基于條件數(shù)理論的加速度計(jì)校準(zhǔn)方案優(yōu)化*

董雪明　關(guān)　偉　何懿才　孟曉風(fēng)　馬博禹

(1.中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095；2.北京航空航天大學(xué) “慣性技術(shù)”重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191 )

0　引言

隨著武器裝備準(zhǔn)確度的要求越來越高，對(duì)慣性器件也提出了更高的要求。線加速度計(jì)作為慣性器件的重要組成之一，其重要性不言而喻。

常用的線加速度計(jì)靜態(tài)校準(zhǔn)主要有兩種：一是重力場(chǎng)法校準(zhǔn)[1]，二是精密離心機(jī)法校準(zhǔn)[2]。其中，精密離心機(jī)法考核的是線加速度計(jì)全量程特性，關(guān)注的是線加速度計(jì)整個(gè)量程內(nèi)的性能，與實(shí)際使用情況接近。與重力場(chǎng)法相比，精密離心機(jī)法分離出的線加速度計(jì)高階系數(shù)具有更高準(zhǔn)確度等優(yōu)點(diǎn)，在線加速度計(jì)精密校準(zhǔn)中具有重要意義。

我們對(duì)校準(zhǔn)方案的具體實(shí)施細(xì)節(jié)不斷探索，對(duì)誤差模型的分析、建立和補(bǔ)償技術(shù)做了大量的研究工作，以求提高其校準(zhǔn)精度和使用精度。本文主要關(guān)注校準(zhǔn)點(diǎn)選取的問題。

1　基于條件數(shù)理論的校準(zhǔn)點(diǎn)選取

校準(zhǔn)點(diǎn)個(gè)數(shù)的選取一般應(yīng)滿足n>4(m+2)的原則，其中n為校準(zhǔn)點(diǎn)個(gè)數(shù)，m為加速度計(jì)校準(zhǔn)模型方程系數(shù)的個(gè)數(shù)[3]。一般是按照選定校準(zhǔn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)在全量程范圍內(nèi)均布，對(duì)于客戶關(guān)心的校準(zhǔn)點(diǎn)，可以特別給出或按客戶要求選擇，但校準(zhǔn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能減少。確定校準(zhǔn)點(diǎn)以后，利用精密離心機(jī)提供給定的標(biāo)準(zhǔn)加速度序列對(duì)加速度計(jì)進(jìn)行校準(zhǔn)，并采集對(duì)應(yīng)的加速度計(jì)的輸出。然后利用最小二乘法進(jìn)行擬合，分離出模型方程系數(shù)。

本文討論采用的加速度計(jì)校準(zhǔn)模型為：

y=k0+k1a+k2a2+k3a3

y是被校準(zhǔn)加速度計(jì)的輸出，單位是V；a是輸入的標(biāo)準(zhǔn)加速度，單位是本地重力加速度，g；ki(i=0，1，2，3)是加速度計(jì)模型系數(shù)，單位分別是V，V/g，V/g2，V/g3。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)加速度序列(a1，a2，…,am)的校準(zhǔn)，得到一系列的方程，寫成矩陣形式是：

(2)

令

則得到如下方程組：

Ax=b

(3)

其對(duì)應(yīng)的線性最小二乘的正規(guī)方程組為：

ATAx=ATb

(4)

式(4)稱為按最小二乘準(zhǔn)則得到的正規(guī)方程。只要正規(guī)方程中的ATA滿秩，矩陣(ATA)-1存在，就可以通過矩陣求逆的方法得到回歸參數(shù)向量的唯一估計(jì)[4]。在加速度計(jì)精密離心機(jī)校準(zhǔn)中，此條件一般都是滿足的。因此，得到正規(guī)方程的解為：

x=(ATA)-1ATb

(5)

這里討論的是b的擾動(dòng)引起的關(guān)于x的相對(duì)誤差界[5，6]。設(shè)式右端存在擾動(dòng)δb，則最小二乘解亦有擾動(dòng)δx，則

ATA(x+δx)=AT(b+δb)

(6)

根據(jù)式(3)，可以得到：

ATAδx=ATδb

(7)

A+=(ATA)-1AT

(8)

稱為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆矩陣。

δx=A+δb

(9)

(10)

同時(shí)，由于

(11)

(12)

即條件數(shù)：

(13)

