利用可加性求一類(lèi)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布

王凡彬

（1.內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641100；2.四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川內(nèi)江 641100）

設(shè)X和Y是兩個(gè)獨(dú)立的一維隨機(jī)變量，如何求二者之和Z=X+Y的分布？目前有一些方法，也有較多討論，得到了一些可應(yīng)用的結(jié)果〔1-10〕。在連續(xù)隨機(jī)變量的情形，常用的方法之一是應(yīng)用卷積公式：

或

其中PZ(z),PX(x) ,PY(y)分別是Z, X, Y的密度函數(shù)。

不過(guò)，公式（1）、（2）在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常因?yàn)榉e分的繁難，而導(dǎo)致結(jié)果不易得到，或造成錯(cuò)誤。

但是，我們還可利用某些隨機(jī)變量具有的可加性，即“同一類(lèi)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的分布仍屬于此分布”，來(lái)求得Z=X+Y的分布。像正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，Γ分布等，就具有可加性。在一些實(shí)際問(wèn)題中，通過(guò)仔細(xì)觀察，如果發(fā)現(xiàn)其隨機(jī)變量是具有可加性的，就可應(yīng)用可加性來(lái)解決問(wèn)題，?？墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч?/p>

1 主要結(jié)果

下面我們主要通過(guò)一例來(lái)說(shuō)明上述觀點(diǎn)。

例 某種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

設(shè)各周的需求量是相互獨(dú)立的，試求①兩周需求量的密度函數(shù)P2(x)；②三周需求量的密度函數(shù)P3(x)。

該例如果用卷積公式（1）或（2）是可以解決的，但是比較繁難。例如用公式（1），設(shè)Z2為兩周的需求量，X1、X2分別是第一周、第二周的需求量，則Z2=X1+X2，

我們注意到（4）式只需在P1(x-y)P1(y)≠0的區(qū)域積分即可。但要滿(mǎn)足這個(gè)條件，須x-y＞0，且y＞0，從而x＞y＞0，故

即

問(wèn)題①得到解決。

再設(shè)Z3為三周的需求量，X3為第三周的需求量，則Z3=Z2+X3，

與前面類(lèi)似，經(jīng)過(guò)討論，須在x＞y＞0時(shí)，P1(x-y)P2(y)≠0，故

即

至此，問(wèn)題②得到解決。

從上述過(guò)程來(lái)看，雖然解決了兩個(gè)問(wèn)題，但積分的過(guò)程有點(diǎn)繁難；且如果問(wèn)題的周數(shù)換成較大的數(shù)字，如求100周的需求量的密度函數(shù)，或更一般的，求n周的需求量的密度函數(shù)，那用卷積公式（1）或（2）就很困難了，或許只有理論上的意義。

但是，如果利用可加性，本題或相類(lèi)似的一些問(wèn)題可能就變得容易了?？疾歃７植迹涿芏群瘮?shù)

仔細(xì)觀察（3）式，發(fā)現(xiàn)實(shí)際一周的需求量X是服從參數(shù)為α=2,λ=1的Γ分布的，即X～Ga(2,1)。而我們知道，Γ分布是滿(mǎn)足可加性的。即設(shè)隨機(jī)變量X1，X2相互獨(dú)立，X1～Ga(α1,λ), X2～Ga(α2,λ)，則

再看本例，設(shè)第i周的需求量為Xi，則Xi～Ga(2,1), i=1,2,…，且諸Xi間相互獨(dú)立。問(wèn)題①就是求Z2=X1+X2的密度函數(shù)，由（9），Z2～Ga(2+2,1)=Ga(4,1)，從而

而問(wèn)題②就是求Z3=X1+X2+X3的密度函數(shù)。由（9），Z3～Ga(2+2+2,1)=Ga(6,1)，從而

這樣，由Γ分布的可加性，輕松解決了問(wèn)題①和②。

2 結(jié)果的推廣

實(shí)際上，本例的利用可加性的方法還可以推廣。例如前面提到的，如要求前100周的需求量Z100的密度函數(shù)P100(x)，則Z100～Ga(100×2,1)=Ga(200,1)，

更一般的，前n周的需求量Zn～Ga(2n,1)，其密度函數(shù)Pn(x)為

這都可以輕松得到結(jié)果，而上述結(jié)果用卷積公式操作起來(lái)相當(dāng)麻煩，幾乎是不可能完成的。

〔1〕茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)〔M〕.2版.北京：高等教育出版社，2013．

〔2〕王凡彬，嚴(yán)靂.多維隨機(jī)變量函數(shù)密度的求解方法〔J〕.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，27（10）：17-19．

〔3〕王凡彬.多維隨機(jī)變量函數(shù)變量變換法的推廣〔J〕.井岡山大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（3）：10-12．

〔4〕生志榮.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的一個(gè)定理〔J〕.高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（4）：69-71．

〔5〕葉仁玉.關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的探討〔J〕.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，16（4）：79-81.

〔6〕楊秀妮，王雪芹.隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題〔J〕.西安科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，27（2）：316-319.

〔7〕馬醒花，魏蘭閣，彭宗勤.兩個(gè)n維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的求法〔J〕.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，3（4）：174-177．

〔8〕李思齊，李昌興，柳曉燕.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布密度的計(jì)算〔J〕.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（5）：162-166．

〔9〕宋明娟，王悅姣.二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度公式〔J〕.黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，21（5）：422-424．

〔10〕徐傳勝，張敏.有關(guān)正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)分布的探討〔J〕．山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，17（4）：91-93．