基于匹配追蹤算法的波達(dá)方向估計(jì)方法＊

鄭生華，李景峰

（中國(guó)電子科技集團(tuán)第三十八研究所，安徽合肥230088）

0 引言

在雷達(dá)、聲納、通信和電子戰(zhàn)等領(lǐng)域中，確定接收信號(hào)的DOA參數(shù)具有重要意義。DOA估計(jì)的波束形成法將陣列輸出加權(quán)求和，使陣列天線(xiàn)方向圖主瓣指向所需方向上，對(duì)期望信號(hào)得到最大輸出功率的方向?yàn)樾盘?hào)源的DOA估計(jì)值。在波束形成器中，Bartlett波束形成器基于經(jīng)典Fourier分析對(duì)傳感器陣列數(shù)據(jù)進(jìn)行延時(shí)相加處理，使波束形成器的輸出功率對(duì)于某個(gè)入射信號(hào)為最大。和周期譜圖譜估計(jì)類(lèi)似，其分辨率低。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，Capon最小方差法使用一部分自由度在期望觀測(cè)方向形成一個(gè)波束，同時(shí)利用剩余的自由度在干擾信號(hào)方向形成零陷來(lái)提高Bartlett波束形成器的性能。

波束形成器分辨率受限于瑞利限，而天線(xiàn)的波束寬度與陣列的孔徑密切相關(guān)，為了獲得超過(guò)瑞利限的更高DOA分辨率，可采用基于子空間的超分辨算法。其中，典型代表是Schmidt提出的多重信號(hào)分類(lèi)（MUSIC）算法［1］和Roy等人提出的借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)（ESPRIT）算法及其修正算法［2－3］。這些算法是把線(xiàn)性空間概念引入到參數(shù)估計(jì)中，屬于特征結(jié)構(gòu)的子空間方法。其中，MUSIC算法通過(guò)構(gòu)建所謂的MUSIC空間譜，根據(jù)其譜峰所對(duì)應(yīng)的角度來(lái)確定DOA。由文獻(xiàn)［1］的分析可知，只要數(shù)據(jù)長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)或信噪比足夠高，且信號(hào)模型準(zhǔn)確，MUSIC算法就可得到任意精度的DOA估計(jì)值。但在低信噪比和小樣本情況下，分辨率損失較大，尤其對(duì)于高度相關(guān)信號(hào)更是如此。ESPRIT算法采用對(duì)稱(chēng)子陣的特殊陣列結(jié)構(gòu)，根據(jù)子陣輸出協(xié)方差矩陣之間的旋轉(zhuǎn)不變性估計(jì)信號(hào)參數(shù)?；谔卣髯涌臻g的DOA估計(jì)算法，為了準(zhǔn)確獲得信號(hào)子空間，需具有空間信號(hào)源數(shù)目的先驗(yàn)知識(shí)，或通過(guò)估計(jì)來(lái)確定信號(hào)源的數(shù)目。通過(guò)對(duì)以上常用DOA估計(jì)算法的研究和最大似然算法［4－5］思想的啟發(fā)，本文提出了基于匹配追蹤原理的多輻射源DOA估計(jì)新算法。該算法的主要優(yōu)點(diǎn)有：低信噪比下增強(qiáng)的分辨率；不需要信源數(shù)的先驗(yàn)信息；不受不同方向到達(dá)信號(hào)相干性的影響且算法直接給出DOA估計(jì)值及其對(duì)應(yīng)的幅度等。

1 Hilbert空間上的MP算法

匹配跟蹤算法［6］（MP）是Mallat和Zhang提出的一種信號(hào)稀疏表示的基于迭代的貪心算法。算法將任意信號(hào)分解為一個(gè)從冗余字典中選擇函數(shù)波形的線(xiàn)性展開(kāi)，選擇這些函數(shù)波形使其與信號(hào)結(jié)構(gòu)最匹配，從而在一個(gè)冗余波形集上展開(kāi)函數(shù)。

設(shè)H為一Hilbert空間，D＝（gγ）γ∈Γ，‖gγ‖＝1為此空間的過(guò)完備字典。對(duì)于字典D，如果其中的原子能夠張成N維歐式空間RN，則D稱(chēng)為完備字典，而當(dāng)原子的數(shù)目Γ＞N時(shí)，字典D是冗余的，如果還能張成N維歐式空間RN，則稱(chēng)此時(shí)的字典是過(guò)完備的。令f∈H，在D中選擇的一個(gè)矢量集上，計(jì)算f的一個(gè)線(xiàn)性展開(kāi)，使其與信號(hào)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)最匹配，這可通過(guò)f在D中元素上的正交投影逐次逼近得到。

