基于ARIMA模型對滬深300指數的實證分析研究

陳蕾

（安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030）

基于ARIMA模型對滬深300指數的實證分析研究

陳蕾

（安徽財經大學 金融學院，安徽 蚌埠 233030）

雖然股票價格的波動涉及很多不確定因素，但它仍是一個運動的、特殊的系統(tǒng)，必然存在著某種規(guī)律.本文以滬深300指數為例，選取2002年1月31日至2013年4月26日的收盤價月度數據，利用EVIEWS軟件對其股票價格建立ARIMA模型，通過比較分析得出最優(yōu)預測模型，從而對該指數的走勢進行研究，得出滬深300指數走勢變化的預測誤差.并且通過使用一步向前靜態(tài)預測方法來對股票價格序列進行建模及股價短期預測，為企業(yè)或投資者在進行投資決策時提供有效的參考.

ARIMA模型；滬深300指數；一步向前靜態(tài)預測

1 引言

股市指數的預測問題一直是國內外金融領域研究的重點，由于影響股票價格波動的因素眾多,要找出影響預測對象變化的真正因素并非易事，如果用傳統(tǒng)的回歸分析模型來預測，有點復雜而且費用較高，另外股票市場不斷變化，它的預測精度并不比時間序列分析結果更加精確，然而時間序列分析模型比較簡單且成本低，非常適合研究那些表面毫無規(guī)律可循的數據，因此用ARIMA模型來對股票指數進行實證研究，可以達到最小方差意義下的最優(yōu)預測效果.滬深300指數則是集中了有代表性的多種股票的研究，基本認為其反映了中國股市的高低，個別公司股票價格的異常反應對大盤指數的影響則是有限的.因此用技術手段研究股價波動，選擇滬深300指數做研究對象更合適，而且對于投資組合的操作和機構或基金投資也有指導意義.

2 ARIMA模型介紹及建模的步驟

ARIMA模型是將非平穩(wěn)的時間序列轉化為平穩(wěn)的時間序列，然后只將因變量對它的滯后值、隨機誤差項的現(xiàn)值與滯后值進行回歸建立的模型，根據原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所包含部分的不同，分為移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）以及自回歸單整移動平均過程（ARIMA）.

2.1 移動平均模型MA(q)

一個q階的移動平均（MA）過程可用下式表示：

式中：參數u為常數，參數θ1,θ2,…,θq是q階移動平均模型的系數；{εt}是均值為0，方差為σ2的白噪音序列.

或者Yt=μ+θ(L)εt其中，θ(L)=1+θ1L+θ2L2+…+θqLq

2.2 自回歸模型AR(p)

一個p階自回歸（AR）過程可以用下式表示：

式中：參數c為常數，參數?1,?2,…,?p是自回歸模型系數，p為自回歸模型階數，{υt}為均值為0，方差為σ2的白噪音序列.

若引入滯后算子L，則原式可寫成：

2.3 自回歸移動平均過程ARMA(p,q)

將MA(q)過程與AR(p)過程合并，我們就可以得到一個ARMA(p,q)過程，其形式如下：

若引入滯后算子L，原式可以寫成：

其中，c為常數項，{εt}為白噪音過程

2.4 自回歸單整移動平均過程ARIMA(p,d,q)

如果序列{Yt}經過d次差分得到平穩(wěn)序列{Wt}，并且用ARMA(p,q)過程對Wt建立模型，即Wt為一個ARMA(p,q)過程，則我們稱Yt為(p,d,q)階自回歸單整移動平均過程，簡稱ARIMA(p,d,q).

引入滯后算子L，ARIMA(p,d,q)過程可表示為：

2.5 應用ARIMA(p,d,q)模型建模的步驟

博克斯和詹金斯提出了在建立回歸模型時應遵循的節(jié)儉性原則下建立ARIMA模型的系統(tǒng)方法論，即Box-Jenkins方法論，其建模思想總結為如下4個步驟:

（1）模型識別

首先對序列進行平穩(wěn)性檢驗，如果該序列是不平穩(wěn)的，就可以用差分變換(差分階數為單整階數)或者其他變換（比如對數差分變換）使序列平穩(wěn).

（2）模型估計

通過計算出自相關系數和偏自相關系數等能夠描述時間序列特征的一些統(tǒng)計量，并結合AIC準則和SC準則來確定模型的階數p和q；估計模型的未知參數，并檢驗參數的顯著性，以及模型本身的合理性.

