優(yōu)化目標(biāo)可變的容錯(cuò)三維拓?fù)淇刂扑惴ǎ?/h1>
2014-03-23 06:03:06王東，鄧好
計(jì)算機(jī)工程與科學(xué) 2014年5期
王 東，鄧 好
（湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410082）
1 引言
Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)是指由一組自治無線設(shè)備組成的支持多跳的臨時(shí)性的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)在共享的無線信道上互相通信，無需任何網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施，且具有易于快速部署的特點(diǎn)，使其在應(yīng)急通信、交通管理、現(xiàn)代化生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生、環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。因此，Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)受到了研究人員的廣泛關(guān)注。
無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是基于節(jié)點(diǎn)的物理位置和信號(hào)傳輸范圍自治形成的［1］。在Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中，一方面，節(jié)點(diǎn)的物理位置由任務(wù)需求來確定，另一方面，節(jié)點(diǎn)的信號(hào)傳輸半徑可以根據(jù)需求進(jìn)行調(diào)節(jié)。如果所有節(jié)點(diǎn)都以最大傳輸功率工作，節(jié)點(diǎn)有限的能量將被通信部件快速消耗，造成節(jié)點(diǎn)過早死亡，使得網(wǎng)絡(luò)局部斷開，甚至網(wǎng)絡(luò)不連通；另外，節(jié)點(diǎn)以最大功率傳輸會(huì)使得節(jié)點(diǎn)信號(hào)彼此過度重疊，造成無線信號(hào)互相干擾，影響節(jié)點(diǎn)的通信質(zhì)量，降低網(wǎng)絡(luò)的吞吐率。為了有效解決以上問題，在Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中有必要針對(duì)任務(wù)需求，對(duì)節(jié)點(diǎn)的傳輸功率進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而對(duì)無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)溥M(jìn)行控制。
由于Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)能量受限，節(jié)點(diǎn)工作一段時(shí)間后將會(huì)死亡，另外，任務(wù)需求也可能使節(jié)點(diǎn)發(fā)生移動(dòng)，所以Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)加入和離開網(wǎng)絡(luò)等異動(dòng)情況是經(jīng)常發(fā)生的。節(jié)點(diǎn)的頻繁異動(dòng)使得網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化，從而對(duì)網(wǎng)絡(luò)的性能（如節(jié)點(diǎn)能耗、網(wǎng)絡(luò)傳輸能力等）產(chǎn)生很大的影響。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)的通信場景會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)多個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)通信或部分節(jié)點(diǎn)發(fā)送大量數(shù)據(jù)時(shí)，其信號(hào)不間斷，會(huì)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)造成干擾，造成網(wǎng)絡(luò)通信質(zhì)量下降，此時(shí)降低干擾尤其重要；當(dāng)節(jié)點(diǎn)不同時(shí)通信或節(jié)點(diǎn)發(fā)送數(shù)據(jù)少時(shí)，信號(hào)沖突幾率低，干擾對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響不大，此時(shí)，拓?fù)淇刂苾?yōu)化目標(biāo)應(yīng)該以節(jié)約能量、延長網(wǎng)絡(luò)生命周期為主。因此，如何研究出一種具有較好拓?fù)淙蒎e(cuò)能力，能適應(yīng)實(shí)際通信場景變化，同時(shí)能兼顧其它網(wǎng)絡(luò)性能要求的拓?fù)淇刂扑惴ǔ蔀锳d Hoc網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究的熱點(diǎn)。
本文提出一種適用于三維立體空間、可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)干擾情況調(diào)整優(yōu)化目標(biāo)并且具有較好容錯(cuò)能力的拓?fù)淇刂扑惴ā狾VFSS（Optimization－Variable Fault－tolerant Spanning Subgraph）。
2 相關(guān)工作
早期的拓?fù)淇刂剖峭ㄟ^調(diào)整節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率在保持連通性的同時(shí)達(dá)到節(jié)能的目的，從而延長網(wǎng)絡(luò)生命周期。Chew L P［2］第一次提出了伸展因子的概念，該因子等于通過拓?fù)淇刂萍夹g(shù)調(diào)整后的生成子圖路徑能耗與原圖路徑能耗之比，來描述拓?fù)淇刂浦缶W(wǎng)絡(luò)的能量伸展性。近期，一些研究工作也把注意力放到如何調(diào)節(jié)功率，使網(wǎng)絡(luò)保證連通的情況下同時(shí)滿足能量伸展性。
Wang Y等人［3］最先開始研究如何通過減小節(jié)點(diǎn)的發(fā)送功率來降低網(wǎng)絡(luò)總能耗，并且使調(diào)整后的通信子圖具有能量伸展性。同時(shí)，他們還提出了兩種啟發(fā)式算法，使構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)能耗較低，且滿足能量伸展性等要求。
Shpungin H等人［4］從理論上研究了伸展性問題，他們的目標(biāo)是同時(shí)滿足能量伸展性和距離伸展性。為了能量伸展性，他們提出了一種方法，使調(diào)整后的子網(wǎng)的能量伸展因子為2（即新導(dǎo)出的子圖點(diǎn)對(duì)之間的路徑能耗最多是原圖的2倍），并且得到的子網(wǎng)是強(qiáng)連通的。
Rickenbach P V［5］提出降低網(wǎng)絡(luò)干擾才是無線網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇刂谱钪匾哪繕?biāo)。無線網(wǎng)絡(luò)中的干擾會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)擁塞和數(shù)據(jù)包的重傳，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的生命周期和網(wǎng)絡(luò)的可用性都有很大的影響。
上述工作主要考慮無線網(wǎng)絡(luò)的能量有效性和如何延長網(wǎng)絡(luò)的生命周期問題，而網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)能力也十分重要。無線網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)拓?fù)淇刂浦饕芯咳绾螛?gòu)建k連通的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，即在k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)失效的情況下，網(wǎng)絡(luò)仍然保持連通，相關(guān)的研究有文獻(xiàn)［6～8］。但是，這些研究又缺少對(duì)其他性能的考慮，例如能量有效性等。
在無線網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域，研究的重點(diǎn)集中在節(jié)能、減小干擾、容錯(cuò)等方面。為了簡化算法研究，方便建模，一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)部署在二維平面上。然而，實(shí)際應(yīng)用時(shí)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)一般是分布在三維立體空間里。二維平面圖和三維立體圖在性質(zhì)上有很大的差別，簡單地將三維網(wǎng)絡(luò)映射到二維會(huì)丟失許多幾何性質(zhì)，所以二維場景下設(shè)計(jì)的部分算法無法直接應(yīng)用到三維。為了設(shè)計(jì)出更加真實(shí)、合理有效且可應(yīng)用到實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的拓?fù)淇刂扑惴?，Wang Y等人［9］在三維場景下對(duì)無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淇刂七M(jìn)行研究，他們提出了3D k－RNG、3D k－GG和3D k－YG三種算法，并且證明這些算法都具有一定容錯(cuò)能力，同時(shí)還分別滿足部分網(wǎng)絡(luò)性能指標(biāo)。