令gγ0∈D，則f可分解為：

式中，Rf是分解后的余量，顯然，f在gγ0方向上分解逼近后，gγ0與Rf正交，因此下式成立：

為了最小化‖Rf‖，應(yīng)該選擇gγ0∈D使｜〈f，gγ0〉｜最大化，即可找到一個(gè)gγ0在如下意義上是最佳的：

式中，α是優(yōu)化因子，0＜α≤1。

MP算法通過(guò)迭代將Rf再次分解，將其投影到D中一個(gè)矢量上，使其與Rf最佳匹配，這個(gè)過(guò)程重復(fù)進(jìn)行，然后得到下一個(gè)余量。

令R0f＝f，假設(shè)已經(jīng)計(jì)算出的第n次分解后的余量為Rnf，n≥0，按照上述步驟選擇一個(gè)元素gγ0∈D與余量Rnf匹配，使其滿(mǎn)足：

Rnf再次分解的表示式為：

顯然，n＋1階余量Rn＋1f與gγn正交。

經(jīng)過(guò)m次迭代分解，信號(hào)f就被分解為：

進(jìn)一步可表示為：

同樣，‖f‖2可表示為：

由式（6）得到能量守恒方程：

通過(guò)選擇字典元素，使其不斷與分解余量最佳匹配，在第m步時(shí)滿(mǎn)足迭代終止準(zhǔn)則，則信號(hào)f被分解為字典元素的一個(gè)和，這種分解是非線(xiàn)性的，則通過(guò)式（8）的和式恢復(fù)信號(hào)，逼近誤差為Rmf。

2 基于匹配追蹤的DOA估計(jì)

在DOA估計(jì)中，一般只有少數(shù)方向上包含入射到陣面上的信號(hào)。因此，DOA估計(jì)問(wèn)題的解是稀疏的［7－8］。MP算法是信號(hào)稀疏分解的一種有效算法。MP算法應(yīng)用于DOA估計(jì)時(shí)，算法通過(guò)確定一個(gè)來(lái)自大冗余矢量集的小的矢量子集來(lái)選擇信號(hào)分解的一個(gè)基，將其匹配給定陣列數(shù)據(jù)矢量。這個(gè)矢量集通過(guò)天線(xiàn)陣元的可能輸出建模，選擇這些陣元的正確的線(xiàn)性組合問(wèn)題就等效選擇準(zhǔn)確的DOA。

考慮N單元天線(xiàn)陣。這些陣的輸出是一個(gè)N×1的矢量x。通常x對(duì)應(yīng)來(lái)自不同方向信號(hào)的線(xiàn)性組合。如果考慮x的第i和第j單元，則xi和xj包含不同相移的相同信號(hào)，且依賴(lài)于入射信號(hào)的DOA和它們之間的距離。DOA估計(jì)問(wèn)題就是從觀測(cè)數(shù)據(jù)x分辨每一入射信號(hào)的DOA。

基于匹配追蹤算法DOA估計(jì)的系統(tǒng)模型如圖1所示，天線(xiàn)接收的信號(hào)經(jīng)接收機(jī)放大、濾波和下變頻之后再進(jìn)行數(shù)字化，輸入匹配追蹤算法模塊的為數(shù)字陣列數(shù)據(jù)，字典中存儲(chǔ)用于MP算法分解的信號(hào)原子。

假設(shè)入射信號(hào)波前為平面波。接收信號(hào)矢量為x，對(duì)于等距線(xiàn)性陣列（ULA），字典D為：

式中，φi為信號(hào)來(lái)自θi的陣元間的相位差，φi＝2πd／λcos（θi），λ為波長(zhǎng)，d為陣元間距。

圖1 基于匹配追蹤算法DOA估計(jì)的系統(tǒng)模型

對(duì)于（1）式中的DOA，其可能范圍分為N部分，形成DOA估計(jì)問(wèn)題的原子，這些原子構(gòu)成字典D。大小為M×1的接收信號(hào)矢量是字典D的列和噪聲的線(xiàn)性組合，依賴(lài)于入射信號(hào)的DOA。因此，DOA估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為尋找D的列的正確線(xiàn)性組合的問(wèn)題。

