鄭生華,李景峰
(中國(guó)電子科技集團(tuán)第三十八研究所,安徽合肥230088)
在雷達(dá)、聲納、通信和電子戰(zhàn)等領(lǐng)域中,確定接收信號(hào)的DOA參數(shù)具有重要意義。DOA估計(jì)的波束形成法將陣列輸出加權(quán)求和,使陣列天線(xiàn)方向圖主瓣指向所需方向上,對(duì)期望信號(hào)得到最大輸出功率的方向?yàn)樾盘?hào)源的DOA估計(jì)值。在波束形成器中,Bartlett波束形成器基于經(jīng)典Fourier分析對(duì)傳感器陣列數(shù)據(jù)進(jìn)行延時(shí)相加處理,使波束形成器的輸出功率對(duì)于某個(gè)入射信號(hào)為最大。和周期譜圖譜估計(jì)類(lèi)似,其分辨率低。為了克服這個(gè)缺點(diǎn),Capon最小方差法使用一部分自由度在期望觀測(cè)方向形成一個(gè)波束,同時(shí)利用剩余的自由度在干擾信號(hào)方向形成零陷來(lái)提高Bartlett波束形成器的性能。
波束形成器分辨率受限于瑞利限,而天線(xiàn)的波束寬度與陣列的孔徑密切相關(guān),為了獲得超過(guò)瑞利限的更高DOA分辨率,可采用基于子空間的超分辨算法。其中,典型代表是Schmidt提出的多重信號(hào)分類(lèi)(MUSIC)算法[1]和Roy等人提出的借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)(ESPRIT)算法及其修正算法[2-3]。這些算法是把線(xiàn)性空間概念引入到參數(shù)估計(jì)中,屬于特征結(jié)構(gòu)的子空間方法。其中,MUSIC算法通過(guò)構(gòu)建所謂的MUSIC空間譜,根據(jù)其譜峰所對(duì)應(yīng)的角度來(lái)確定DOA。由文獻(xiàn)[1]的分析可知,只要數(shù)據(jù)長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)或信噪比足夠高,且信號(hào)模型準(zhǔn)確,MUSIC算法就可得到任意精度的DOA估計(jì)值。但在低信噪比和小樣本情況下,分辨率損失較大,尤其對(duì)于高度相關(guān)信號(hào)更是如此。ESPRIT算法采用對(duì)稱(chēng)子陣的特殊陣列結(jié)構(gòu),根據(jù)子陣輸出協(xié)方差矩陣之間的旋轉(zhuǎn)不變性估計(jì)信號(hào)參數(shù)?;谔卣髯涌臻g的DOA估計(jì)算法,為了準(zhǔn)確獲得信號(hào)子空間,需具有空間信號(hào)源數(shù)目的先驗(yàn)知識(shí),或通過(guò)估計(jì)來(lái)確定信號(hào)源的數(shù)目。通過(guò)對(duì)以上常用DOA估計(jì)算法的研究和最大似然算法[4-5]思想的啟發(fā),本文提出了基于匹配追蹤原理的多輻射源DOA估計(jì)新算法。該算法的主要優(yōu)點(diǎn)有:低信噪比下增強(qiáng)的分辨率;不需要信源數(shù)的先驗(yàn)信息;不受不同方向到達(dá)信號(hào)相干性的影響且算法直接給出DOA估計(jì)值及其對(duì)應(yīng)的幅度等。
匹配跟蹤算法[6](MP)是Mallat和Zhang提出的一種信號(hào)稀疏表示的基于迭代的貪心算法。算法將任意信號(hào)分解為一個(gè)從冗余字典中選擇函數(shù)波形的線(xiàn)性展開(kāi),選擇這些函數(shù)波形使其與信號(hào)結(jié)構(gòu)最匹配,從而在一個(gè)冗余波形集上展開(kāi)函數(shù)。
