淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想與方法

馬麗君

（集寧師范學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想與方法

馬麗君

（集寧師范學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

小學(xué)數(shù)學(xué)是小學(xué)階段的基礎(chǔ)學(xué)科，在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想與方法是促使小學(xué)生提高創(chuàng)新能力、思維能力的重要舉措.小學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的思想與方法主要為化歸思想、組合思想、變換思想、類比思想方法、歸納思想方法、單位思想方法、符號(hào)化的思想方法、極限思想.

小學(xué)數(shù)學(xué)；思想；方法

自17世紀(jì)以來(lái)，特別是近一個(gè)世紀(jì)，數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)生了很大的變化，教學(xué)方法也有了很大的突破，數(shù)學(xué)成為研究一般的數(shù)學(xué)關(guān)系與形式的科學(xué).滲透數(shù)學(xué)思想與方法則顯的越來(lái)越重要.

1 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透的常規(guī)數(shù)學(xué)思想

在數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中，人類創(chuàng)造出了諸多數(shù)學(xué)思想方法，如此多的數(shù)學(xué)思想一下滲透到小學(xué)生思維中是不現(xiàn)實(shí)的，再者小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，不能全部接受這些思想方法.故而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)選取最簡(jiǎn)單、最基本的思想方法，逐步滲透到具體教學(xué)之中，促使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力得到顯著提升，這些基本思想方法如下.

1.1 變換思想

變換思想是自一種形式變成另一種形式的思想方法，如在對(duì)解方程同解變換問(wèn)題，公式、定律中命題等價(jià)變化，幾何問(wèn)題中等體積變化等.

仔細(xì)觀察這些分母，不難發(fā)現(xiàn)：2=1×2，6=2×3…380=19×20,再用拆分的方法,考慮和式中的一般項(xiàng)

于是,問(wèn)題轉(zhuǎn)換為如下求和形式:

1.2 化歸思想

化歸思想是把一些看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化、歸納為一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.也就是矛盾的轉(zhuǎn)化過(guò)程.通?；瘹w思想包含兩個(gè)方面的內(nèi)容.

1.2.1 代數(shù)運(yùn)算

在一些代數(shù)運(yùn)算中，直接解決問(wèn)題比較困難，需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的或是學(xué)過(guò)的問(wèn)題，這樣就把復(fù)雜問(wèn)題化歸成簡(jiǎn)單問(wèn)題.

例如 雞兔同籠：籠中有頭50，有足140，問(wèn)雞、兔各有幾只？

分析化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問(wèn)題，這里可以先對(duì)已知成分進(jìn)行變形.每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，這是問(wèn)題中不言而喻的已知成分.現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題中的已知成分進(jìn)行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳（呈金雞獨(dú)立狀），又要求每只兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月?tīng)睿?那么，籠中仍有頭50，而腳只剩下70只了，并且，這時(shí)雞的頭數(shù)與足數(shù)相等，而兔的足數(shù)與兔的頭數(shù)不等;有一頭兔，就多出一只腳，現(xiàn)在有頭50，有足70，這就說(shuō)明有兔20只，有雞30只.

1.2.2 幾何知識(shí)中“變換圖形”

在幾何教學(xué)中常會(huì)對(duì)化歸思想予以利用，通過(guò)分割、翻折、平移與割補(bǔ)等諸多手段實(shí)現(xiàn)原圖形的“變形”，使不規(guī)則圖形面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形面積計(jì)算問(wèn)題，促使題目自難轉(zhuǎn)易，順利完成求解過(guò)程.

1.3 歸納思想

歸納指的是自特殊實(shí)例中推導(dǎo)出一類事物通用性結(jié)論的一種思想方法，是自個(gè)別到一般的推導(dǎo)過(guò)程，它是以觀察與實(shí)踐為基礎(chǔ)的，包括不完全歸納法和完全歸納法兩種，而不完全歸納法又可分為因果歸納法和枚舉歸納法.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要對(duì)小學(xué)生歸納思想能力進(jìn)行培養(yǎng)，需對(duì)以下問(wèn)題予以重視：（1）獲取知識(shí)，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)綜合、分析、對(duì)比、概況及邏輯加工等，獲取所需知識(shí).（2）歸納知識(shí)，借助于形象，引導(dǎo)學(xué)生自形象至抽象，自模糊至清晰，實(shí)現(xiàn)思維飛躍.（3）呈現(xiàn)實(shí)例，在展開(kāi)完全歸納時(shí)，列舉的事例應(yīng)全面、典型，確保歸納結(jié)論具有高度說(shuō)服力與可信度.（4）最后進(jìn)行歸納.