當(dāng)信號(hào)只來(lái)自一個(gè)獨(dú)立的角度時(shí)，問(wèn)題很直接，基于匹配追蹤算法選擇D的列使其與接收信號(hào)矢量x的內(nèi)積最大，達(dá)到最佳匹配。然而當(dāng)信號(hào)來(lái)自更多方向時(shí)，x是D的列線(xiàn)性組合，嘗試每一可能的線(xiàn)性組合將給出問(wèn)題的最大似然解。匹配追蹤算法的原子選擇具有很大的靈活性，可根據(jù)先驗(yàn)信息或預(yù)定的分辨率和扇形區(qū)域確定字典中的原子。MP算法通過(guò)選擇字典D的列構(gòu)成分解陣列接收矢量x的原子，這些列原子就對(duì)應(yīng)于所需估計(jì)的信號(hào)DOA，同時(shí)算法還返回這些列原子的系數(shù)，系數(shù)對(duì)應(yīng)DOA估計(jì)的幅度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)和分析

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，進(jìn)行下列計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)。仿真中采用16陣元的等距線(xiàn)陣，陣元間距為半波長(zhǎng)。

對(duì)于輻射源為線(xiàn)性調(diào)頻波形，分別仿真了單個(gè)輻射源（入射角為10°）和三個(gè)輻射源（入射角為10°、35°和65°）情況。圖2給出了單個(gè)輻射源的信號(hào)波形和到達(dá)角分布圖。從圖2可以看出：對(duì)于單個(gè)LFM輻射源，MP算法在入射信號(hào)角度處形成一個(gè)尖銳的峰值，準(zhǔn)確給出入射信號(hào)的DOA估計(jì)。

圖3給出了三個(gè)輻射源的到達(dá)角分布圖。從圖3可以看出：對(duì)于三個(gè)LFM輻射源，MP算法在三個(gè)入射信號(hào)角度處形成尖銳的峰值，準(zhǔn)確給出入射信號(hào)的DOA估計(jì)，同時(shí)圖中也出現(xiàn)了估計(jì)的誤差余量，但誤差余量相對(duì)于信號(hào)DOA非常小，對(duì)DOA估計(jì)結(jié)果的影響幾乎可以忽略不計(jì)。

圖2 單個(gè)LFM輻射源的到達(dá)角分布圖

圖3 三個(gè)LFM輻射源的到達(dá)角分布圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文的分析仿真表明，基于匹配追蹤的DOA估計(jì)算法具有比常用波束形成和子空間類(lèi)算法優(yōu)越的性能，該算法可以同時(shí)給出輻射源的DOA和其對(duì)應(yīng)的幅度輸出，算法不要求入射輻射源數(shù)目的先驗(yàn)知識(shí)，無(wú)需預(yù)處理，另外算法不受來(lái)自不同輻射源信號(hào)的相關(guān)性的影響，這一點(diǎn)在多徑情況下具有實(shí)用價(jià)值，而且算法在低信噪比和小快拍數(shù)的情況下仍具有較好的到達(dá)角分辨特性?！?/p>

［1］ Schmidt RO.Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］.IEEE Trans.on Antennas and Propagation，1986，34：176－280.

［2］ Roy R，Kailath T.ESPRIT－estimation of signal parameters via rotational invariance techniques［J］.IEEE Trans.on Acoust.，Speech，Signal Processing，1989，37：984－995.

［3］ Roy R，Paulraj A，Kailath T.ESPRIT－A subspace rotation approach to estimation of parameters of cisoids in noise［J］.IEEE Trans.ASSP，1986，34（5）：1340－1342.

［4］ Stoica P，Sharman K.Maximum likelihood methods for direction－of－arrival estimation［J］.IEEE Trans.on A－coustics，Speech，Signal Processing，38（7）：1132－1143，1990.

［5］ Stoica P，Nehorai A.MUSIC，maximum likelihood，and Cramer－Rao bound［J］.IEEE Trans.on Acoustics，Speech，Signal Processing，37（5）：720－741，1989.

［6］ Mallat S，Zhang Z.Matching pursuits with time－frequency dictionaries［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，1993，41（12）：3397－3415.

［7］ Karabulut GZ，Kurt T，Yongacoglu A.Estimation of directions of arrival by matching pursuit（EDAMP）［J］.EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking，2005，2：197－205.

［8］ Cotter SF.A two stage matching pursuit based algorithm for DOA estimation in fast time－varying environments［C］∥Wales，UK：Proceedings of 15thIntl.Conf.on Digital Signal Processing，2007：63－66.