設(shè)H為一Hilbert空間,D=(gγ)γ∈Γ,‖gγ‖=1為此空間的過(guò)完備字典。對(duì)于字典D,如果其中的原子能夠張成N維歐式空間RN,則D稱(chēng)為完備字典,而當(dāng)原子的數(shù)目Γ>N時(shí),字典D是冗余的,如果還能張成N維歐式空間RN,則稱(chēng)此時(shí)的字典是過(guò)完備的。令f∈H,在D中選擇的一個(gè)矢量集上,計(jì)算f的一個(gè)線(xiàn)性展開(kāi),使其與信號(hào)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)最匹配,這可通過(guò)f在D中元素上的正交投影逐次逼近得到。
令gγ0∈D,則f可分解為:
式中,Rf是分解后的余量,顯然,f在gγ0方向上分解逼近后,gγ0與Rf正交,因此下式成立:
為了最小化‖Rf‖,應(yīng)該選擇gγ0∈D使|〈f,gγ0〉|最大化,即可找到一個(gè)gγ0在如下意義上是最佳的:
式中,α是優(yōu)化因子,0<α≤1。
MP算法通過(guò)迭代將Rf再次分解,將其投影到D中一個(gè)矢量上,使其與Rf最佳匹配,這個(gè)過(guò)程重復(fù)進(jìn)行,然后得到下一個(gè)余量。
令R0f=f,假設(shè)已經(jīng)計(jì)算出的第n次分解后的余量為Rnf,n≥0,按照上述步驟選擇一個(gè)元素gγ0∈D與余量Rnf匹配,使其滿(mǎn)足:
Rnf再次分解的表示式為:
顯然,n+1階余量Rn+1f與gγn正交。
經(jīng)過(guò)m次迭代分解,信號(hào)f就被分解為:
進(jìn)一步可表示為:
同樣,‖f‖2可表示為:
由式(6)得到能量守恒方程:
通過(guò)選擇字典元素,使其不斷與分解余量最佳匹配,在第m步時(shí)滿(mǎn)足迭代終止準(zhǔn)則,則信號(hào)f被分解為字典元素的一個(gè)和,這種分解是非線(xiàn)性的,則通過(guò)式(8)的和式恢復(fù)信號(hào),逼近誤差為Rmf。
在DOA估計(jì)中,一般只有少數(shù)方向上包含入射到陣面上的信號(hào)。因此,DOA估計(jì)問(wèn)題的解是稀疏的[7-8]。MP算法是信號(hào)稀疏分解的一種有效算法。MP算法應(yīng)用于DOA估計(jì)時(shí),算法通過(guò)確定一個(gè)來(lái)自大冗余矢量集的小的矢量子集來(lái)選擇信號(hào)分解的一個(gè)基,將其匹配給定陣列數(shù)據(jù)矢量。這個(gè)矢量集通過(guò)天線(xiàn)陣元的可能輸出建模,選擇這些陣元的正確的線(xiàn)性組合問(wèn)題就等效選擇準(zhǔn)確的DOA。
考慮N單元天線(xiàn)陣。這些陣的輸出是一個(gè)N×1的矢量x。通常x對(duì)應(yīng)來(lái)自不同方向信號(hào)的線(xiàn)性組合。如果考慮x的第i和第j單元,則xi和xj包含不同相移的相同信號(hào),且依賴(lài)于入射信號(hào)的DOA和它們之間的距離。DOA估計(jì)問(wèn)題就是從觀測(cè)數(shù)據(jù)x分辨每一入射信號(hào)的DOA。
基于匹配追蹤算法DOA估計(jì)的系統(tǒng)模型如圖1所示,天線(xiàn)接收的信號(hào)經(jīng)接收機(jī)放大、濾波和下變頻之后再進(jìn)行數(shù)字化,輸入匹配追蹤算法模塊的為數(shù)字陣列數(shù)據(jù),字典中存儲(chǔ)用于MP算法分解的信號(hào)原子。
假設(shè)入射信號(hào)波前為平面波。接收信號(hào)矢量為x,對(duì)于等距線(xiàn)性陣列(ULA),字典D為:
