螺紋單一中徑的三針和量球法測量

劉遠模

(成都艾立特螺紋工具有限公司，成都 610512)

0　引言

本文從三針法測量外螺紋和量球法測量內(nèi)螺紋時的空間笛卡爾坐標系，阿基米德螺旋面的參數(shù)方程出發(fā)，由測量接觸點的單位法向量并用向量和關(guān)系求出該點曲線坐標和測量關(guān)系式導出檢驗計算和測試計算步驟，提供了用于數(shù)據(jù)驗證的計算程序。

1　外螺紋的三針量法和內(nèi)螺紋的量球測量法

外螺紋尤其是精密螺紋(如螺紋塞規(guī))單一中徑常用三針量法測量，如圖1所示。測量時圓柱形狀的量針軸線與螺紋軸線處于空間交叉位置，且量針與螺紋兩牙側(cè)曲面(軸向截型為直線的阿基米德螺旋面)分別接觸于一點，求出其曲線坐標及相關(guān)的計算方法。

圖1　用三針跨線測量外螺紋

圖2　用量球測量內(nèi)螺紋

內(nèi)螺紋尤其是精密螺紋(如螺紋環(huán)規(guī))單一中徑可用量球法測量，如圖2所示。測量時量球與螺紋兩牙側(cè)曲面分別接觸于一點，求出其曲線坐標及相關(guān)的計算方法。

1.1　空間坐標系的建立

在螺紋的一側(cè)槽中放置單根量針，在直徑對面的兩個對稱槽中放置另兩根相同直徑的量針，用適當?shù)臏y力測量這三根量針之間的跨線距離M，就可計算所述單根量針所在位置的螺紋單一中徑。在圖1中，建立笛卡爾空間坐標系Oxyz：沿螺紋軸線建立OZ軸，單個量針的軸線在OZ軸上的投影點O作為坐標系原點，兩軸線為空間交叉直線，其距離為A，從點O沿垂直于量針軸線的方向建立OX軸，按右旋系統(tǒng)建立Y軸。顯然，OX軸同時垂直于上述兩軸線。OX軸與OZ軸的交點為O，與量針軸線的交點為O′，線段OO′=A(=m/2)。

沿OX軸并垂直于量針軸線的平面與量針的截形為直徑ω的圓，在量針和螺紋都為剛體情況下，量針與螺紋的兩螺旋面的接觸點分別為點a和b，他們是量針的圓柱面與螺紋左右牙側(cè)螺旋面的交點，每一個測量接觸點都有一個公切面也就有一條公法線，根據(jù)靜力學原理，這是交點的支承反力方向。顯然，在XOZ平面中量針截形為橢圓，且不與螺紋截形接觸，盡管螺紋截形為軸向截形。

在圖2中，建立笛卡爾空間坐標系Oxyz：沿螺紋軸線建立OZ軸，量球球心為O＇，它在OZ軸上的投影點O作為坐標系原點，線段OO′=A(=m/2)，沿OO′方向建立OX軸，按右旋系統(tǒng)建立Y軸。

螺紋的左牙側(cè)角為a1，右牙側(cè)角為a2，導程為L，螺距為P，線數(shù)為n，顯然L=nP。

在以后式中出現(xiàn)雙號±或?,上號用于外螺紋,下號用于內(nèi)螺紋。

由△cde和△dgf分別得

(1)

(2)

1.2　曲線坐標的計算

右旋左右側(cè)螺旋面表達式分別為

(3)

(4)

式中，l 為螺旋參數(shù)，l =L/(2p )，它是動點繞螺紋軸線轉(zhuǎn)動單位弧度沿螺紋軸線所移動的距離。當l =0時，式(3)和(4)表示V型圓環(huán)槽的左右側(cè)圓錐面表達式，這是螺紋曲面在l =0時的特例。

式(3)、(4)分別是左、右側(cè)螺旋面上動點在高斯坐標系中的曲線坐標(r，θ)、(r1，θ1)與直角坐標之間關(guān)系式。對于坐標曲線r和θ，當r=常數(shù)時，坐標曲線θ為一條螺旋線；當θ=常數(shù)時，坐標曲線r為一條螺紋軸向截形直線。坐標曲線r1，θ1情況類似。

左右側(cè)單位法向量N和N1[3]分別為

(5)

式中

(5a)

(6)

式中

(6a)

上述兩式中，i、j和k分別是笛卡爾坐標系X、Y和Z軸的單位向量。

1.2.1左側(cè)曲線坐標的計算

由向量和Oa+aO′=OO′可得(xi+yj+zk)+0.5ωN=Ai，于是

(7)

(7a)

(7b)

由式(7a)得

(8)

顯然，由式(8)可知θ為正，這對于外螺紋是毋庸置疑的，即使對于內(nèi)螺紋也是對的，因為r>ω/2且T>tana1，所以分母也為正。由式(7b)可得

(9)

