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      基于MATLAB的MCM對GUM不確定度框架驗(yàn)證

      2014-03-24 01:55:31楊圖強(qiáng)
      關(guān)鍵詞:輸入量輸出量蒙特卡洛

      楊圖強(qiáng)

      (三明市計(jì)量所,福建 三明 365000)

      1 引言

      ISO/IEC GUIDE 98-3:2008《 測 量 不 確定度 第3部分:測量不確定度表示指南》(Uncertainty of measurement-part 3:Guide to the expression of uncertainty in measurement),簡稱GUM。我國在這一最新國際標(biāo)準(zhǔn)和貫徹JJF1059-1999的基礎(chǔ)上,修訂并發(fā)布實(shí)施了JJF1059.1-2012。在日常的不確定度評定中,GUM為主要的評定方法。GUM通過建立輸出量是輸入量的函數(shù)關(guān)系這一測量模型,應(yīng)用不確定傳播率傳播輸入量的最佳估計(jì)值和其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度獲得輸出量的估計(jì)值及其不確定度。但GUM應(yīng)用有一定的局限性和假設(shè)條件,僅當(dāng)假設(shè)輸入量的概率分布呈對稱分布或近似為正態(tài)分布、t分布[1];測量模型為線性模型、可轉(zhuǎn)換為線性模型或可用線性模型近似的模型時(shí)方可采用GUM進(jìn)行評定。

      蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)簡稱MCM,與GUM不同,其評定測量不確定度中,應(yīng)用分布傳播的方式,使用建模階段所提供的信息來確定輸出量的概率密度函數(shù)(PDF)。輸出量的概率密度函數(shù)(PDF)用于獲取輸出量的估計(jì)、標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及給定包含概率下輸出量的包含區(qū)間。MCM尤其適用于不宜對測量模型進(jìn)行線性化等近似場合以及輸出量的概率密度函數(shù)(PDF)較大程度地偏離正態(tài)分布或t分布這兩種情況。2013年6月21日起實(shí)施的JJF1059.2-2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》(Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty)指出MCM的適用范圍比GUM更廣泛,且可用MCM對GUM不確定度框架進(jìn)行驗(yàn)證,并評價(jià)GUM評定的結(jié)果。

      文中以動平衡機(jī)不平衡量校準(zhǔn)中示值的測量不確定度評定為例,運(yùn)用常規(guī)的GUM進(jìn)行不確定度評定,再通過MCM對GUM的不確定度框架進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)合實(shí)例的理論闡述,能給讀者在不確定度框架驗(yàn)證中提供參考和幫助,較快地掌握不確定度框架的驗(yàn)證方法,具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

      2 驗(yàn)證方法及步驟

      2.1 驗(yàn)證方法

      JJF1059.2-2012規(guī)定采用MCM對GUM不確定度框架驗(yàn)證時(shí)采用自適應(yīng)蒙特卡洛法。自適應(yīng)蒙特卡洛法(MCM)的計(jì)算算法在JJF1059.2-2012的4.8.4節(jié)中已有詳細(xì)闡述,在此不做贅述。

      2.2 驗(yàn)證步驟

      (1)運(yùn)用GUM不確定度框架得到輸出量

      (2)運(yùn)用蒙特卡洛法獲得輸出量估計(jì)值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)以及包含區(qū)間的端點(diǎn)值y_low和 y_high;

      (3)確定數(shù)值容差δ;

      (4)通過公式計(jì)算

      3 驗(yàn)證實(shí)例——GUM法

      3.1 數(shù)學(xué)模型

      依據(jù)JJF1151-2006《車輪動平衡機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范》,以AT-7010型車輪動平衡機(jī)現(xiàn)場校準(zhǔn)為例,動平衡校準(zhǔn)示值不確定度的測量模型為:

      3.2 靈敏系數(shù)

      3.3 標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定

      3.3.1 試重標(biāo)稱值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

      試重在使用中按標(biāo)稱值使用,標(biāo)稱值以g為單位,其所引起的極限誤差為0.5g,分布為均勻分布,包含因子,所以其引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

      3.3.2 被檢車輪動平衡機(jī)不平衡量示值引入的

      標(biāo)準(zhǔn)不確定度

      該型被檢車輪動平衡機(jī)不平衡量示值分度值為5g,其所引起的極限誤差為2.5g,分布為均勻分布,包含因子,所以其引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

      3.3.3 被檢車輪動平衡機(jī)不平衡量示值重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

      用一試重為120g的砝碼,對車輪動平衡機(jī)做10次動平衡測試,車輪動平衡機(jī)的不平衡質(zhì)量示值顯示如下:120g, 120g, 125g, 120g, 120g,120g, 120g, 120g, 120g, 120g。