例如 小學(xué)生學(xué)習(xí)“年月日”

在課堂上可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)年歷表特點(diǎn)進(jìn)行觀察，歸納出1年包含12個(gè)月，1、3、5、7、8、10、12這幾個(gè)月每月均有31天，屬于大月，而4、6、9、11每月有30天，屬于小月，而2月在某些年為29天，某些年為28天，因此2月既非大月也非小月.在這里，滲透給學(xué)生的即是不完全歸納的思想方法.

1.4 類比思想

類比是根據(jù)兩類或兩個(gè)對(duì)象的相似或相同點(diǎn)，推斷他們其他方面也相似或相同的思想方法，是自特殊至特殊的方法.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，利用類比思想可發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，所得結(jié)論雖具有一定的偶然性，但卻可為該問(wèn)題的深入研究提供線索，為思維指明方向，這對(duì)于問(wèn)題的最終解決極為有利，故而類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中最基本、最重要方法.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)在結(jié)構(gòu)特征上、數(shù)量關(guān)系上、算理思路與思想內(nèi)容上進(jìn)行類比思想的滲透教學(xué).

1.5 組合思想

組合是將所研究問(wèn)題展開(kāi)合理分組，并對(duì)可能發(fā)生的諸多問(wèn)題在不遺漏、不重復(fù)下一一加以求解，最后得出正確結(jié)果的過(guò)程.

例如 “握手”游戲：30個(gè)小朋友游戲，每?jī)蓚€(gè)人之間都握手一次，總共要握手多少次？

小學(xué)思維：方法一：假設(shè)握手是輪流進(jìn)行的.設(shè)想這么一個(gè)情景：30位小朋友排成一列，第一個(gè)小朋友先走出列隊(duì)和其他29個(gè)人每個(gè)人握一次手，握完之后站在一旁不再進(jìn)入列隊(duì)，那么他握了29次手；接下來(lái)，輪到第二個(gè)小朋友，他和隊(duì)內(nèi)其他28個(gè)小朋友每人握手一次，所以要握28次手，握完后站到一旁不入隊(duì)；第三個(gè)走出列隊(duì)握手的小朋友要握27次，第四個(gè)要握26次，……依次遞減一次.輪到倒數(shù)第二個(gè)小朋友，他只要和最后一個(gè)小朋友握一次手就行了.而最后一個(gè)小朋友則不要再繼續(xù)握了.所以，總共握手的次數(shù)就是從29到1的29個(gè)整數(shù)的和：29＋28＋27＋…＋2＋1=435（次）.

方法二：把每個(gè)人都算成握手了29次，那么就有30個(gè)29次，只是每?jī)蓚€(gè)人的握手都算了兩次，所以還要除以2，得：435（次）.

組合方法：每?jī)蓚€(gè)人握手，就相當(dāng)于在30個(gè)人中間任意選擇2個(gè)人進(jìn)行組合.一個(gè)組合對(duì)應(yīng)一次握手，有多少個(gè)組合就有多少次握手，即：435（次）.

這些方法既不重復(fù)，又不遺漏，體現(xiàn)了組合思想.

1.6 單位思想

在數(shù)學(xué)中，在數(shù)及量計(jì)算中均需借助到單位.在計(jì)量及計(jì)數(shù)教學(xué)中，關(guān)鍵問(wèn)題即將計(jì)量和計(jì)數(shù)單位合理引入，在教學(xué)中要與計(jì)量單位和計(jì)數(shù)單位教學(xué)相結(jié)合，對(duì)其運(yùn)用方法予以適當(dāng)展示，促使小學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)有深刻領(lǐng)會(huì).

例如 小學(xué)階段所學(xué)“升與毫升”課程中，教師先提問(wèn)：“你們知道這個(gè)水壺的容量多大嗎？”經(jīng)實(shí)際操作，可知在用小水杯進(jìn)行測(cè)量時(shí)，可容納5杯水，用大水杯測(cè)量時(shí)，約有4杯左右.通過(guò)這一實(shí)例，可促使學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)容量計(jì)算時(shí)單位統(tǒng)一的重要性，這樣可在教學(xué)中將單位思想予以有效滲透.

