型E7根系的結(jié)構(gòu)

閆愛民， 胡建華

（上海理工大學理學院，上海 200093）

根系在李理論的研究中起著極其重要的作用，根系中有兩種重要的關(guān)系：偏序關(guān)系和正交關(guān)系.對于型An（n≥1）的根系，文獻［1］將正根之間的這兩種結(jié)構(gòu)完全體現(xiàn)在一個n＋1階的嚴格上三角矩陣上，這里只需矩陣的（i，j）位置表示根α＝εi－εj，其中，εi＝（0 … 0 1 0 … 0 ）是n＋1維單位向量.α?β當且僅當α在β的右方、正上方；若存在某個i，劃去第i行第i列后也劃去了α與β，則α與β不正交，否則α與β正交.例A4中，正根αi＝εi－εi＋1，（i＝1，2，3，4），αi＋…＋αj＝εi－εj（1≤i＜j≤4）.用5階矩陣表示為

與α2＋α3正交的根有α1＋α2，α3＋α4，α1＋α2＋α3＋α4

對于型E的根系，哈斯圖很好地描述了它的偏序關(guān)系，但正交關(guān)系就不能表現(xiàn)出來.本文擬將具體地研究型E7的根系的性質(zhì)，建立E7的根系到有限域上向量空間的單射，用分層的手段討論E7的根系的偏序關(guān)系和正交關(guān)系.

設(shè)?n為實數(shù)域上n維歐氏空間，（，）表示內(nèi)積，對?α∈?n，對應(yīng)一個反射σα.對任意β∈?n，σα簡記為〈β，α〉，則σα（β）＝β－〈β，α〉α.

設(shè)Δ??n是一個秩為n的根系，Π＝為Δ的基礎(chǔ)根系，?表示整數(shù)集.對于?β∈Δ，可表示成若存在某個ki＞0（或ki＜0），就稱β為正根（或負根），稱為β的高度.Δ＝Δ＋∪Δ－，Δ＋＝－Δ－，其中Δ＋（Δ－）是Δ的所有正（負）根的集合.記Dyn表示Δ的Dynkin圖，Dyn的頂點為v1，…，vn，它們對應(yīng)單根α1，…，αn.

定義1［1］若Δ中所有根的長度相等，則稱Δ為等長根系.此時?β∈Δ，（β，β）＝2.

顯然型An（n≥1），Dn（n≥4），E6，E7，E8的不可約根系為等長根系，且當Δ是可約的等長根系時，其Dynkin圖的每一個連通子根系為型A，D，E的.

定義2［2］不可約根系Δ的最低根稱為仿射根，記為的Dynkin圖中添加仿射頂點得到的新圖稱為仿射Dynkin圖，其中仿射頂點對應(yīng)仿射根

下文中的Δ皆表示等長根系，可以是可約的.Λ＝?Δ表示由Δ，?－張成的格.

性質(zhì)1［3］對?α，β∈Δ且α≠±β，有〈β，α〉

性質(zhì)2［3］Δ＋是一個偏序集.對β，β′∈Δ＋，β?β′當且僅當β－β′是正根之和.

性質(zhì)3［4］α，β∈Δ，α＋β∈Δ當且僅當〈α，β〉＝－1；α－β∈Δ當且僅當〈α，β〉＝1.

性質(zhì)4［4］若Δ是可約的且Δ＝Δ1∪Δ2，則對于?α∈Δ1，β∈Δ2，〈α，β〉＝0.

為方便約定D2＝A1×A1，D3＝A3，E3＝A2× A1，E4＝A4，E5＝D5.

1 根系到有限秩自由模的單射

設(shè)p≥2是正整數(shù)，設(shè)V是?／p上的有限秩自由模，V上有一個對稱雙線性型（·｜·），且其在?／p上取值.設(shè)Γ＝｛x∈V＼｛0｝｜（x｜x）＝2｝.

假設(shè)Γ有一個子集S＝｛a1，a2，……，an｝滿足以下條件：

a.S中元素兩兩不同；

b.（αi｜αj）＝〈αi，αj〉（modp），

這里S中元素兩兩不同是必要的，否則如當p＞3，〈α1，α2〉＝－1時，（a1｜a2）＝〈α1，α2〉（modp）＝2（modp），（a1｜a2）＝〈α1，α2〉（modp）＝－1（modp）.

若a1＝a2，則有（a1｜a1）＝2（modp）＝（a1｜a2）＝－1（modp），2＝－1顯然矛盾.