      3.4 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

      3.5 擴(kuò)展不確定度

      則該車輪動平衡機(jī)示值測量修正值的擴(kuò)展不確定度為4.2g,k=1.96。

      4 驗(yàn)證實(shí)例——MCM法

      4.1 數(shù)學(xué)模型

      該例中,用加載試重測試的方式測量不平衡量,屬于直接測量,因此數(shù)學(xué)模型為f=X。此時(shí)應(yīng)考慮,試重自身的誤差以及數(shù)顯分辨力對測量結(jié)果會產(chǎn)生影響,應(yīng)將這些影響補(bǔ)充到數(shù)學(xué)模型中,則數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

      4.2 輸入量PDF設(shè)定

      表1 輸入量及概率密度函數(shù)PDF

      4.3 蒙特卡洛模擬次數(shù)

      4.4 數(shù)值容差δ

      測量不確定度取兩位有效數(shù)字,ndig=2, =-1;因此數(shù)值容差δ=1/2×10-1=0.05。自適應(yīng)蒙特卡洛法建議采用數(shù)值容差為δ/5的結(jié)果,則該實(shí)例在自適應(yīng)蒙特卡洛法中實(shí)際使用的數(shù)值容差為0.01[4]。

      4.5 MCM程序

      MCM程序通過以下步驟實(shí)現(xiàn)概率分布傳播和不確定度評定。

      首先,定義MCM的輸入,選擇合適的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)M,確定與輸出量相關(guān)的輸入量的數(shù)學(xué)模型,并為其設(shè)定PDF(如正態(tài)分布、矩形分布等);

      其次,將MCM進(jìn)行傳播,從輸入量的PDF中抽取M個樣本值,對每個樣本值進(jìn)行計(jì)算,得出輸出量的模型值;

      最后,獲得MCM的輸出,將獲得的輸出量模型值進(jìn)行遞增次序排列,得出輸出量的分布函數(shù)的離散表示G,由該離散表示G計(jì)算估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及在給定包含概率p時(shí)的包含區(qū)間[2]。

      MCM程序流程圖如下圖1所示。

      圖1 MCM程序流程圖

      MCM的matlab程序如下:

      5 驗(yàn)證

      運(yùn)行以上MATLAB程序得出各參數(shù)值如下表2所示。

      表2 MATLAB運(yùn)行結(jié)果

      將GUM的計(jì)算結(jié)果與MCM運(yùn)行結(jié)果匯總?cè)缦卤?所示。

      表3 GUM/MCM的最終結(jié)果

      由以上數(shù)據(jù)得出,MCM對GUM不確定度框架通過了驗(yàn)證,且MCM與GUM兩者評定出的結(jié)果非常接近,達(dá)到預(yù)期。比較結(jié)果有利,GUM不確定度框架適用于此場合及今后足夠類似的情形。

      6 結(jié)束語

      MCM的適用范圍比GUM法更為廣泛,對數(shù)學(xué)模型沒有線性限制,不受輸入量相關(guān)性以及復(fù)雜模型的影響,MCM通過傳播測量模型輸入量的PDF獲得輸出量的PDF,從輸出量的PDF可以清晰地獲得期望、中位數(shù)、位置估計(jì)、標(biāo)準(zhǔn)偏差等較GUM更為豐富的內(nèi)容。MATLAB作為一種可視化的高級編程語言,在MCM評定中能快速自動處理幾何級倍數(shù)的向量、矩陣運(yùn)算,為MCM在實(shí)際中的應(yīng)用提供了可能[5]。在實(shí)際不確定度評定中建議同時(shí)采用GUM和MCM兩種方法,并對結(jié)果進(jìn)行比較。如若比較結(jié)果滿意或通過驗(yàn)證,則GUM適用。否則,應(yīng)采用MCM方法進(jìn)行評定。

      [1]JJF1059.1-2012 測量不確定度評定與表示[S]. 北京:中國質(zhì)檢出版社,2013.

      [2]JJF1059.2-2012 用蒙特卡洛法評定測量不確定度[S].北京:中國質(zhì)檢出版社,2013.

      [3]JJF1151-2006 車輪動平衡機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范[S]. 北京:中國計(jì)量出版社,2006.

      [4]周桃庚.用蒙特卡洛法評定測量不確定度[M].中國質(zhì)檢出版社:北京,2013.

      [5]楊建.蒙特卡羅法評定測量不確定度中相關(guān)隨機(jī)變量的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].計(jì)測技術(shù),2012,32(4):51-54.

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