由于三維場景的特殊性，針對(duì)三維場景所研究的拓?fù)淇刂扑惴ㄟ€不多，面對(duì)Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)可能部署的復(fù)雜環(huán)境，追求單一優(yōu)化目標(biāo)或是固定優(yōu)化目標(biāo)的算法的實(shí)用性值得懷疑。為了算法的靈活多變性，本文提出一種優(yōu)化目標(biāo)可改變的容錯(cuò)拓?fù)淇刂扑惴ā?/p>
3 數(shù)學(xué)模型
無線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般將其抽象成圖，拓?fù)淇刂萍夹g(shù)通過調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率使得節(jié)點(diǎn)信號(hào)覆蓋范圍變化，影響節(jié)點(diǎn)之間的連通，可以抽象為圖中邊的增刪。需要滿足的網(wǎng)絡(luò)性能要求，例如連通度、容錯(cuò)能力、干擾較小等，都可以抽象為對(duì)圖的性質(zhì)要求，對(duì)應(yīng)為圖的連通度、k連通、點(diǎn)干擾、邊干擾等。
本文研究針對(duì)的是較為真實(shí)的三維應(yīng)用場景，假設(shè)三維的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)分布在一個(gè)三維空間R3上。網(wǎng)絡(luò)用無向圖G＝（V，E）表示，其中，V表示網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)組成的集合，E表示網(wǎng)絡(luò)中所有邊組成的集合。用｜V｜表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)，｜E｜表示網(wǎng)絡(luò)中的邊數(shù)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率都可以設(shè)置為從0到最大值Tmax之間的任意值。每個(gè)節(jié)點(diǎn)均有一個(gè)id號(hào)（IP或者M(jìn)AC地址）。三維Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)的模型是個(gè)單位球UBG（Unit Ball Graph）。當(dāng)且僅當(dāng)u和v之間的歐氏距離dist（u，v）均不大于最大發(fā)射信號(hào)距離r時(shí)，u和v之間存在一條邊。
無線信號(hào)在傳播過程中信號(hào)會(huì)衰減，無線信號(hào)傳播模型決定了節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率和接收功率的關(guān)系。信號(hào)功率的衰減與發(fā)射天線和接收天線之間的距離的β次方成正比［10］，β是一個(gè)常數(shù)，取值范圍由環(huán)境所決定，一般為2～5。β的取值與無線傳播模型相關(guān)，對(duì)于自由空間模型，認(rèn)為無線電波的損耗只和傳播距離和電波頻率有關(guān)系，在給定信號(hào)頻率的時(shí)候，只和距離有關(guān)系。本文研究時(shí)采用該模型，取值β＝2，即給定信號(hào)頻率時(shí)，電波損耗與傳播距離的平方成正比。
對(duì)于節(jié)點(diǎn)集合V中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)u和v，給出節(jié)點(diǎn)傳輸能耗、k連通、點(diǎn)干擾、邊干擾的定義。
定義1 點(diǎn)u是圖G中的一點(diǎn)，拓?fù)淇刂坪?，u的傳輸能耗為該節(jié)點(diǎn)能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離鄰居節(jié)點(diǎn)所需的能耗。
定義2 當(dāng)且僅當(dāng)圖G＝（V，E）中的任意兩點(diǎn)u和v之間存在頂點(diǎn)不相交的k條路徑時(shí)，圖G＝（V，E）是k連通的。也可以理解為，當(dāng)去掉圖G＝（V，E）中k－1個(gè)頂點(diǎn)，圖仍然連通時(shí)，圖G＝（V，E）是k連通的。
節(jié)點(diǎn)之間通信造成的干擾是一種概率性事件，為了能量化網(wǎng)絡(luò)中的干擾，借鑒文獻(xiàn)［11］定義干擾模型。節(jié)點(diǎn)u和v通信時(shí)，若存在節(jié)點(diǎn)w，且該節(jié)點(diǎn)w的發(fā)射區(qū)域覆蓋了u或者v，則w的信號(hào)會(huì)影響u的發(fā)送或者v的接收，此時(shí)就可以理解為w對(duì)u或v造成了干擾。借鑒二維網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)典的干擾模型，本文構(gòu)建一種三維網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)通信干擾模型，定義如下：
定義3 節(jié)點(diǎn)u的干擾值I（u）定義為所有通信范圍覆蓋了節(jié)點(diǎn)u的節(jié)點(diǎn)數(shù)。I（u）＝｛v｜v∈V＼｛u｝，u∈Z（v，rv）｝，這里V表示網(wǎng)絡(luò)圖節(jié)點(diǎn)集合，Z（v，rv）代表以節(jié)點(diǎn)v為中心、rv為半徑的球形通信區(qū)域。
定義4 邊e＝（u，v）的干擾值可以定義為所有通信范圍覆蓋了邊e中節(jié)點(diǎn)u或v的節(jié)點(diǎn)數(shù)。I（e）＝｛w｜u∈Z（w，rw）∪v∈Z（w，rw），e＝（u，v），w∈V｝。
圖1為三維網(wǎng)絡(luò)邊干擾模型示意圖，每個(gè)節(jié)點(diǎn)均以其發(fā)射功率能達(dá)到的通信距離為半徑形成一個(gè)球狀通信區(qū)域，假設(shè)節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v之間存在一條邊，若節(jié)點(diǎn)u或v處于節(jié)點(diǎn)w的通信區(qū)域內(nèi)，認(rèn)為節(jié)點(diǎn)w對(duì)節(jié)點(diǎn)u、v之間的通信邊造成干擾，該邊的邊干擾值加1，以此方法檢查所有鄰居節(jié)點(diǎn)，最終得出該邊的邊干擾值。
Figure 1 Edge interference model in three－dimensional network圖1 三維網(wǎng)絡(luò)邊干擾模型
4 優(yōu)化目標(biāo)可變?nèi)蒎e(cuò)拓?fù)淇刂扑惴?/h2>
實(shí)際應(yīng)用的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇刂扑惴ㄐ枰C合考慮多個(gè)優(yōu)化因素。以往的算法考慮多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，由于各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)（例如網(wǎng)絡(luò)干擾和能耗）可能是互相矛盾的，一般在各項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)性能指標(biāo)中取一個(gè)折衷值，部分優(yōu)化干擾和部分優(yōu)化能耗，是一種非最優(yōu)化的靜態(tài)平衡。實(shí)際情況下，網(wǎng)絡(luò)通信狀態(tài)是變化的，某時(shí)刻可能大量節(jié)點(diǎn)同時(shí)通信或部分節(jié)點(diǎn)發(fā)送大量數(shù)據(jù)，其信號(hào)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)造成干擾，也可能某時(shí)刻節(jié)點(diǎn)處于監(jiān)聽狀態(tài)，偶爾發(fā)送數(shù)據(jù)，彼此信號(hào)沖突較小，干擾較小。靜態(tài)優(yōu)化并不能適應(yīng)這種變化情況，無法將優(yōu)化目標(biāo)最大化。針對(duì)應(yīng)用場景通信環(huán)境信號(hào)干擾強(qiáng)烈程度多變的情況，提出一種優(yōu)化目標(biāo)可變的容錯(cuò)拓?fù)淇刂扑惴∣VFSS，在保證網(wǎng)絡(luò)k連通的前提下，根據(jù)節(jié)點(diǎn)通信情況判斷網(wǎng)絡(luò)所處情況，選擇合適的參數(shù)，進(jìn)行有針對(duì)性的目標(biāo)優(yōu)化。算法的具體思想是，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)通信情況，適當(dāng)選擇重點(diǎn)優(yōu)化的目標(biāo)。在干擾影響較大時(shí)優(yōu)先減小干擾，保證網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用能有效實(shí)施；在干擾影響較小時(shí)，不考慮干擾，優(yōu)先降低能耗，以便延長網(wǎng)絡(luò)生命周期。