從式(12)可知，條件數(shù)可以用于衡量最小二乘解的誤差被放大的倍數(shù)。在精密離心機(jī)校準(zhǔn)中，一般是通過8位半數(shù)字電壓表對(duì)加速度計(jì)輸出進(jìn)行測(cè)量，可認(rèn)為δb是同一數(shù)量級(jí)的。對(duì)于相同數(shù)量級(jí)的擾動(dòng)δb，由于選擇的校準(zhǔn)點(diǎn)序列不同，得到的條件數(shù)是不同的，即不同的校準(zhǔn)點(diǎn)序列對(duì)校準(zhǔn)結(jié)果的影響是不一樣的。從條件數(shù)的角度考慮，選擇條件數(shù)較小的校準(zhǔn)點(diǎn)序列，是一個(gè)優(yōu)化校準(zhǔn)方案的思路。

2　實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

以模型為例，一般校準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)是：n>4(4+2)=24，這里取25個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)。由于慣性加速度計(jì)線性度都非常好，理論上，在線性區(qū)間內(nèi)取相同個(gè)數(shù)的校準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到的擬合結(jié)果是非常接近的。特別是高次項(xiàng)的變化非常小，因此在進(jìn)行3次項(xiàng)擬合之后，我們關(guān)注的是k0、k1和k2。在本例中，給出一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　精密離心機(jī)校準(zhǔn)加速度計(jì)數(shù)據(jù)

續(xù)表

在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中去除6個(gè)點(diǎn)(為保證對(duì)稱選點(diǎn)，實(shí)際上是去除3個(gè)加速度值對(duì)應(yīng)的校準(zhǔn)點(diǎn))，就可以得到25個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)。本文得到6組校準(zhǔn)點(diǎn)序列，進(jìn)行條件數(shù)計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表2　不同校準(zhǔn)點(diǎn)序列的條件數(shù)和模型系數(shù)比較

由表2可知，k0，k2在10-6量級(jí)附近變化；k1在10-7量級(jí)附近變化。對(duì)于當(dāng)前的校準(zhǔn)要求，如果模型系數(shù)的測(cè)量不確定度在10-6量級(jí)或更大，這些差異是可以忽略不計(jì)的。如果測(cè)量不確定度進(jìn)一步減小，則需要考慮到各項(xiàng)系數(shù)的這種差異。在實(shí)際校準(zhǔn)中，就有必要選擇合理的校準(zhǔn)點(diǎn)序列，來實(shí)現(xiàn)更高精度的校準(zhǔn)。

3　結(jié)論

從理論推導(dǎo)看，條件數(shù)小的校準(zhǔn)組，被校準(zhǔn)加速度計(jì)測(cè)量信號(hào)噪聲的影響相對(duì)較小，得到的加速度計(jì)校準(zhǔn)結(jié)果更為可信。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，在對(duì)稱取點(diǎn)的特殊要求下，本文實(shí)驗(yàn)得到的校準(zhǔn)序列所形成的條件數(shù)都在同一量級(jí)，對(duì)校準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的影響是很相近的。對(duì)于高精度的慣性加速度計(jì)而言，條件數(shù)的影響對(duì)常數(shù)項(xiàng)較為明顯。當(dāng)測(cè)量不確定度和條件數(shù)的影響在同一量級(jí)時(shí)，可以不考慮條件數(shù)的影響；當(dāng)校準(zhǔn)裝置、校準(zhǔn)技術(shù)繼續(xù)提高，對(duì)校準(zhǔn)結(jié)果的不確定要求進(jìn)一步提高時(shí)，可以把條件數(shù)作為優(yōu)選實(shí)驗(yàn)方案的指標(biāo)。

[1]GJB 1037A—2004單軸擺式伺服線加速度計(jì)試驗(yàn)方法[S]

[2]JJF 1116—2004線加速度計(jì)的精密離心機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范[S]

[3]IEEE 836-2009, Recommended Practice for Precision Centrifuge Testing of Linear Accelerometers[S]

[4]刑志棟，曹建榮.矩陣數(shù)值分析[M].西安: 陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2005: 57-61

[5]里德.數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算[M].北京: 清華大學(xué)出版社，2008: 144-149

[6]鮑特雷弗騰.數(shù)值線性代數(shù)[M].北京: 人民郵電出版社，2006: 78-82