1.2.2右側(cè)曲線坐標的計算

由向量和Ob+bO′=OO′可得(x1i+y1j+z1k)+0.5ωN1=Ai，于是

(9a)

(9b)

(9c)

由式(9b)可得

(10)

由式(10)可知，當分母為正時θ1為負，對于外螺紋分母當然為正，對于內(nèi)螺紋因為r1>ω/2且T1>tana2，所以分母也為正。

式(9a)與(9b)聯(lián)解，即sinθ1×(9a)-cosθ1×(9b)再代入式(9a)得

(11)

由式(9c)和式(1)分別得

(11a)

r01=[r0(tana1+tana2)-

(11b)

1.3　運算

1.3.1迭代運算的初始化

令l =0，由式(8)和式(10)可知θ=0和θ1=0，這是V型圓環(huán)槽，于是由式(5a)、(6a)、(9)分別得

T=seca1，T1=seca2

r=r01±0.5ωcosa1cota1

(11c)

又由式(7)與(9a)聯(lián)解得

r1=r±0.5ω(sina1-sina2)

(11d)

再由式(11a)、(11b)、(11d)和(7)可得

r02=r1?0.5ωcosa2cota2

(11e)

(11f)

A=r±0.5ωsina1

(11g)

用量針對V型圓環(huán)槽的三針跨線測量見圖3，用量球?qū)型圓環(huán)槽的測量見圖4。用此兩圖不難證明上述式(11c)～(11g)是正確的。這也旁證了螺紋測量公式的正確性，因為V型圓環(huán)槽的三針跨線測量和量球測量分別是螺紋三針跨線測量和螺紋量球測量的特例。

圖3　V型圓環(huán)槽的三針跨線測量

圖4　用量球測量V型圓環(huán)槽

三針跨線測量計算可分為兩種：檢驗計算是根據(jù)中徑d2求跨線測量值M或m；測試計算是根據(jù)跨線測量值M或m求實測中徑d2。前者主要用于加工檢驗和成批驗收檢驗，后者主要用于校準或標定檢驗。

1.3.2檢驗計算

已知螺紋類型、d2(D2)、a1、a2、n、P、ω按下述順序計算：

1)初始值計算：式(2)計算r0→式(11f)、(11c)、(11d)和(11e)計算r01、r、r1和r02初始值。

2)迭代計算：以θ=0作為初始值代入式(9)然后與式(8)迭代→將達到某一準確度(例如1×10-7)的r和θ值代入式(7)計算A→代入式(11)迭代計算出r1，代入式(10)得θ1值→代入式(11b)計算r01→再按式(9)與(8)重復進行迭代計算直到r01達到某一準確度為止。

于是此時兩測量接觸點(圖中a和b點)的曲線坐標分別為(r，θ)和(r1，θ1)。所獲得的A值是滿足兩測量接觸點的量針軸線與螺紋軸線之間距離或量球球心與螺紋軸線之間距離。

三針跨線測值或量球跨球測值M為

M=2A±ω

(12)

令l =0，將式(11c)、(11f)和式(2)代入式(11g)并令A0=A得

再代入式(12)得M0

(12a)

M0=d2±C

(12b)

式中：C為三針測量常數(shù)，按下式計算

(12c)

顯然

m=2A

(12d)

(12e)

斜置誤差Δ為

Δ=M-M0=m-m0

(13)

M=M0+Δ=d2+C+Δ

(14)

(14a)

d2=M-Δ-C

(15)

(15a)

檢驗計算由式(12a)和(12)分別求出跨線(球)測量值M0和M或(12e)和(12d)分別求出量球或跨線中心距m0和m，用式(13)獲得斜置誤差Δ，對于外螺紋Δ為正值，對于內(nèi)螺紋Δ為負值，再由式(14)計算M或用式(14a)計算m，實際測量時對M或m的偏差就是中徑d2的偏差。

1.3.3測試計算

測試計算由測得的M或m用下式計算A

A=(M?ω)/2=m/2

(15b)

類似于式(11)的證明可得

(15c)

測試計算步驟：用式(11g)和(11d)分別求出初始值r和r1→用式(15c)迭代求解r，代入式(8)得θ→用式(7b)計算r01→用式(11)迭代求解r1，代入式(10)得θ1→由式(11a)計算r02→又用式(1)和(2)計算中徑d2。斜置誤差用式(12a)或(12e)和(13)計算。

1.4　討論

1.4.1兩種計算的關(guān)系

檢驗計算d2→M；測試計算M→ d2。正計算與反計算的已給值和所求值應該是可逆的，理論上應該相同，但由于四舍五入誤差，在準確到小數(shù)后四位時，有0.0001mm的誤差是可能的。