文獻(xiàn)［11］通過對(duì)干擾進(jìn)行建模，將概率性事件進(jìn)行量化。同樣的路由算法下，當(dāng)節(jié)點(diǎn)同時(shí)通信或部分節(jié)點(diǎn)發(fā)送大量數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)沖突加劇，丟包、重傳次數(shù)會(huì)上升，此時(shí)干擾對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響較大；當(dāng)節(jié)點(diǎn)不同時(shí)通信或節(jié)點(diǎn)發(fā)送數(shù)據(jù)小，彼此信號(hào)沖突概率低時(shí)，丟包、重傳次數(shù)會(huì)較小，此時(shí)干擾對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響較小。本文假設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)備硬件和協(xié)議能通過重傳、丟包等數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，判斷網(wǎng)絡(luò)的干擾影響程度，干擾影響大時(shí)設(shè)置參數(shù)s＝1，干擾影響小時(shí)設(shè)置參數(shù)為s＝0。
為了減小網(wǎng)絡(luò)中的干擾，可將邊權(quán)值改為邊干擾值，但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，如圖2所示I（A，B）＝I（A，C）＝3，但此時(shí)鄰居節(jié)點(diǎn)距離不相同，圖2中可見，dist（A，B）＞dist（A，C），即單一考慮將邊權(quán)值改為邊干擾值考慮不周全。
Figure 2 The case of same edge interference but different distances圖2 邊干擾相同距離不同情況
為此，OVFSS算法將綜合考慮干擾和距離能耗等因素，定義邊權(quán)值如下：
權(quán)值公式由兩部分組成，第一部分是干擾影響值，第二部分是規(guī)格化后的距離影響值。s＝1時(shí)，權(quán)值公式主要由邊干擾I（u，v）決定，同時(shí)規(guī)格化距離值能保證在節(jié)點(diǎn)干擾度相同的情況下，距離小的邊權(quán)值較?。籹＝0時(shí)，即干擾較小時(shí)，邊干擾不納入考慮，由規(guī)格化距離值決定權(quán)值，最大化地實(shí)現(xiàn)節(jié)能優(yōu)化的目標(biāo)。
要注意的是，尋找最小能耗生成子圖已被證明是NP難問題，本算法考慮容錯(cuò)和多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)該問題顯然也是NP難問題。
OVFSS算法根據(jù)邊權(quán)值公式對(duì)圖中所有的邊的權(quán)重進(jìn)行計(jì)算，然后按照邊權(quán)值升序排列。根據(jù)得到的邊權(quán)值，基于貪婪算法計(jì)算一個(gè)干擾最小的或能耗最小的k連通圖。為保證貪婪算法是唯一結(jié)果，假設(shè)不相同的節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的邊權(quán)值沒有相同的。算法的偽代碼如下：
算法1 OVFSS
輸入：具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)集和連通度k（k≥1）。
輸出：k連通的干擾最小或能耗最小的子圖。
1：初始化原圖G＝（V，E）。
2：計(jì)算G中每條邊的邊權(quán)值W＝s×I＋dist/r。
3：將所有的邊按照邊權(quán)值升序排列。
4：初始化子圖GOVFSS＝（V，EOVFSS＝?）。
5：對(duì)于圖中的每條邊e＝（u，v）。
6： 如果GOVFSS中u和v之間不是k連通
7： 添加該邊到邊集合中EOVFSS＝EOVFSS∪｛e｝；
9： 如果所有節(jié)點(diǎn)之間均是k連通
10： 退出，算法結(jié)束
當(dāng)s＝0時(shí)，權(quán)值由距離決定，算法等價(jià)于Kruskal算法［12］的一種擴(kuò)展版。該算法在保證容錯(cuò)的前提下，選取距離最短邊以尋求節(jié)能優(yōu)化，其干擾優(yōu)化能力不強(qiáng)（本身就是在干擾較小的情況下才選擇該算法）。
當(dāng)s＝1時(shí)，邊干擾值起決定作用，算法以干擾優(yōu)化能力為主，同時(shí)兼顧選取距離較短、能耗較低的邊，算法的優(yōu)勢體現(xiàn)明顯。
下面對(duì)算法的正確性給出證明，即證明算法保證網(wǎng)絡(luò)k連通的情況下優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)干擾，使其干擾最小化，并同時(shí)考慮了節(jié)能。為了方便證明，本文采用以下術(shù)語：
G代表初始的拓?fù)鋱D，G′代表算法優(yōu)化后最終的拓?fù)鋱D。Path（u，w1，w2，…，wn，v）表示從節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v的路徑，其中w1，w2，…，wn代表路徑經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)。Suv（G）代表無向圖G中節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v之間的所有不相交的路徑數(shù)。
引理1 設(shè)u1和u2是k連通無向圖G中兩節(jié)點(diǎn)，如果u1和u2間存在邊（u1，u2），并且在圖G中移除邊（u1，u2）后，u1和u2之間仍然是k連通，那么G－（u1，u2）仍然是k連通的。
證明 要證明G－（u1，u2）是k連通的，等價(jià)于證明G′＝G－（u1，u2）中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后，圖G′仍然是連通的。不失一般性，假設(shè)｛u1，u2｝∩｛v1，v2｝＝?。如果能夠證明在圖G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后，任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)v1、v2仍然連通，那么就可以證明G′是k連通的。
(4) 交通銜接條件：站點(diǎn)周邊地區(qū)的交通可達(dá)性以及車站接駁體系的成熟程度，是制約客流的主要因素。本文主要選取車站周邊道路網(wǎng)密度、人行道面積率、出入口周邊機(jī)動(dòng)車及自行車停放場地面積、公交車站經(jīng)停線路數(shù)等指標(biāo)，經(jīng)過同等權(quán)重的無量綱化處理得到交通銜接水平評(píng)價(jià)值。
（1）如果v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在原圖G中直接相連，因?yàn)樵瓐DG是k連通的，那么很顯然在圖G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后，節(jié)點(diǎn)v1、v2仍然是連通的。
（2）如果v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在原圖G中并沒有邊相連。假設(shè)圖G″為G′－（k－1）個(gè)節(jié)點(diǎn)后的圖。S1表示在G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后Sv1v2（G′）中斷開的路徑數(shù)。因?yàn)镾v1v2（G′）是圖G′中v1、v2兩節(jié)點(diǎn)的不相交的路徑數(shù)，所以在圖G′中移除k－1個(gè)最多斷開k－1條v1、v2節(jié)點(diǎn)間的路徑，因此S1≤k－1。
①如果Sv1v2（G′）≥k，那么Sv1v2（G″）≥Sv1v2（G′）－S1≥k－（k－1）≥1。所以，在圖G″中，v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是連通的。
②如果Sv1v2（G′）＜k，這種情況只可能是在原圖G中刪除邊（u1，u2）的時(shí)候斷開了節(jié)點(diǎn)v1和v2之間的一條路徑。所以，可以得到Sv1v2（G′）＝k－1?，F(xiàn)在再考慮在圖G′中刪除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后的兩種情況。
a如果S1＜k－1，那么Sv1v2（G″）≥Sv1v2（G′）－S1≥1，即節(jié)點(diǎn)v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是連通的。
b如果S1＝k－1，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)間的路徑都是不相交的，S1＝k－1這種情況唯一的出現(xiàn)場景為v1與u1直接相連，v2和u2直接相連。用S2表示在G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后Su1u2（G′）中斷開的路徑數(shù)，由命題題意可知Su1u2（G′）≥k，并且很容易知道S2≤k－1，這也就證明了在G″中u1和u2是連通的，又因?yàn)関1、v2分別與u1、u2相連，所以v1，v2是連通的。
綜上可得，G′是k連通的，因此G－（u1，u2）是k連通的。證畢?！?/p>
引理2 假設(shè)無向圖H和H′滿足條件V（H）＝V（H′）。如果H是k連通的，并且每條邊（u，v）∈E（H）－E（H′）在圖G－｛（u0，v0）∈E（H）：W（u0，v0）≥W（u，v）｝中都是k連通的，那么H′也是k連通的。
證明 用集合E＝E（H）－E（H′）＝｛（u1，v1），（u2，v2），…，（um，vm）｝表示在圖H中出現(xiàn)且在圖H′沒有出現(xiàn)的邊集，且W（u1，v1）＞W(wǎng)（u2，v2）＞…＞W(wǎng)（um，vm）。同時(shí)定義一系列原圖H的子圖Hi：H0＝H，Hi＝Hi－1－（ui，vi）。下面用歸納法來證明：
（1）H0＝H，所以H0是k連通的。
（2）如果Hi－1是k連通的，那么應(yīng)用引理1可得Hi是k連通的。所以，可以得到Hm是k連通的。
因?yàn)镋（Hm）?E（H′），所以H′也是k連通的。證畢?！?/p>
定理1 G′是k連通的。
證明 在OVFSS算法中，所有的邊都是按非遞減順序排列的，而且沒有加入圖G′中的邊唯一的條件就是這條邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間已經(jīng)是k連通的。應(yīng)用引理2可以得到圖G′是k連通的。證畢?！?/p>