（3）模型的診斷檢驗

進行診斷分析，檢驗模型的有效性，即殘差檢驗，以證實所得模型確實與觀察到的數據特征相符，如果模型很好的擬合了數據，那么殘差應該是一個白噪音過程，即不同時期的殘差是不相關的.如果通不過檢驗，轉向步驟3，重新選擇模型再擬合；如果通過，則可確定模型.另外可在模型中增加滯后項（因為我們是從低階試起的），然后根據信息準則來判斷模型是否最優(yōu).

（4）模型預測

根據確定好的模型，結合軟件來預測數據的下一步走勢.

3 對滬深300指數的實證分析和預測

本文以滬深300指數月度時間序列為研究對象，運用ARIMA模型對其進行實證分析并作出預測，為滿足時間序列模型大樣本的需求，選取2002年1月31日至2013年4月26日的最后交易日的收盤價格為原始數據進行ARIMA建模，數據來源于wind資訊.

3.1 判定原始序列的穩(wěn)定性,識別模型

滬深300指數月度數據記為YT，由圖1可以看出，序列不符合零均值同方差的特征，可以大致的估計滬深300指數月線時間序列的方差是不斷變化的，并利用軟件的ADF檢驗對其進行分析可知該序列為非平穩(wěn)序列.由于原序列的非平穩(wěn)性，所以要對滬深300指數口線時間序列進行一階差分，并檢查一階差分的穩(wěn)定性.從圖2可看出，一階差分后的序列為平穩(wěn)時間序列，即Y～I（1）.

圖1 2002年1月以來的滬深300指數(YT)趨勢折線圖

圖2對一階差分序列進行ADF檢驗的結果

3.2 模型的定階

在確定d的值后，接下來我們利用自相關函數、偏自相關函數以及它們的圖形來確定p,q的值.觀測差分數據Y序列的ACF和PACF圖（見圖3），從圖中可以看出Y序列的自相關系數和偏自相關系數都在2階和4階托尾，均沒有明顯的截尾性，故可以建立ARIMA（2，1，2）或ARIMA (4，1，4)模型

圖3 一階差分序列的自相關函數和偏自相關函數圖

圖4 ARIMA(4，1，4)模型的參數估計

再用AIC準則和SC準則最小化來判斷確定模型，利用Eviews軟件分析，經過比較發(fā)現(xiàn)，ARIMA（4，1，4）過程的AIC=13.90157和SC=14.09911都是最小的，從圖4中可以看出，模型參數在1%的水平下均是顯著的，而且AR和MA特征根的倒數基本都在單位圓之內，因此該過程是平穩(wěn)的.

3.3 模型的檢驗

接下來對ARIMA(4，1，4)模型的殘差序列進行Q-檢驗，由圖5的相關圖可知該模型的殘差不存在序列相關，該殘差序列為白噪聲過程，并且模型的各項統(tǒng)計量也很好，因此可以確定模型ARIMA(4，1，4)模型來擬合滬深300指數序列是合適的，并可以選取此模型作為預測的模型，計算得出具體表達式.

圖5 ARIMA(4，1，4)模型殘差的相關圖

3.4 模型的預測和分析

在文中采用一步向前靜態(tài)預測，依據模型對滬深300指數在今年以后各月的平均收盤價進行預測，預測結果如圖6所示.從圖6中可以得知，預測值與實際觀測值有一定的誤差，相對誤差絕對值平均（MAPE）為6.988276%，說明模型預測的精度較好.借助Eviews軟件，可以很容易地對某些金融時間序列問題進行研究和預測分析，從而針對分析結果提出相應的投資建議和決策.

圖6 預測值與實際觀測值對比圖

3.5 結論

通過上述擬和預測，從實際值和預測值可以看出，該模型的預測效果基本接近實際值.從預測結果分析可以得出以下結論:

第一:此模型作為滬深300指數的短期預測模型是可行的.ARIMA模型在描述滬深300指數方面有一定借鑒性，擬和預測的結果說明此時間序列包含了滬深300指數的大部分信息，在一定程度上可以代表滬深300指數的走勢.

第二:該模型短期預測預測效果良好，但是在檢驗中隨著預測時間的延長，對于長期趨勢以及突然上漲或下跌，就會表現(xiàn)出局限性，預測的誤差也逐漸增大.

第三:該模型只考慮了時間序列本身的特性，而沒有考慮其他一些不確定因素的影響，因為變幻莫測的股票市場，影響其價格波動的因素多種多樣，不僅與股票市場自身體制因素有關，還與國家宏觀經濟政策，國民經濟發(fā)展方向等各種因素相關，雖然這些因素在模型中是以隨機項來反映，但在預測的期望值中是無法反映出來的.

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F224；F832.51

A

1673-260X（2014）01-0075-03