式中,φi為信號(hào)來(lái)自θi的陣元間的相位差,φi=2πd/λcos(θi),λ為波長(zhǎng),d為陣元間距。
圖1 基于匹配追蹤算法DOA估計(jì)的系統(tǒng)模型
對(duì)于(1)式中的DOA,其可能范圍分為N部分,形成DOA估計(jì)問(wèn)題的原子,這些原子構(gòu)成字典D。大小為M×1的接收信號(hào)矢量是字典D的列和噪聲的線(xiàn)性組合,依賴(lài)于入射信號(hào)的DOA。因此,DOA估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為尋找D的列的正確線(xiàn)性組合的問(wèn)題。
當(dāng)信號(hào)只來(lái)自一個(gè)獨(dú)立的角度時(shí),問(wèn)題很直接,基于匹配追蹤算法選擇D的列使其與接收信號(hào)矢量x的內(nèi)積最大,達(dá)到最佳匹配。然而當(dāng)信號(hào)來(lái)自更多方向時(shí),x是D的列線(xiàn)性組合,嘗試每一可能的線(xiàn)性組合將給出問(wèn)題的最大似然解。匹配追蹤算法的原子選擇具有很大的靈活性,可根據(jù)先驗(yàn)信息或預(yù)定的分辨率和扇形區(qū)域確定字典中的原子。MP算法通過(guò)選擇字典D的列構(gòu)成分解陣列接收矢量x的原子,這些列原子就對(duì)應(yīng)于所需估計(jì)的信號(hào)DOA,同時(shí)算法還返回這些列原子的系數(shù),系數(shù)對(duì)應(yīng)DOA估計(jì)的幅度。
為了驗(yàn)證所提方法的有效性,進(jìn)行下列計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)。仿真中采用16陣元的等距線(xiàn)陣,陣元間距為半波長(zhǎng)。
對(duì)于輻射源為線(xiàn)性調(diào)頻波形,分別仿真了單個(gè)輻射源(入射角為10°)和三個(gè)輻射源(入射角為10°、35°和65°)情況。圖2給出了單個(gè)輻射源的信號(hào)波形和到達(dá)角分布圖。從圖2可以看出:對(duì)于單個(gè)LFM輻射源,MP算法在入射信號(hào)角度處形成一個(gè)尖銳的峰值,準(zhǔn)確給出入射信號(hào)的DOA估計(jì)。
圖3給出了三個(gè)輻射源的到達(dá)角分布圖。從圖3可以看出:對(duì)于三個(gè)LFM輻射源,MP算法在三個(gè)入射信號(hào)角度處形成尖銳的峰值,準(zhǔn)確給出入射信號(hào)的DOA估計(jì),同時(shí)圖中也出現(xiàn)了估計(jì)的誤差余量,但誤差余量相對(duì)于信號(hào)DOA非常小,對(duì)DOA估計(jì)結(jié)果的影響幾乎可以忽略不計(jì)。
圖2 單個(gè)LFM輻射源的到達(dá)角分布圖
圖3 三個(gè)LFM輻射源的到達(dá)角分布圖
本文的分析仿真表明,基于匹配追蹤的DOA估計(jì)算法具有比常用波束形成和子空間類(lèi)算法優(yōu)越的性能,該算法可以同時(shí)給出輻射源的DOA和其對(duì)應(yīng)的幅度輸出,算法不要求入射輻射源數(shù)目的先驗(yàn)知識(shí),無(wú)需預(yù)處理,另外算法不受來(lái)自不同輻射源信號(hào)的相關(guān)性的影響,這一點(diǎn)在多徑情況下具有實(shí)用價(jià)值,而且算法在低信噪比和小快拍數(shù)的情況下仍具有較好的到達(dá)角分辨特性?!?/p>
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