顯然，通過自然擴展映射αiaai可得到映射

引理1 如果β，β′∈Λ，那么（f（β）｜f（β′））＝〈β，β′〉（modp）.

證明 由f的定義和內(nèi)積的雙線性，顯然.

推論1 若β≠±β′∈Δ，則〈β，β′〉＝0當且僅當（f（β）｜f（β′））＝0.

證明 因為β和β′是等長根系的根，〈β，β′〉∈｛－1，0，1｝，所以

〈β，β′〉＝0?〈β，β′〉＝0（modp）?（f（β）｜f（β′））＝0.

現(xiàn)在將f的定義域作以下限制：當p＞2時，定義域為Δ；當p＝2時，定義域為Δ＋.

對β∈Δ，記

引理2 當p＝2時，a.若O（β）＝Δ當且僅當β所在的不可約子根系為型A1的；

b.若O（β）≠Δ，則Δ＼O（β）的元只可能屬于Δ的包含β不可約子根系中.

證明 a.必要性：當β所在的不可約子根系為型A1時，此子根系只有根｛±β｝，且此時β與其它子根系中的所有元素都垂直，因此對?γ∈Δ＼｛±β｝有〈β，γ〉＝0，即O（β）＝Δ.

充分性：若O（β）＝Δ，且β所在的不可約子根系不是型A1的，則此子根系中至少存在α使得〈β，α〉≠0，與O（β）＝Δ矛盾.

b.若O（β）≠Δ，一定存在α∈Δ＼O（β）使得〈β，α〉≠0，α，β屬于同一個不可約根系中.若Δ＼O（β）的元素屬于Δ的多個不可約子根系，則一定存在α∈Δ＼O（β）與β不在同一不可約子根系中，則〈β，α〉＝0，α∈O（β），矛盾.所以Δ＼O（β）的元素只可能屬于Δ的包含β不可約子根系中.

引理3 當p＝2時，對β∈Δ，a.若Δ是型A2的，則O（β）＝｛±β｝；

b.若Δ是型Ak（k≥4），E6，E7，E8的，則O（β）分別是型Ak－2×A1，A5×A1，D6×A1，E7×A1的，且β屬于型A1的子根系中；

c.若Δ是型Dk（k≥3）的，則O（β）是型Ak－2× A1×A1，且β屬于型A1的子根系中.

證明 這里只需根據(jù)Δ型逐一驗證即可.

定理1 a.當p＞2時，f：Δ→V是單射，它的像位于Γ內(nèi)；

b.當p＝2時，f：Δ＋→V是單射，它的像位于Γ內(nèi).

證明 a.當p＞2時，?β∈Δ，〈β，β〉＝2，有（f（β）｜f（β））＝〈β，β〉（modp）＝2，因此f（Δ）?Γ.下證f是單射，假設(shè)β，β′∈Δ，f（β）＝f（β′），要證β＝β′.

對?γ∈Δ，（f（β）｜f（γ））＝（f（β′）｜f（γ）），由引理1得〈β，γ〉＝〈β′，γ〉（modp），因此O（β）＝O（β′），這意味著β和β′屬于Δ的同一個不可約子根系.分兩種情況討論：

（a）若該子根系為型A2的，對?γ∈Δ（A2），由〈β，γ〉＝〈β′，γ〉（modp），恒有β＝β′.

（b）若該子根系不為型A2的，由O（β）＝O（β′）推出β＝±β′.若β＝－β′，則對?γ∈Δ，〈－β′，γ〉＝〈β′，γ〉（modp），由性質(zhì)3，〈β′，γ〉＝｛－1，0，1，±2｝，矛盾，所以β＝β′.

b.當p＝2時，?β∈Δ＋，〈β，β〉＝2，所以f（Δ＋）??！龋?｝.因此只需證f（Δ＋）∪｛0｝→?！龋?｝是單射.設(shè)β，β′∈Δ＋∪｛0｝，f（β）＝f（β′），下證β＝β′.

同p＞2的情形，對所有的γ∈Δ，〈β，γ〉＝〈β′，γ〉（mod2）.由此O（β）＝O（β′）.

（a）當O（β）＝O（β′）＝Δ時，由引理2，β和β′要么為子根系A(chǔ)1的單根，要么為｛0｝.由于f限制到｛0，α1，α2，…，αn｝是單射，所以β＝β′.

（b）當O（β）＝O（β′）≠Δ時，由引理2，β和β′同屬于Δ＼O（β）所在的不可約子根系中.因此不妨假設(shè)Δ是不可約根系.

