gè)研究的熱點(diǎn)。此類飛行器在大氣層內(nèi)飛行,在大縱深預(yù)定的目標(biāo)區(qū)域上空將有效載荷分離釋放,以完成偵查、打擊、預(yù)警、數(shù)據(jù)通訊、熱點(diǎn)區(qū)域監(jiān)視等任務(wù)[1]。此類任務(wù)中有效載荷作為分離體從運(yùn)載平臺脫離的過程中,由于仍在大氣層中,因此其多體分離過程與傳統(tǒng)航天器在真空環(huán)境下的拋罩分離過程顯著不同[2]，分離過程的氣動和姿態(tài)動力學(xué)特性將直接影響到分離體后續(xù)的飛行態(tài)勢。

在此類飛行器分離體的氣動仿真工作中,需要涉及到多體動力學(xué)微分方程的求取與計(jì)算,可以應(yīng)用拉格朗日力學(xué)方法來建立飛行器運(yùn)動過程的狀態(tài)方程,并進(jìn)行多體動力學(xué)模型的簡化和求解[3]。拉格朗日力學(xué)是分析力學(xué)的一種,是對經(jīng)典力學(xué)的一種新的數(shù)學(xué)表述,其引入了廣義坐標(biāo)的概念,并運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理得到與牛頓第二定律等價(jià)的拉格朗日方程。拉格朗日方程在多體系統(tǒng)領(lǐng)域具有更普遍的意義和更廣泛的適用范圍;并且在選取恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)后,可以使多體動力學(xué)方程得到簡化,其微分方程形式規(guī)范,物理意義明確[4]。

本文研究的飛行器在近空間大氣層內(nèi)拋離頭部的有效載荷，飛行器本體和有效載荷分離體將作為一個(gè)多體系統(tǒng)來考慮。在整個(gè)分離過程中,忽略瞬時(shí)分離火工品的作用(相比分離過程而言,時(shí)間很短),則分離體僅受分離過程前后的重力和氣動力的作用。由于在氣動環(huán)境下分離體的姿態(tài)特性將對飛行器的飛行態(tài)勢產(chǎn)生重要影響,本文重點(diǎn)研究如何使用拉格朗日力學(xué)方法計(jì)算出分離體的姿態(tài)參數(shù)變化情況。

1 分離體模型建立

1.1 建立動力學(xué)模型

分離體與飛行器分離之后,沒有自主的動力,只受氣動力和重力的作用，其中氣動力為外力,重力是與勢能相關(guān)的力。以分離體作為研究對象的動力學(xué)系統(tǒng)可視為非保守系統(tǒng),并假設(shè)分離體運(yùn)動過程中不受約束,或認(rèn)為受到常值的定常約束。分離方式及坐標(biāo)系定義見圖1。

圖1 有效載荷分離方式及坐標(biāo)系示意圖

1.2 坐標(biāo)系選取

1) 慣性參考系

如圖1所示,取分離體與飛行器初始分離時(shí)刻為t=0時(shí)刻。選取慣性參考系A(chǔ)X0Y0Z0,與地球固聯(lián)。原點(diǎn)A取t=0時(shí)刻分離體質(zhì)心O在地面投影。AX0軸在水平面內(nèi),取t=0時(shí)刻分離體速度在水平面內(nèi)投影為正;AY0軸與地面垂直,向上為正;AZ0軸按右手定則確定。

2) 本體動坐標(biāo)系

取本體坐標(biāo)系OXYZ固聯(lián)于分離體本體,原點(diǎn)O與分離體質(zhì)心重合;初始時(shí)刻t=0各軸方向規(guī)定如下:AX軸在水平面內(nèi),取初始速度在水平面內(nèi)投影方向?yàn)檎?AY軸垂直于水平面,向上為正;AZ軸按右手定則確定。本體坐標(biāo)系隨分離體的位置和姿態(tài)的變化而變化。

2 拉格朗日廣義坐標(biāo)與廣義力的選取

廣義坐標(biāo)是用以確定系統(tǒng)位形的一組獨(dú)立參變數(shù),坐標(biāo)的選擇通常是直觀的并決定于系統(tǒng)的特征,所以可選擇合適的系統(tǒng)變量構(gòu)建廣義坐標(biāo)。拉格朗日方程采用廣義坐標(biāo)來描述完整約束系統(tǒng),對于簡化方程的求解有很大幫助,本文所研究的情況雖沒約束存在,但引入廣義坐標(biāo)概念,可方便采用不同參數(shù)、更好地運(yùn)用拉格朗日方程。