定理2 優(yōu)化干擾時(shí)，G′是一個(gè)干擾最小的k連通圖。
證明 s＝1時(shí)，權(quán)值公式主要由邊干擾值確定，邊權(quán)值可以近似為邊干擾值，用Sk（G）代表圖G的所有k連通子圖。如果G是k連通的，根據(jù)定理1，可得G′也是k連通的。假設(shè)邊（u，v）是OVFSS算法中最后加入圖G′的一條邊。那么可以知道I（u，v）＝Max（u0，v0∈E（G′）｛I（u0，v0）＜I（u，v）｝，即I（u，v）的干擾值比已經(jīng)加入到圖G′中的任何一條邊的干擾值都大。設(shè)G2＝G′－（u，v），因此在圖G2中節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v之間的不相交路徑數(shù)是小于k的，否則OVFSS算法不會(huì)將邊（u，v）加入到圖G′中。用圖C＝（V（C），E（C）），這里V（C）＝V（G），E（C）＝｛（u0，v0）∈E（G）：I（u0，v0）＜I（u，v）｝。如果可以證明C并不是k連通，那就可以說在圖G的任何一個(gè)k連通子圖中都存在一條邊的干擾值大于I（u，v），這也證明了G′是干擾最小的k連通子圖。
用反證法證明C不是k連通的。假設(shè)C是k連通的，因此Suv（C）≥k。那么E（C）?E（G2）；否則，｜Suv（G2）｜≥｜Suv（C）｜≥k，與前段中G2的定義矛盾。因此，E0＝E（C）－E（G2）≠?。因?yàn)樗械倪叾际前锤蓴_值非遞減順序加入到圖G′中的，所以有?（u1，v1）∈E0都滿足u1和v1在圖C－｛（u0，v0）∈E（C）：I（u0，v0）≥I（u1，v1）｝中是k連通的。由引理2可得，當(dāng)把E0中的所有邊都刪除后，節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v之間仍然是k連通的，也就是說｜Suv（G2）｜≥k，而這與G2的定義是矛盾的。所以，由OVFSS算法得到的G′是原圖G的干擾最小k連通子圖。證畢?！?/p>
定理2證明了圖G′是干擾最小的k連通圖，在權(quán)值公式里，在干擾相同的情況下，選取邊長更短的邊，兼顧節(jié)能，以延長網(wǎng)絡(luò)生命周期。在干擾較小時(shí)，權(quán)值公式改為由能耗決定邊權(quán)值，此時(shí)通過類似定理2的證明過程可以得出，優(yōu)化能耗時(shí)G′是一個(gè)能耗最小的k連通圖。
5 仿真實(shí)驗(yàn)
考慮到3D k－GG算法和3D k－YG算法解決的問題與本文研究問題最為接近且是本領(lǐng)域具有代表性的算法，下面對(duì)OVFSS算法、3D k－GG算法和3D k－YG算法在干擾優(yōu)化方面進(jìn)行比較。
實(shí)驗(yàn)場景［8］為20×20×20的三維空間，節(jié)點(diǎn)的最大發(fā)射功率為9，節(jié)點(diǎn)數(shù)從50到175遞增，β值取2。實(shí)驗(yàn)分別比較了干擾較強(qiáng)（s＝1）時(shí)不同容錯(cuò)度k＝1，k＝2和k＝3三種情況下，三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ母蓴_優(yōu)化效果。當(dāng)容錯(cuò)度k取1、2、3三個(gè)不同值時(shí)，仿真結(jié)果都是一致的：OVFSS算法降低網(wǎng)絡(luò)干擾的能力都是優(yōu)于其它兩種拓?fù)淇刂扑惴?。這里只給出k＝3時(shí)（容錯(cuò)能力度量值）三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ姆抡娼Y(jié)果。
Figure 3 Comparison of node interference among OVFSS，3D k－GG and 3D k－YG topology subgraph圖3 OVFSS、3D k－GG和3D k－YG生成的拓?fù)鋱D節(jié)點(diǎn)干擾比較
由圖3可知，OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的最大節(jié)點(diǎn)干擾和平均節(jié)點(diǎn)干擾值都是最小的，相對(duì)于原圖UBG來說，OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于UBG圖中的點(diǎn)干擾值，也同樣小于其它三種拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值。3D k－GG算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值要小于3D k－YG算法生成的拓?fù)鋱D中的點(diǎn)干擾值。3D k－YG算法生成的拓?fù)鋱D中的點(diǎn)干擾值相對(duì)于原圖UBG來說還是有一定程度的減少。而且隨著網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，原圖UBG和3D k－YG算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值會(huì)線性增長，而OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值維持在一個(gè)較小的定值左右，并不會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而增大。
由圖4可知，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，3D k－GG算法與OVFSS算法都可以有效地調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率，使得網(wǎng)絡(luò)在保證k容錯(cuò)的同時(shí)，最小化網(wǎng)絡(luò)中的干擾。OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的邊干擾值是最低的，遠(yuǎn)低于其它三種算法生成的拓?fù)鋱D中的干擾值。而且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，這一結(jié)果更加明顯。
以上仿真結(jié)果表明，在三維空間網(wǎng)絡(luò)中OVFSS拓?fù)淇刂扑惴ǖ母蓴_優(yōu)化效果都是較好的。
下面對(duì)OVFSS算法、3D k－GG算法和3D k－YG算法在能耗優(yōu)化方面進(jìn)行比較。
Figure 4 Comparison of edge interference among OVFSS，3D k－GG and 3D k－YG topology subgraph圖4 OVFSS、3D k－GG和3D k－YG生成的拓?fù)鋱D邊干擾比較
實(shí)驗(yàn)場景［8］為20×20×20的三維空間，節(jié)點(diǎn)的最大發(fā)射功率為9，節(jié)點(diǎn)數(shù)從50到175遞增，β值取2。實(shí)驗(yàn)分別比較了干擾較弱（s＝0）時(shí)不同容錯(cuò)度k＝1，k＝2和k＝3三種情況下，三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ哪芎膬?yōu)化效果。當(dāng)容錯(cuò)度k取1、2、3三個(gè)不同值時(shí)，仿真結(jié)果都是一致的：OVFSS算法降低節(jié)點(diǎn)能耗的能力都是優(yōu)于其它兩種拓?fù)淇刂扑惴?。這里只給出k＝3時(shí)三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ姆抡娼Y(jié)果。
由圖5可知，在同樣大小的區(qū)域內(nèi)，隨著網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部署的節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)密集程度上升，由于采用多跳短距離通信代替長距離通信，節(jié)點(diǎn)可以使用更小的傳輸功率來發(fā)送信息給鄰居節(jié)點(diǎn)，再由鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)發(fā)，3D k－GG、3D k－YG、OVFSS算法都能有效地調(diào)整節(jié)點(diǎn)傳輸功率，保證網(wǎng)絡(luò)在k連通，并且在節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同時(shí)，OVFSS算法在減小能耗方面要比其他兩個(gè)拓?fù)淇刂扑惴ㄐЧ谩?/p>
6 結(jié)束語
Figure 5 Comparison of node transmission power among OVFSS，3D k－GG and 3D k－YG topology subgraph圖5 OVFSS、3D k－GG和3D k－YG生成的拓?fù)鋱D節(jié)點(diǎn)傳輸功率比較
本文針對(duì)Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)可能應(yīng)用在通信環(huán)境發(fā)生變化的場景，提出了一種更加真實(shí)的三維場景下優(yōu)化目標(biāo)可變的、保證k連通的容錯(cuò)拓?fù)淇刂扑惴ǎ诟蓴_較強(qiáng)時(shí)，降低干擾并盡量節(jié)能；干擾較小時(shí)，重點(diǎn)考慮節(jié)能。并證明了該算法得到的通信子圖干擾最小，并保證k連通。真實(shí)應(yīng)用場景通信環(huán)境復(fù)雜，優(yōu)化目標(biāo)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)該變化，需要綜合考慮干擾優(yōu)化，根據(jù)剩余能耗選擇鏈路、網(wǎng)絡(luò)容錯(cuò)性能、應(yīng)用服務(wù)質(zhì)量QoS（Quality of Service）保證等諸多問題，如何更加全面、合理地設(shè)置各部分影響因素對(duì)算法的影響需要進(jìn)一步研究。