由引理3若Δ是型A2，Ak（k≥4），E6，E7，E8的，顯然β＝β′.若Δ是型Dk（k≥3）的，β和β′都屬于子根系A(chǔ)1（不一定是同一個）中.若β和β′屬于同一個A1，則有β＝β′.若它們不屬于同一個子根系A(chǔ)1中，Δ（Dk）的根是 ｛ εi±εj，i≠j｝ ??k.令β＝εi±εj，由O（β）＝O（β′），則β′＝εi?εj.因為f（2εj）＝f（β）－f（β′）＝0，所以對?l，f（2εl）＝2f（εl－εj）＋f（2εj）＝0

由此，對所有的m≠l，f（εm＋εl）＝f（εmεl）.特別對單根αk－1＝εk－1－εk，αk＝εk－1＋εk，f（εk－1－εk）＝f（εk－1＋εk），這與f限制到單根是單射，矛盾.故β和β′屬于同一個A1，有β＝β′.

2 型E7根系的結(jié)構(gòu)

2.1 型E7根系的分層

在向量空間?8中，E8根系為

基為Π＝｛αi：1≤i≤8｝ ， 具體為

型E7的根系為型E8的根系的子根系，其Dyn圖［4］如圖1所示.

圖1 型E7根系的Dyn圖Fig.1 Dynkin diagrams about root system of type E7

下面對型E7的根系進行分層.約定E7的單根的順序?qū)?yīng)根系的包含關(guān)系為

記

E7的正根滿足為了方便下一步的討論，將放在同一層仍記作

由此，E7對應(yīng)的分層其中于是En（3≤n≤7）的根系記則Δs和Δs′總是表示連續(xù)的層.E7的正根［5］分層為

定理2 ?β∈Δ＋s，β表示成α1，α2，…，αn的線性組合時系數(shù)ks＝1.

對每一層，Hs表示圖：其頂點為Δ＋s中的根；若β，β′∈Δ＋s，±（β－β′）為單根，則β和β′之間用一條邊連接.這樣的Hs為Δ＋s上的偏序圖，稱為哈斯圖，如圖2所示.哈斯圖很好地刻畫了Δ＋s上的偏序關(guān)系，但正交性并沒有從中體現(xiàn).

圖2 每一層的哈斯圖Fig.2 Hasse diagrams about every stratum

2.2 映射

Δ為E7的根系，p＝2.設(shè)F＝（?／2×?／2，⊕）表示非循環(huán)的四元群，分別用0，1，2，3代表（0，0）（0，1）（1，0）（1，1），由此這個群的元素為｛0，1，2，3｝，定義F上的“⊕”運算，見表1.

表1 F上的‘⊕’運算Tab.1 Operation‘⊕’on F

這樣F是一個?／2上的二維向量空間，在其上定義一個雙線性型

取V＝F3，將（a，b，c）∈V簡記為abc，定義V上的“⊕”

在V上定義雙線性型

定理3 f：Δ＋→V∪｛0｝是雙射.

證明 由定理1知f是單射，又因為＃（Δ＋∪0）＝＃（V）＝64，因此f為雙射.

設(shè)Γs表示層Δ＋s在f下的像，通過計算得到

定理4 層Γ7＝｛abc∈V｜a，b，c有且僅有一個為0｝.

證明 由Γ7的列舉，顯然.

2.3 偏序和正交結(jié)構(gòu)

對abc，a′b′c′∈V，若｛a＝a′，b＝b′，c＝c′｝有且僅有一個成立，則記abc～a′b′c′.

定義圖O（V）：以V中元為頂點，對abc，a′b′c′∈V且abc≠a′b′c′，若（abc｜a′b′c′）＝0，abc，a′b′c′有一條邊連接.

圖T（V）：以V中元為頂點，若abc～a′b′c′，則abc與a′b′c′有一條邊連接.

若X?V，O（X）和T（X）各自表示O（V）和T（V）被限制到X上的子圖.

注 由推論1，可知圖O（X）中若兩頂點之間有邊連接，則這兩個頂點對應(yīng)的根正交.圖O（X）可以反映根系的正交結(jié)構(gòu).又圖O（X）有邊連接的兩個頂點滿足（abc｜a′b′c′）＝0，而圖T（X）有邊連接的兩個頂點滿足｛a＝a′，b＝b′，c＝c′｝有且僅有一個成立，前者的條件需要計算可以得出，后者則僅需觀察元素的特征就可以得出，因此圖T（X）更有利于實現(xiàn)直觀化，但是前提是圖T（X）與圖O（X）是一致的.

定理5 a.圖T（Γ7）和O（Γ7）是一致的；b.圖T（Γ／Γ7）和O（Γ／Γ7）是一致的.