1.7 符號(hào)化思想

符號(hào)化思想是指普遍而有意識(shí)的應(yīng)用符號(hào)對(duì)研究對(duì)象加以表述的方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用合適的符號(hào)，可對(duì)數(shù)學(xué)方法、思想、邏輯與概念予以簡(jiǎn)潔、清楚而準(zhǔn)確的表達(dá)，可避免語(yǔ)言描述的含糊不清、繁復(fù)及冗長(zhǎng)等問(wèn)題.

例如 認(rèn)識(shí)乘法課程.在一電腦教室中，每一張電腦桌上有2臺(tái)電腦，問(wèn)9張電腦桌上一共有放幾臺(tái)電腦？教師可在學(xué)生將算式寫(xiě)完后提問(wèn)：“你們寫(xiě)算式時(shí)，為什么邊寫(xiě)算式邊數(shù)數(shù)啊？”學(xué)生說(shuō):“算式太長(zhǎng)，不數(shù)的話就可能會(huì)寫(xiě)錯(cuò)了”.此時(shí)教師可加以引導(dǎo)：“寫(xiě)9個(gè)2再加起來(lái)是挺麻煩的，所以我們需要?jiǎng)?chuàng)造新的寫(xiě)法，把這個(gè)意思簡(jiǎn)單的寫(xiě)出來(lái).”這樣在學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造時(shí)，可經(jīng)歷對(duì)乘法這一符合抽象化過(guò)程，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)乘號(hào)時(shí)親身體驗(yàn)自模糊到清晰的深刻符號(hào)化過(guò)程.同時(shí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生可對(duì)知識(shí)本質(zhì)予以領(lǐng)悟，喚醒其內(nèi)心的創(chuàng)造意識(shí)與研究意識(shí).

1.8 極限思想

古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”就是利用極限的思想來(lái)求得圓的面積的，在圓內(nèi)作內(nèi)接正多邊形，當(dāng)多邊形的邊數(shù)越多時(shí)，多邊形的面積就越接近于圓的面積.“割之彌多，所失彌少.割之又割以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”的極限思想.并求出了圓周率，即“徽率”.

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透.例如：比較1.9與2.0的大小.可知1.9=2.0這便體現(xiàn)出了極限的思想.

2 小學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的其它數(shù)學(xué)思想方法

2.1 逆向思維的方法，逆向思維是發(fā)散式思維的一種.其基本特征是從已有思路的反方向去思索問(wèn)題.這種思維形式反映了思維過(guò)程的間斷性、突變性、反聯(lián)結(jié)性是對(duì)思維慣性的克服.其優(yōu)點(diǎn)在于，首先有利于克服慣常思維的保守性，開(kāi)拓新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.其次有利于糾正慣常思維所造成的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，開(kāi)辟數(shù)學(xué)新方向.最后有利于排除慣常思維過(guò)程中出現(xiàn)的困難，開(kāi)通新的思路.

例如 小明利用寒假看了一本課外讀物，第一個(gè)星期看了這本書(shū)的一半少20頁(yè)，第二個(gè)星期看了剩下的一半多30頁(yè)，第三個(gè)星期看了80頁(yè)正好看完.問(wèn)這本書(shū)共有多少頁(yè)？

解析 利用逆向思維的解題方法.從最后一次算起，因最后80頁(yè)是第二星期看后剩下的頁(yè)數(shù)的一半少20頁(yè)，80+30得到110頁(yè)，為第一星期看后剩的頁(yè)數(shù)的一半.正好比全書(shū)的一半多20頁(yè)（第一星期差20頁(yè)正好一半）.將110×20=220后減去20得書(shū)的一半，再乘以2即得全書(shū)的頁(yè)數(shù).列式為：[（80+30）×2-20]×2=400（頁(yè)）.