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附中文參考文獻(xiàn)：
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王 東，鄧 好
（湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410082）
1 引言
Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)是指由一組自治無線設(shè)備組成的支持多跳的臨時(shí)性的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點(diǎn)在共享的無線信道上互相通信，無需任何網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施，且具有易于快速部署的特點(diǎn)，使其在應(yīng)急通信、交通管理、現(xiàn)代化生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生、環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。因此，Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)受到了研究人員的廣泛關(guān)注。
無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是基于節(jié)點(diǎn)的物理位置和信號(hào)傳輸范圍自治形成的［1］。在Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中，一方面，節(jié)點(diǎn)的物理位置由任務(wù)需求來確定，另一方面，節(jié)點(diǎn)的信號(hào)傳輸半徑可以根據(jù)需求進(jìn)行調(diào)節(jié)。如果所有節(jié)點(diǎn)都以最大傳輸功率工作，節(jié)點(diǎn)有限的能量將被通信部件快速消耗，造成節(jié)點(diǎn)過早死亡，使得網(wǎng)絡(luò)局部斷開，甚至網(wǎng)絡(luò)不連通；另外，節(jié)點(diǎn)以最大功率傳輸會(huì)使得節(jié)點(diǎn)信號(hào)彼此過度重疊，造成無線信號(hào)互相干擾，影響節(jié)點(diǎn)的通信質(zhì)量，降低網(wǎng)絡(luò)的吞吐率。為了有效解決以上問題，在Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中有必要針對(duì)任務(wù)需求，對(duì)節(jié)點(diǎn)的傳輸功率進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而對(duì)無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)溥M(jìn)行控制。
由于Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)能量受限，節(jié)點(diǎn)工作一段時(shí)間后將會(huì)死亡，另外，任務(wù)需求也可能使節(jié)點(diǎn)發(fā)生移動(dòng)，所以Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)加入和離開網(wǎng)絡(luò)等異動(dòng)情況是經(jīng)常發(fā)生的。節(jié)點(diǎn)的頻繁異動(dòng)使得網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化，從而對(duì)網(wǎng)絡(luò)的性能（如節(jié)點(diǎn)能耗、網(wǎng)絡(luò)傳輸能力等）產(chǎn)生很大的影響。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)的通信場景會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)多個(gè)節(jié)點(diǎn)同時(shí)通信或部分節(jié)點(diǎn)發(fā)送大量數(shù)據(jù)時(shí)，其信號(hào)不間斷，會(huì)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)造成干擾，造成網(wǎng)絡(luò)通信質(zhì)量下降，此時(shí)降低干擾尤其重要；當(dāng)節(jié)點(diǎn)不同時(shí)通信或節(jié)點(diǎn)發(fā)送數(shù)據(jù)少時(shí)，信號(hào)沖突幾率低，干擾對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響不大，此時(shí)，拓?fù)淇刂苾?yōu)化目標(biāo)應(yīng)該以節(jié)約能量、延長網(wǎng)絡(luò)生命周期為主。因此，如何研究出一種具有較好拓?fù)淙蒎e(cuò)能力，能適應(yīng)實(shí)際通信場景變化，同時(shí)能兼顧其它網(wǎng)絡(luò)性能要求的拓?fù)淇刂扑惴ǔ蔀锳d Hoc網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究的熱點(diǎn)。
本文提出一種適用于三維立體空間、可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)干擾情況調(diào)整優(yōu)化目標(biāo)并且具有較好容錯(cuò)能力的拓?fù)淇刂扑惴ā狾VFSS（Optimization－Variable Fault－tolerant Spanning Subgraph）。
2 相關(guān)工作
早期的拓?fù)淇刂剖峭ㄟ^調(diào)整節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率在保持連通性的同時(shí)達(dá)到節(jié)能的目的，從而延長網(wǎng)絡(luò)生命周期。Chew L P［2］第一次提出了伸展因子的概念，該因子等于通過拓?fù)淇刂萍夹g(shù)調(diào)整后的生成子圖路徑能耗與原圖路徑能耗之比，來描述拓?fù)淇刂浦缶W(wǎng)絡(luò)的能量伸展性。近期，一些研究工作也把注意力放到如何調(diào)節(jié)功率，使網(wǎng)絡(luò)保證連通的情況下同時(shí)滿足能量伸展性。
Wang Y等人［3］最先開始研究如何通過減小節(jié)點(diǎn)的發(fā)送功率來降低網(wǎng)絡(luò)總能耗，并且使調(diào)整后的通信子圖具有能量伸展性。同時(shí)，他們還提出了兩種啟發(fā)式算法，使構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)能耗較低，且滿足能量伸展性等要求。
Shpungin H等人［4］從理論上研究了伸展性問題，他們的目標(biāo)是同時(shí)滿足能量伸展性和距離伸展性。為了能量伸展性，他們提出了一種方法，使調(diào)整后的子網(wǎng)的能量伸展因子為2（即新導(dǎo)出的子圖點(diǎn)對(duì)之間的路徑能耗最多是原圖的2倍），并且得到的子網(wǎng)是強(qiáng)連通的。
Rickenbach P V［5］提出降低網(wǎng)絡(luò)干擾才是無線網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇刂谱钪匾哪繕?biāo)。無線網(wǎng)絡(luò)中的干擾會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)擁塞和數(shù)據(jù)包的重傳，對(duì)網(wǎng)絡(luò)的生命周期和網(wǎng)絡(luò)的可用性都有很大的影響。
上述工作主要考慮無線網(wǎng)絡(luò)的能量有效性和如何延長網(wǎng)絡(luò)的生命周期問題，而網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)能力也十分重要。無線網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)拓?fù)淇刂浦饕芯咳绾螛?gòu)建k連通的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，即在k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)失效的情況下，網(wǎng)絡(luò)仍然保持連通，相關(guān)的研究有文獻(xiàn)［6～8］。但是，這些研究又缺少對(duì)其他性能的考慮，例如能量有效性等。
在無線網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域，研究的重點(diǎn)集中在節(jié)能、減小干擾、容錯(cuò)等方面。為了簡化算法研究，方便建模，一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)部署在二維平面上。然而，實(shí)際應(yīng)用時(shí)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)一般是分布在三維立體空間里。二維平面圖和三維立體圖在性質(zhì)上有很大的差別，簡單地將三維網(wǎng)絡(luò)映射到二維會(huì)丟失許多幾何性質(zhì)，所以二維場景下設(shè)計(jì)的部分算法無法直接應(yīng)用到三維。為了設(shè)計(jì)出更加真實(shí)、合理有效且可應(yīng)用到實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的拓?fù)淇刂扑惴?，Wang Y等人［9］在三維場景下對(duì)無線網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淇刂七M(jìn)行研究，他們提出了3D k－RNG、3D k－GG和3D k－YG三種算法，并且證明這些算法都具有一定容錯(cuò)能力，同時(shí)還分別滿足部分網(wǎng)絡(luò)性能指標(biāo)。