根據(jù)廣義坐標(biāo)的性質(zhì),一個(gè)系統(tǒng)需要設(shè)定的廣義坐標(biāo)數(shù)目,等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)目。針對本文中研究的分離體擁有6個(gè)自由度,對應(yīng)地需要定義6個(gè)適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)來描述該系統(tǒng)。

6個(gè)廣義坐標(biāo)設(shè)為q(q1,q2,q3,q4,q5,q6),其中r(q1,q2,q3)亦表示為r(x,y,z),分別表示本體坐標(biāo)系相對于慣性參考系A(chǔ)X0Y0Z0軸上的位置坐標(biāo)值;θ(q4,q5,q6)亦表示為θ(α,β,γ),分別表示本體坐標(biāo)系相對于慣性參考系的3個(gè)姿態(tài)角是由本體系依次繞OX、OY、OZ軸旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度得到。

此外定義與廣義坐標(biāo)相對應(yīng)的廣義力,記為Qj;根據(jù)拉格朗日力學(xué)分析,廣義力的數(shù)目等于廣義坐標(biāo)的數(shù)目。當(dāng)qj的量綱是長度時(shí),Qj的量綱就是力的量綱;當(dāng)qj的量綱是角度時(shí),Qj的量綱就是力矩的量綱,于是Q1～Q3為系統(tǒng)所受力F的廣義形式,Q4～Q6為力矩M的廣義形式。

3 建立分離體姿態(tài)動力學(xué)方程組

3.1 廣義坐標(biāo)簡化

對分離體姿態(tài)動力學(xué)推導(dǎo)之前,有必要先引入拉格朗日方程的有關(guān)結(jié)論及公式。拉格朗日方程如下:

(1)

式中：

(2)

系統(tǒng)實(shí)速度的廣義坐標(biāo)表示式:

(3)

式中：

ri=ri(q1,…,q6,t)

(4)

根據(jù)拉格朗日力學(xué)理論,當(dāng)系統(tǒng)只有定常約束的情況下,(4)式將不顯含t。本文假設(shè)分離后的有效載荷僅受重力和氣動力,故分離過程可視為只有恒為零的定常約束動力學(xué)過程,故(3)式可簡化成為:

(5)

3.2 分離體的拉格朗日動力學(xué)方程

分離體動力學(xué)方程需要選取合適的廣義坐標(biāo)來表示系統(tǒng)動能T,本文分離動力學(xué)模型的系統(tǒng)動能T可表示為:

(6)

代入(5)式及角速度的廣義坐標(biāo)表達(dá)式,即:

式中：

需要注意到由于存在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換,本文分離體的姿態(tài)角是指機(jī)體坐標(biāo)系相對慣性系的角度,其導(dǎo)數(shù)也是相對慣性系而言[5];而分離體的角速度則是繞機(jī)體坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的速度,是相對于機(jī)體坐標(biāo)系而言的,這點(diǎn)不等同于姿態(tài)角的單純導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)本文廣義坐標(biāo)的選取規(guī)則可得出,表示位置關(guān)系的矢徑r可用廣義坐標(biāo)標(biāo)記為:

(7)

在(6)式系統(tǒng)動能表達(dá)式中,可將動能分為兩部分,即Tv和Tω,分別表示為分離體質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能,分別由(8)式和(9)式表示:

(8)

(9)

至此系統(tǒng)動能T已變?yōu)橛蓮V義坐標(biāo)qj表示的形式,再將T的廣義坐標(biāo)表達(dá)式代入(1)式后可得:

(10)

分離體的姿態(tài)角和角速度解算采用如下方程：

(11)

式中：

(12)

經(jīng)過上述方程的變換,可化為分離體所受力和力矩與廣義坐標(biāo)的方程。最終可得包含6個(gè)廣義坐標(biāo)的力和力矩的方程組形式如下:

(13)

4 數(shù)值求解及仿真結(jié)果分析

4.1 分離姿態(tài)信息的數(shù)值求解

上節(jié)中得出了微分方程形式的分離體姿態(tài)動力學(xué)方程組,建立了分離體所受力和力矩與分離體的速度、角速度關(guān)系的模型,可以用于分離體由所受力和力矩來計(jì)算和估計(jì)自身的位置信息和姿態(tài)信息。實(shí)際仿真實(shí)驗(yàn)中,由于獲得的數(shù)據(jù)都是隨時(shí)間離散的,求取微分方程(13)的解析解比較困難,故在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之前,需要將(13)式化為以qj為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程組,然后進(jìn)行編程并進(jìn)行離散化數(shù)值仿真。本文仿真程序使用ODE45求解器來求取微分方程的數(shù)值解。ODE45表示采用四階、五階Runge-Kutta單步算法,算法的截?cái)嗾`差為(Δx)3。