1.4.2Berndt公式結(jié)果差異原因

由圖1或圖2可知，量針或量球與兩牙側(cè)接觸各有一個接觸點，于是他們的曲線坐標分別為(r，θ)和(r1，θ1)，求出這些曲線坐標值就能為正確獲得所需答案提供有效途徑。但是Berndt公式[2]在計算鋸齒螺紋時只有一個輔助角θ，因此這是其計算結(jié)果出現(xiàn)差異的原因。

1.4.3對稱螺紋表達式

如果a1=a2=a /2，即對于對稱螺紋代入上述各式就可得所求。對于V型圓環(huán)槽即l =0，由式(12c)、(12a)分別得

M0=d2±ω[1+1/sin(a /2)]?0.5Pcot(a /2)

由式(11f)、(1)和(2)可得

由式(11d)和(11c)得

迭代時初始值用上述r1、r、θ=0和θ1=0，于是迭代后的結(jié)果r1=r，θ和θ1絕對值相等但符號相反。因此可一側(cè)迭代計算獲得結(jié)果。

跨線測量時，量針的跨線距離M與量針軸線距離m之間關(guān)系為

m=M-ω=2A；M=m+ω= 2A+ω

Berndt公式是用測值m計算實測中徑d2。

2　程序簡介

為了進一步理解前面的論述，有必要舉出有代表性的計算實例說明。應用作者所編圖5所示程序可以方便的得出數(shù)據(jù)，其中作者所述方法在此稱為“準確” 方法，另外兩種方法用人名稱謂，Berndt和蘇宗康公式將另文討論。

圖5

程序“螺紋單一中徑的計算”

程序見圖5。斜置誤差Δ1按下述公式計算

Δ1=m-m0

(16)

=M-M0

(17)

=d20-d2

(18)

式(17)一般用于外螺紋跨線測量，也可用于內(nèi)螺紋，式(16)內(nèi)外螺紋測量都適用。對于外螺紋Δ1為正值，對于內(nèi)螺紋為負值。測試計算可用式(18)計算，也可用式(16)計算。

測力所引起的壓陷誤差Δ2[1]，斜置測力綜合誤差Δ12按下式計算

Δ12=Δ1﹢Δ2

修正量k是誤差Δ的反號值。修正量用于測試計算，誤差用于檢驗計算。

程序中有4個框架：螺紋類型用于選擇內(nèi)或外螺紋；螺紋種類用于選擇公制或英制螺紋，公制螺紋要求輸入螺距，英制螺紋要求輸入牙數(shù)/25.4，但其它長度尺寸單位仍為mm；計算類型選擇測試計算或檢驗計算；計算方法三種方法之一，即“準確”、“Berndt”或“蘇宗康”。下面的用于輸入數(shù)字的文本框，當某一文本框輸入后，按“Enter”鍵光標跳到下一個文本框中準備繼續(xù)輸入，當然也可用鼠標點擊獲得焦點。當光標跳到測力文本框后，如果只了解斜置誤差情況，不必輸入測力，對于外螺紋如果計算方法是“Berndt”或“蘇宗康”之一，輸入測力值也沒用，輸入值會變?yōu)?，對于內(nèi)螺紋一般測力較小且是比較測量所以測力為0，焦點在測力文本框中(即光標在該框中閃耀)，按Enter鍵焦點進入“輸入確認”命令按鈕，按Enter鍵焦點進入“計算”按鈕，再按Enter鍵于是在計算結(jié)果文本框中顯示所需內(nèi)容。

3　結(jié)束語

三針跨線或量球測量的準確計算是根據(jù)量針或量球與牙側(cè)曲面接觸點的高斯坐標系中曲線坐標與笛卡爾空間坐標系之間關(guān)系，應用該點接觸相切獲得單位公法線向量并應用向量和的簡單關(guān)系，求解曲線坐標，進而求出所需關(guān)系式得出檢驗計算或測試計算所需答案。

本文推導過程簡單，所得公式是通式，適用于鋸齒螺紋和對稱螺紋，螺旋升角很大的多頭螺紋和很小的單頭螺紋，也適用于用V型圓環(huán)槽推導的測量[4]。給出程序便于應用。

計算示例及其相應的結(jié)論將另文詳述，該文還將詳細討論Berndt公式和蘇宗康公式。

作者給出了“螺紋單一中徑的計算”程序，方便讀者應用。該軟件可向電子郵箱yuanmoliu@163.com免費索取。

[1]劉遠模.三針測量螺紋的測力壓陷計算公式的推導.機械工業(yè)標準化與質(zhì)量.2011(4):27-31

[2]EA Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread Gauges by Mechanical Probing EA-10/10，P10，P20

[3]數(shù)學手冊編寫組.數(shù)學手冊.北京:人民教育出版社，1979:415-416

[4]劉遠模.鋸齒螺紋的三針測量.計量技術(shù)雜志，2011(11)