例如 李白無(wú)事街上走，提壺去打酒，遇店加一倍，遇花喝一斗，三遇花和店，喝干壺中酒.試問(wèn)：壺中原有多少酒？

解析 題意是李白提壺上街買(mǎi)酒、喝酒的過(guò)程.每次遇見(jiàn)酒店，便將壺中的酒量增添一倍，而每次遇到花，便喝酒一斗，這樣他遇店遇花經(jīng)過(guò)3次，便把所有的酒全喝完了，問(wèn)：李白壺中原有多少酒？采用逆向思維的方式，從最后一次開(kāi)始推算：

見(jiàn)花前———有1斗酒；

第三次：見(jiàn)花后壺中酒喝完，遇店前———壺中有酒半斗；

第二次：見(jiàn)花前———壺中有酒（斗）；

遇店前———壺中有酒（斗）；

第一次：見(jiàn)花前———壺中有酒（斗）；

遇店前———壺中有酒（斗）；

即：李白壺中原有酒為（斗）.

2.2 研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的對(duì)立面，也就是矛盾的同一性.即從原問(wèn)題的反面入手.進(jìn)行新的探索.反其道而行之：例如非歐幾何的創(chuàng)立等等.

例如在小學(xué)分?jǐn)?shù)加法時(shí)，把乘法法則用作加法法則了，即對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加時(shí)，分子加分子，分母加分母：.結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的.但是，這種錯(cuò)誤的算法得到的結(jié)果和正確的結(jié)果相比，有沒(méi)有什么明顯的不同呢？仔細(xì)看看，是有很明顯的不同：按正確的算法.正數(shù)越加越大.要比與都大才對(duì).可是在與之間，它比大，比小.如果小學(xué)生掌握了這種思想就不會(huì)出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤了.

3 在小學(xué)教學(xué)中滲透小學(xué)教學(xué)的思想和方法

數(shù)學(xué)思想方法是在更高層次上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象與概括的方法，在小學(xué)教材中，很多表層知識(shí)里均有潛在的數(shù)學(xué)思想，部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)是融為一體的，而有的則和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)對(duì)教材中數(shù)學(xué)思想方法予以深入挖掘，自身先充分理解這些深層知識(shí)，使之自潛在形態(tài)轉(zhuǎn)變成顯形態(tài)，確保自己首先對(duì)這些知識(shí)有清楚的感受，之后才可傳授給學(xué)生.由于同一教材內(nèi)容中通常蘊(yùn)含有多種數(shù)學(xué)思想，而需滲透的可能只是其中的一種，無(wú)需全面滲透，故而在數(shù)學(xué)教學(xué)預(yù)設(shè)中，應(yīng)對(duì)某課時(shí)中需滲透的思想予以合理確定.首先把這種思想融合到教師的思想中，進(jìn)而在教案中對(duì)這一思想加以融合，之后向?qū)W生傳遞，使之滲透到學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程中，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生好奇，迫切探索，經(jīng)操作對(duì)數(shù)學(xué)思想方法予以親身經(jīng)歷、理解、感受、掌握，最終加以領(lǐng)悟，如此才可促使數(shù)學(xué)思想真正注入到學(xué)生的大腦中.讓學(xué)生的思維能力和知識(shí)能力共同發(fā)展.

4 在小學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的意義

首先，掌握數(shù)學(xué)思想方法有利于記憶.“高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)在的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具.”數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的，學(xué)生掌握了小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法后，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的的記憶是非常有益的.而且能把握問(wèn)題的本質(zhì)，解決問(wèn)題的基本思想.掌握事物或問(wèn)題之間的邏輯關(guān)系.其次，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有利于數(shù)學(xué)能力的提高.學(xué)生的數(shù)學(xué)能力主要是在掌握數(shù)學(xué)概念、定理過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的，同時(shí)也是在掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中形成起來(lái)的.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的能力始終是教學(xué)目標(biāo)中的一個(gè)重要方面，掌握了數(shù)學(xué)的思維，靈活的思考，善于抓事物的主要矛盾，能辯證地全面地考慮問(wèn)題以及分析、抽象、概括能力，都是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該著力培養(yǎng)的.最后，小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)的一條紅線.掌握了小學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法，學(xué)生在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題自本質(zhì)到現(xiàn)象的看待，從而順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

〔1〕解恩澤，趙樹(shù)智.數(shù)學(xué)思想方法縱橫論[M].科學(xué)出版社,1987.

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〔3〕顧冷元.數(shù)學(xué)思想方法[M].中央廣播出版電視大學(xué)出版社,2004.

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