由于三維場景的特殊性，針對(duì)三維場景所研究的拓?fù)淇刂扑惴ㄟ€不多，面對(duì)Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)可能部署的復(fù)雜環(huán)境，追求單一優(yōu)化目標(biāo)或是固定優(yōu)化目標(biāo)的算法的實(shí)用性值得懷疑。為了算法的靈活多變性，本文提出一種優(yōu)化目標(biāo)可改變的容錯(cuò)拓?fù)淇刂扑惴ā?/p>
3 數(shù)學(xué)模型
無線網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般將其抽象成圖，拓?fù)淇刂萍夹g(shù)通過調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率使得節(jié)點(diǎn)信號(hào)覆蓋范圍變化，影響節(jié)點(diǎn)之間的連通，可以抽象為圖中邊的增刪。需要滿足的網(wǎng)絡(luò)性能要求，例如連通度、容錯(cuò)能力、干擾較小等，都可以抽象為對(duì)圖的性質(zhì)要求，對(duì)應(yīng)為圖的連通度、k連通、點(diǎn)干擾、邊干擾等。
本文研究針對(duì)的是較為真實(shí)的三維應(yīng)用場景，假設(shè)三維的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)分布在一個(gè)三維空間R3上。網(wǎng)絡(luò)用無向圖G＝（V，E）表示，其中，V表示網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)組成的集合，E表示網(wǎng)絡(luò)中所有邊組成的集合。用｜V｜表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)，｜E｜表示網(wǎng)絡(luò)中的邊數(shù)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率都可以設(shè)置為從0到最大值Tmax之間的任意值。每個(gè)節(jié)點(diǎn)均有一個(gè)id號(hào)（IP或者M(jìn)AC地址）。三維Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)的模型是個(gè)單位球UBG（Unit Ball Graph）。當(dāng)且僅當(dāng)u和v之間的歐氏距離dist（u，v）均不大于最大發(fā)射信號(hào)距離r時(shí)，u和v之間存在一條邊。
無線信號(hào)在傳播過程中信號(hào)會(huì)衰減，無線信號(hào)傳播模型決定了節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率和接收功率的關(guān)系。信號(hào)功率的衰減與發(fā)射天線和接收天線之間的距離的β次方成正比［10］，β是一個(gè)常數(shù)，取值范圍由環(huán)境所決定，一般為2～5。β的取值與無線傳播模型相關(guān)，對(duì)于自由空間模型，認(rèn)為無線電波的損耗只和傳播距離和電波頻率有關(guān)系，在給定信號(hào)頻率的時(shí)候，只和距離有關(guān)系。本文研究時(shí)采用該模型，取值β＝2，即給定信號(hào)頻率時(shí)，電波損耗與傳播距離的平方成正比。
對(duì)于節(jié)點(diǎn)集合V中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)u和v，給出節(jié)點(diǎn)傳輸能耗、k連通、點(diǎn)干擾、邊干擾的定義。
定義1 點(diǎn)u是圖G中的一點(diǎn)，拓?fù)淇刂坪?，u的傳輸能耗為該節(jié)點(diǎn)能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離鄰居節(jié)點(diǎn)所需的能耗。
定義2 當(dāng)且僅當(dāng)圖G＝（V，E）中的任意兩點(diǎn)u和v之間存在頂點(diǎn)不相交的k條路徑時(shí)，圖G＝（V，E）是k連通的。也可以理解為，當(dāng)去掉圖G＝（V，E）中k－1個(gè)頂點(diǎn)，圖仍然連通時(shí)，圖G＝（V，E）是k連通的。
節(jié)點(diǎn)之間通信造成的干擾是一種概率性事件，為了能量化網(wǎng)絡(luò)中的干擾，借鑒文獻(xiàn)［11］定義干擾模型。節(jié)點(diǎn)u和v通信時(shí)，若存在節(jié)點(diǎn)w，且該節(jié)點(diǎn)w的發(fā)射區(qū)域覆蓋了u或者v，則w的信號(hào)會(huì)影響u的發(fā)送或者v的接收，此時(shí)就可以理解為w對(duì)u或v造成了干擾。借鑒二維網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)典的干擾模型，本文構(gòu)建一種三維網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)通信干擾模型，定義如下：
定義3 節(jié)點(diǎn)u的干擾值I（u）定義為所有通信范圍覆蓋了節(jié)點(diǎn)u的節(jié)點(diǎn)數(shù)。I（u）＝｛v｜v∈V＼｛u｝，u∈Z（v，rv）｝，這里V表示網(wǎng)絡(luò)圖節(jié)點(diǎn)集合，Z（v，rv）代表以節(jié)點(diǎn)v為中心、rv為半徑的球形通信區(qū)域。
定義4 邊e＝（u，v）的干擾值可以定義為所有通信范圍覆蓋了邊e中節(jié)點(diǎn)u或v的節(jié)點(diǎn)數(shù)。I（e）＝｛w｜u∈Z（w，rw）∪v∈Z（w，rw），e＝（u，v），w∈V｝。
圖1為三維網(wǎng)絡(luò)邊干擾模型示意圖，每個(gè)節(jié)點(diǎn)均以其發(fā)射功率能達(dá)到的通信距離為半徑形成一個(gè)球狀通信區(qū)域，假設(shè)節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v之間存在一條邊，若節(jié)點(diǎn)u或v處于節(jié)點(diǎn)w的通信區(qū)域內(nèi)，認(rèn)為節(jié)點(diǎn)w對(duì)節(jié)點(diǎn)u、v之間的通信邊造成干擾，該邊的邊干擾值加1，以此方法檢查所有鄰居節(jié)點(diǎn)，最終得出該邊的邊干擾值。
Figure 1 Edge interference model in three－dimensional network圖1 三維網(wǎng)絡(luò)邊干擾模型
4 優(yōu)化目標(biāo)可變?nèi)蒎e(cuò)拓?fù)淇刂扑惴?/h2>
實(shí)際應(yīng)用的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淇刂扑惴ㄐ枰C合考慮多個(gè)優(yōu)化因素。以往的算法考慮多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，由于各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)（例如網(wǎng)絡(luò)干擾和能耗）可能是互相矛盾的，一般在各項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)性能指標(biāo)中取一個(gè)折衷值，部分優(yōu)化干擾和部分優(yōu)化能耗，是一種非最優(yōu)化的靜態(tài)平衡。實(shí)際情況下，網(wǎng)絡(luò)通信狀態(tài)是變化的，某時(shí)刻可能大量節(jié)點(diǎn)同時(shí)通信或部分節(jié)點(diǎn)發(fā)送大量數(shù)據(jù)，其信號(hào)對(duì)其他節(jié)點(diǎn)造成干擾，也可能某時(shí)刻節(jié)點(diǎn)處于監(jiān)聽狀態(tài)，偶爾發(fā)送數(shù)據(jù)，彼此信號(hào)沖突較小，干擾較小。靜態(tài)優(yōu)化并不能適應(yīng)這種變化情況，無法將優(yōu)化目標(biāo)最大化。針對(duì)應(yīng)用場景通信環(huán)境信號(hào)干擾強(qiáng)烈程度多變的情況，提出一種優(yōu)化目標(biāo)可變的容錯(cuò)拓?fù)淇刂扑惴∣VFSS，在保證網(wǎng)絡(luò)k連通的前提下，根據(jù)節(jié)點(diǎn)通信情況判斷網(wǎng)絡(luò)所處情況，選擇合適的參數(shù)，進(jìn)行有針對(duì)性的目標(biāo)優(yōu)化。算法的具體思想是，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)通信情況，適當(dāng)選擇重點(diǎn)優(yōu)化的目標(biāo)。在干擾影響較大時(shí)優(yōu)先減小干擾，保證網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用能有效實(shí)施；在干擾影響較小時(shí)，不考慮干擾，優(yōu)先降低能耗，以便延長網(wǎng)絡(luò)生命周期。