本文研究的關(guān)注點(diǎn)在于分離體的姿態(tài)角度和姿態(tài)角速度信息,以廣義坐標(biāo)(q4,q5,q6)為例重點(diǎn)分析(13)式的姿態(tài)變化規(guī)律。多體分離過程中,作用在飛行器頭部分離體的氣動力矩隨分離時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)值如圖2所示,為仿真提供了數(shù)據(jù)輸入。上方的實(shí)線表示分離過程中作用在分離體上的俯仰力矩,下方虛線表示偏航力矩的值。

圖2 分離過程中作用在分離體上的氣動力矩

編寫仿真程序帶入上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并設(shè)定仿真步長為1 ms,對待求的微分方程組進(jìn)行迭代求解。最終得到的結(jié)果包含了分離過程中分離體的姿態(tài)信息。(13)式的位置廣義坐標(biāo)(q1,q2,q3)分析方法與此類似,是以氣動力數(shù)據(jù)為輸入的,其仿真從略。

4.2 仿真及結(jié)果分析

設(shè)定在每個(gè)仿真步長內(nèi),分離過程的力矩值為連續(xù)變化值,在單個(gè)仿真步長內(nèi)不存在力矩的突變。采用ODE45編寫仿真計(jì)算程序。姿態(tài)角相關(guān)的廣義坐標(biāo)(q4,q5,q6)初值均設(shè)為0,對分離體在氣動力矩作用下姿態(tài)角度及角速度的求解進(jìn)行仿真。具體仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 慣性系下姿態(tài)角變化曲線

圖4 機(jī)體坐標(biāo)系下角速度變化曲線

5 結(jié) 論

對于飛行器多體分離過程中有效載荷分離體的運(yùn)動過程,本文采用拉格朗日力學(xué)方法進(jìn)行分析,選取了廣義坐標(biāo),建立了分離體的姿態(tài)動力學(xué)方程,探索了分離體姿態(tài)動力學(xué)方程組的數(shù)值求解方法。本文對推導(dǎo)得出的分離體姿態(tài)動力學(xué)模型進(jìn)行了編程仿真,獲得了慣性系下姿態(tài)角和機(jī)體坐標(biāo)系下角速度的數(shù)值仿真結(jié)果。最后總結(jié)了分離體姿態(tài)角及角速度參數(shù)的變化規(guī)律,為相關(guān)的多體分離系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張科南,李鵬飛,陳萬春,吳頌平. 某飛行器級間分離氣動力/約束力/飛力綜合建模與仿真[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2012, 24(10): 2227-2232

Zhang Kenan, Li Pengfei, Chen Wanchun, Wu Songping. Modeling and Simulation Coupled Aerodynamics, Constraint Force and Flight Dynamics for Stage Separation of Aircraft[J]. Journal of System Simulation, 2012, 24(10): 2227-2232 (in Chinese)

[2] Vera V A. On the Dynamics of a Gyrostat on Lagrangian Equilibria in the Three Body Problem[J]. Multibody Syst Dyn, 2010, 23: 263-291

[3] 張軍,張尚強(qiáng),劉志林. 多星發(fā)射上面級的姿態(tài)解耦控制[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào),2009, 13(1):40-43

Zhang Jun, Zhang Shangqiang, Liu Zhilin. Decoupling Attitude Control of Upper Stage[J]. Electric Machines and Control, 2009, 13(1): 40-43 (in Chinese)

[4] 洪嘉振. 計(jì)算多體系統(tǒng)動力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,1999

Hong Jiazhen. Computational Dynamics of Multibody Systems[M]. Beijing: Higher Education Press,1999 (in Chinese)

[5] 郭俊華. 處理兩體問題的拉格朗日方法實(shí)例分析[J]. 長春師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2013, 32(2):26-28

Guo Junhua．An Analysis of Actual Example to Deal with Two-Particle System by Lagrange Method[J]. Journal of Changchun Normal University, 2013, 32(2): 26-28 (in Chinese)