文獻(xiàn)［11］通過對(duì)干擾進(jìn)行建模，將概率性事件進(jìn)行量化。同樣的路由算法下，當(dāng)節(jié)點(diǎn)同時(shí)通信或部分節(jié)點(diǎn)發(fā)送大量數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)沖突加劇，丟包、重傳次數(shù)會(huì)上升，此時(shí)干擾對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響較大；當(dāng)節(jié)點(diǎn)不同時(shí)通信或節(jié)點(diǎn)發(fā)送數(shù)據(jù)小，彼此信號(hào)沖突概率低時(shí)，丟包、重傳次數(shù)會(huì)較小，此時(shí)干擾對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響較小。本文假設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)備硬件和協(xié)議能通過重傳、丟包等數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，判斷網(wǎng)絡(luò)的干擾影響程度，干擾影響大時(shí)設(shè)置參數(shù)s＝1，干擾影響小時(shí)設(shè)置參數(shù)為s＝0。
為了減小網(wǎng)絡(luò)中的干擾，可將邊權(quán)值改為邊干擾值，但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，如圖2所示I（A，B）＝I（A，C）＝3，但此時(shí)鄰居節(jié)點(diǎn)距離不相同，圖2中可見，dist（A，B）＞dist（A，C），即單一考慮將邊權(quán)值改為邊干擾值考慮不周全。
Figure 2 The case of same edge interference but different distances圖2 邊干擾相同距離不同情況
為此，OVFSS算法將綜合考慮干擾和距離能耗等因素，定義邊權(quán)值如下：
權(quán)值公式由兩部分組成，第一部分是干擾影響值，第二部分是規(guī)格化后的距離影響值。s＝1時(shí)，權(quán)值公式主要由邊干擾I（u，v）決定，同時(shí)規(guī)格化距離值能保證在節(jié)點(diǎn)干擾度相同的情況下，距離小的邊權(quán)值較?。籹＝0時(shí)，即干擾較小時(shí)，邊干擾不納入考慮，由規(guī)格化距離值決定權(quán)值，最大化地實(shí)現(xiàn)節(jié)能優(yōu)化的目標(biāo)。
要注意的是，尋找最小能耗生成子圖已被證明是NP難問題，本算法考慮容錯(cuò)和多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)時(shí)該問題顯然也是NP難問題。
OVFSS算法根據(jù)邊權(quán)值公式對(duì)圖中所有的邊的權(quán)重進(jìn)行計(jì)算，然后按照邊權(quán)值升序排列。根據(jù)得到的邊權(quán)值，基于貪婪算法計(jì)算一個(gè)干擾最小的或能耗最小的k連通圖。為保證貪婪算法是唯一結(jié)果，假設(shè)不相同的節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的邊權(quán)值沒有相同的。算法的偽代碼如下：
算法1 OVFSS
輸入：具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)集和連通度k（k≥1）。
輸出：k連通的干擾最小或能耗最小的子圖。
1：初始化原圖G＝（V，E）。
2：計(jì)算G中每條邊的邊權(quán)值W＝s×I＋dist/r。
3：將所有的邊按照邊權(quán)值升序排列。
4：初始化子圖GOVFSS＝（V，EOVFSS＝?）。
5：對(duì)于圖中的每條邊e＝（u，v）。
6： 如果GOVFSS中u和v之間不是k連通
7： 添加該邊到邊集合中EOVFSS＝EOVFSS∪｛e｝；
9： 如果所有節(jié)點(diǎn)之間均是k連通
10： 退出，算法結(jié)束
當(dāng)s＝0時(shí)，權(quán)值由距離決定，算法等價(jià)于Kruskal算法［12］的一種擴(kuò)展版。該算法在保證容錯(cuò)的前提下，選取距離最短邊以尋求節(jié)能優(yōu)化，其干擾優(yōu)化能力不強(qiáng)（本身就是在干擾較小的情況下才選擇該算法）。
當(dāng)s＝1時(shí)，邊干擾值起決定作用，算法以干擾優(yōu)化能力為主，同時(shí)兼顧選取距離較短、能耗較低的邊，算法的優(yōu)勢體現(xiàn)明顯。
下面對(duì)算法的正確性給出證明，即證明算法保證網(wǎng)絡(luò)k連通的情況下優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)干擾，使其干擾最小化，并同時(shí)考慮了節(jié)能。為了方便證明，本文采用以下術(shù)語：
G代表初始的拓?fù)鋱D，G′代表算法優(yōu)化后最終的拓?fù)鋱D。Path（u，w1，w2，…，wn，v）表示從節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v的路徑，其中w1，w2，…，wn代表路徑經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)。Suv（G）代表無向圖G中節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v之間的所有不相交的路徑數(shù)。
引理1 設(shè)u1和u2是k連通無向圖G中兩節(jié)點(diǎn)，如果u1和u2間存在邊（u1，u2），并且在圖G中移除邊（u1，u2）后，u1和u2之間仍然是k連通，那么G－（u1，u2）仍然是k連通的。
證明 要證明G－（u1，u2）是k連通的，等價(jià)于證明G′＝G－（u1，u2）中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后，圖G′仍然是連通的。不失一般性，假設(shè)｛u1，u2｝∩｛v1，v2｝＝?。如果能夠證明在圖G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后，任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)v1、v2仍然連通，那么就可以證明G′是k連通的。
(4) 交通銜接條件：站點(diǎn)周邊地區(qū)的交通可達(dá)性以及車站接駁體系的成熟程度，是制約客流的主要因素。本文主要選取車站周邊道路網(wǎng)密度、人行道面積率、出入口周邊機(jī)動(dòng)車及自行車停放場地面積、公交車站經(jīng)停線路數(shù)等指標(biāo)，經(jīng)過同等權(quán)重的無量綱化處理得到交通銜接水平評(píng)價(jià)值。
（1）如果v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在原圖G中直接相連，因?yàn)樵瓐DG是k連通的，那么很顯然在圖G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后，節(jié)點(diǎn)v1、v2仍然是連通的。
（2）如果v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在原圖G中并沒有邊相連。假設(shè)圖G″為G′－（k－1）個(gè)節(jié)點(diǎn)后的圖。S1表示在G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后Sv1v2（G′）中斷開的路徑數(shù)。因?yàn)镾v1v2（G′）是圖G′中v1、v2兩節(jié)點(diǎn)的不相交的路徑數(shù)，所以在圖G′中移除k－1個(gè)最多斷開k－1條v1、v2節(jié)點(diǎn)間的路徑，因此S1≤k－1。
①如果Sv1v2（G′）≥k，那么Sv1v2（G″）≥Sv1v2（G′）－S1≥k－（k－1）≥1。所以，在圖G″中，v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是連通的。
②如果Sv1v2（G′）＜k，這種情況只可能是在原圖G中刪除邊（u1，u2）的時(shí)候斷開了節(jié)點(diǎn)v1和v2之間的一條路徑。所以，可以得到Sv1v2（G′）＝k－1?，F(xiàn)在再考慮在圖G′中刪除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后的兩種情況。
a如果S1＜k－1，那么Sv1v2（G″）≥Sv1v2（G′）－S1≥1，即節(jié)點(diǎn)v1、v2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是連通的。
b如果S1＝k－1，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)間的路徑都是不相交的，S1＝k－1這種情況唯一的出現(xiàn)場景為v1與u1直接相連，v2和u2直接相連。用S2表示在G′中移除k－1個(gè)節(jié)點(diǎn)后Su1u2（G′）中斷開的路徑數(shù)，由命題題意可知Su1u2（G′）≥k，并且很容易知道S2≤k－1，這也就證明了在G″中u1和u2是連通的，又因?yàn)関1、v2分別與u1、u2相連，所以v1，v2是連通的。
綜上可得，G′是k連通的，因此G－（u1，u2）是k連通的。證畢?！?/p>
引理2 假設(shè)無向圖H和H′滿足條件V（H）＝V（H′）。如果H是k連通的，并且每條邊（u，v）∈E（H）－E（H′）在圖G－｛（u0，v0）∈E（H）：W（u0，v0）≥W（u，v）｝中都是k連通的，那么H′也是k連通的。
證明 用集合E＝E（H）－E（H′）＝｛（u1，v1），（u2，v2），…，（um，vm）｝表示在圖H中出現(xiàn)且在圖H′沒有出現(xiàn)的邊集，且W（u1，v1）＞W(wǎng)（u2，v2）＞…＞W(wǎng)（um，vm）。同時(shí)定義一系列原圖H的子圖Hi：H0＝H，Hi＝Hi－1－（ui，vi）。下面用歸納法來證明：
（1）H0＝H，所以H0是k連通的。
（2）如果Hi－1是k連通的，那么應(yīng)用引理1可得Hi是k連通的。所以，可以得到Hm是k連通的。
因?yàn)镋（Hm）?E（H′），所以H′也是k連通的。證畢?！?/p>
定理1 G′是k連通的。
證明 在OVFSS算法中，所有的邊都是按非遞減順序排列的，而且沒有加入圖G′中的邊唯一的條件就是這條邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間已經(jīng)是k連通的。應(yīng)用引理2可以得到圖G′是k連通的。證畢?！?/p>
定理2 優(yōu)化干擾時(shí)，G′是一個(gè)干擾最小的k連通圖。
證明 s＝1時(shí)，權(quán)值公式主要由邊干擾值確定，邊權(quán)值可以近似為邊干擾值，用Sk（G）代表圖G的所有k連通子圖。如果G是k連通的，根據(jù)定理1，可得G′也是k連通的。假設(shè)邊（u，v）是OVFSS算法中最后加入圖G′的一條邊。那么可以知道I（u，v）＝Max（u0，v0∈E（G′）｛I（u0，v0）＜I（u，v）｝，即I（u，v）的干擾值比已經(jīng)加入到圖G′中的任何一條邊的干擾值都大。設(shè)G2＝G′－（u，v），因此在圖G2中節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v之間的不相交路徑數(shù)是小于k的，否則OVFSS算法不會(huì)將邊（u，v）加入到圖G′中。用圖C＝（V（C），E（C）），這里V（C）＝V（G），E（C）＝｛（u0，v0）∈E（G）：I（u0，v0）＜I（u，v）｝。如果可以證明C并不是k連通，那就可以說在圖G的任何一個(gè)k連通子圖中都存在一條邊的干擾值大于I（u，v），這也證明了G′是干擾最小的k連通子圖。
用反證法證明C不是k連通的。假設(shè)C是k連通的，因此Suv（C）≥k。那么E（C）?E（G2）；否則，｜Suv（G2）｜≥｜Suv（C）｜≥k，與前段中G2的定義矛盾。因此，E0＝E（C）－E（G2）≠?。因?yàn)樗械倪叾际前锤蓴_值非遞減順序加入到圖G′中的，所以有?（u1，v1）∈E0都滿足u1和v1在圖C－｛（u0，v0）∈E（C）：I（u0，v0）≥I（u1，v1）｝中是k連通的。由引理2可得，當(dāng)把E0中的所有邊都刪除后，節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v之間仍然是k連通的，也就是說｜Suv（G2）｜≥k，而這與G2的定義是矛盾的。所以，由OVFSS算法得到的G′是原圖G的干擾最小k連通子圖。證畢?！?/p>
定理2證明了圖G′是干擾最小的k連通圖，在權(quán)值公式里，在干擾相同的情況下，選取邊長更短的邊，兼顧節(jié)能，以延長網(wǎng)絡(luò)生命周期。在干擾較小時(shí)，權(quán)值公式改為由能耗決定邊權(quán)值，此時(shí)通過類似定理2的證明過程可以得出，優(yōu)化能耗時(shí)G′是一個(gè)能耗最小的k連通圖。
5 仿真實(shí)驗(yàn)
考慮到3D k－GG算法和3D k－YG算法解決的問題與本文研究問題最為接近且是本領(lǐng)域具有代表性的算法，下面對(duì)OVFSS算法、3D k－GG算法和3D k－YG算法在干擾優(yōu)化方面進(jìn)行比較。
實(shí)驗(yàn)場景［8］為20×20×20的三維空間，節(jié)點(diǎn)的最大發(fā)射功率為9，節(jié)點(diǎn)數(shù)從50到175遞增，β值取2。實(shí)驗(yàn)分別比較了干擾較強(qiáng)（s＝1）時(shí)不同容錯(cuò)度k＝1，k＝2和k＝3三種情況下，三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ母蓴_優(yōu)化效果。當(dāng)容錯(cuò)度k取1、2、3三個(gè)不同值時(shí)，仿真結(jié)果都是一致的：OVFSS算法降低網(wǎng)絡(luò)干擾的能力都是優(yōu)于其它兩種拓?fù)淇刂扑惴?。這里只給出k＝3時(shí)（容錯(cuò)能力度量值）三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ姆抡娼Y(jié)果。
Figure 3 Comparison of node interference among OVFSS，3D k－GG and 3D k－YG topology subgraph圖3 OVFSS、3D k－GG和3D k－YG生成的拓?fù)鋱D節(jié)點(diǎn)干擾比較
由圖3可知，OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的最大節(jié)點(diǎn)干擾和平均節(jié)點(diǎn)干擾值都是最小的，相對(duì)于原圖UBG來說，OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于UBG圖中的點(diǎn)干擾值，也同樣小于其它三種拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值。3D k－GG算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值要小于3D k－YG算法生成的拓?fù)鋱D中的點(diǎn)干擾值。3D k－YG算法生成的拓?fù)鋱D中的點(diǎn)干擾值相對(duì)于原圖UBG來說還是有一定程度的減少。而且隨著網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，原圖UBG和3D k－YG算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值會(huì)線性增長，而OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的點(diǎn)干擾值維持在一個(gè)較小的定值左右，并不會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而增大。
由圖4可知，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，3D k－GG算法與OVFSS算法都可以有效地調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率，使得網(wǎng)絡(luò)在保證k容錯(cuò)的同時(shí)，最小化網(wǎng)絡(luò)中的干擾。OVFSS算法生成的拓?fù)鋱D的邊干擾值是最低的，遠(yuǎn)低于其它三種算法生成的拓?fù)鋱D中的干擾值。而且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，這一結(jié)果更加明顯。
以上仿真結(jié)果表明，在三維空間網(wǎng)絡(luò)中OVFSS拓?fù)淇刂扑惴ǖ母蓴_優(yōu)化效果都是較好的。
下面對(duì)OVFSS算法、3D k－GG算法和3D k－YG算法在能耗優(yōu)化方面進(jìn)行比較。
Figure 4 Comparison of edge interference among OVFSS，3D k－GG and 3D k－YG topology subgraph圖4 OVFSS、3D k－GG和3D k－YG生成的拓?fù)鋱D邊干擾比較
實(shí)驗(yàn)場景［8］為20×20×20的三維空間，節(jié)點(diǎn)的最大發(fā)射功率為9，節(jié)點(diǎn)數(shù)從50到175遞增，β值取2。實(shí)驗(yàn)分別比較了干擾較弱（s＝0）時(shí)不同容錯(cuò)度k＝1，k＝2和k＝3三種情況下，三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ哪芎膬?yōu)化效果。當(dāng)容錯(cuò)度k取1、2、3三個(gè)不同值時(shí)，仿真結(jié)果都是一致的：OVFSS算法降低節(jié)點(diǎn)能耗的能力都是優(yōu)于其它兩種拓?fù)淇刂扑惴?。這里只給出k＝3時(shí)三種拓?fù)淇刂扑惴ǖ姆抡娼Y(jié)果。
由圖5可知，在同樣大小的區(qū)域內(nèi)，隨著網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部署的節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)密集程度上升，由于采用多跳短距離通信代替長距離通信，節(jié)點(diǎn)可以使用更小的傳輸功率來發(fā)送信息給鄰居節(jié)點(diǎn)，再由鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)發(fā)，3D k－GG、3D k－YG、OVFSS算法都能有效地調(diào)整節(jié)點(diǎn)傳輸功率，保證網(wǎng)絡(luò)在k連通，并且在節(jié)點(diǎn)數(shù)目相同時(shí)，OVFSS算法在減小能耗方面要比其他兩個(gè)拓?fù)淇刂扑惴ㄐЧ谩?/p>
6 結(jié)束語
Figure 5 Comparison of node transmission power among OVFSS，3D k－GG and 3D k－YG topology subgraph圖5 OVFSS、3D k－GG和3D k－YG生成的拓?fù)鋱D節(jié)點(diǎn)傳輸功率比較
本文針對(duì)Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)可能應(yīng)用在通信環(huán)境發(fā)生變化的場景，提出了一種更加真實(shí)的三維場景下優(yōu)化目標(biāo)可變的、保證k連通的容錯(cuò)拓?fù)淇刂扑惴ǎ诟蓴_較強(qiáng)時(shí)，降低干擾并盡量節(jié)能；干擾較小時(shí)，重點(diǎn)考慮節(jié)能。并證明了該算法得到的通信子圖干擾最小，并保證k連通。真實(shí)應(yīng)用場景通信環(huán)境復(fù)雜，優(yōu)化目標(biāo)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)該變化，需要綜合考慮干擾優(yōu)化，根據(jù)剩余能耗選擇鏈路、網(wǎng)絡(luò)容錯(cuò)性能、應(yīng)用服務(wù)質(zhì)量QoS（Quality of Service）保證等諸多問題，如何更加全面、合理地設(shè)置各部分影響因素對(duì)算法的影響需要進(jìn)一步研究。
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