證明 因為（abc｜a′b′c′）＝（a｜a′）＋（b｜b′）＋（c｜c′），所以（abc｜a′b′c′）＝0? ｛（a｜a′ ），（b｜ b ′），（c｜ c ′）｝中有奇數(shù)個為0.

a.設(shè)abc和a′b′c′是Γ7中的不同的元素，由定理4，｛a ，b ，c｝和｛a′ ，b′，c′｝中僅有一個為零.若a＝a′＝0，那么（abc｜a′b′c′）＝0?b≠b′且c≠c′?abc～a′b′c′.若a＝b′＝0，那么（abc｜a′b′c′）＝0?c＝c′?abc～a′b′c′.由對稱性，其余情況可類似推出.

b.設(shè)abc和a′b′c′是Γ＼Γ7中的不同元素，由定理4，｛a ，b ，c｝和｛a′ ，b′，c′｝中零的個數(shù)為0或2.以下分情況討論：

（a）a，b，c，a′，b′，c′全部非零，那么

（abc｜a′b′c′）＝0?｛a≠a′，b≠b′，c≠c′｝中有偶數(shù)個成立?abc～a′b′c′；

（b）a，b，c，a′非零且b′，c′＝0，那么（abc｜a′b′c′）＝0?a＝a′?abc～a′b′c′；

（c）a，a′非零且b＝c＝b′＝c′＝0，那么（abc｜a′b′c′）≠0，abc～a′b′c′；

（d）a，b′非零且b＝c＝a′＝c′＝0，那么（abc｜a′b′c′）＝0，abc～a′b′c′.

（e）其它情況，由對稱性得證.

推論2 對β，β′∈Δ7或β，β′∈Δ（E6）且β≠β′，〈β，β′〉＝0當且僅當圖T（V）中f（β），f（β′）有一條邊連接.

證明 因為〈β，β′〉＝0?（f（β）｜f（β′））＝0?f（β）～f（β′）.

引理5 設(shè)x1，x2∈Γ7.a.若x1與x2正交，則存在唯一向量x3∈Γ，使｛x1，x2，x3｝是兩兩正交的，且x1⊕x2⊕x3＝0；b.若x1⊕x2∈Γ7，則x1與x2正交.

證明 設(shè)β1＝f－1（x1）∈Δ＋7，β2＝f－1（x2）∈Δ＋7，將β1和β2看作根系E8的根.

a.若x1，x2正交，則〈β1，β2〉＝0.又對任意β∈Δ＋7，〈α8，β〉＝－1，α8＋β∈Δ（E8）.所以α8＋β1∈Δ（E8）.又〈α8＋β1，β2〉＝－1，所以α8＋β1＋ β2∈Δ（E8）.

再證唯一性.設(shè)x3是與x1和x2正交的任意向量，β3＝f－1（x3）∈Δ＋7，有〈α8＋β1＋β2，α8＋β3〉＝－1，所以γ＝－（2α8＋β1＋β2＋β3）∈Δ（E8）.γ的表達式中系數(shù)k8＝－2，而Δ（E8）中僅有仿射根具有這個性質(zhì).因此從而

b.若x1和x2不是正交的，那么β1－β2是一個根，但其不在Δ7中，因此x1⊕x2?Γ7.

定理7 設(shè)x，y∈Γs，（x｜y）＝0?x⊕y∈Γ7.

證明 由引理4中c，x⊕zs，y⊕zs∈Γ7.因此

由引理5，x⊕y＝（x⊕zs）⊕（y⊕zs）∈Γ7.

注 此定理給出了同一層兩個根的正交性的判定方法.

下面在一個立方體上將Γ7具像化，由定理6，其它層上的根的正交和偏序關(guān)系也可類似得到.Γ7的元素被排列如圖3（a）.

在圖3（a）中，由定理5及圖T（V）的定義，對?x∈Γ7，Γ7中與x正交的元素y被描述為：

a.若y與x在立方體的同一個面上，那么y與x不在同一行或同一列；

b.若y與x在不同的面上，那么y位于x所在行或列延伸的行或列.圖3給出了Γ7中與021正交的根的像的集合為：｛012，013，032，033，101，120，201，220，301，320｝.

圖3 第7層上的正交和偏序關(guān)系Fig.3 Orthogonality and partial order on the seventh stratum

對x，y∈Γ7，若y＝x⊕ai，其中ai＝f（αi），i＝1，2，…，6，則x和y之間用一條邊連接.這樣在立方體中復(fù)原Δ＋7的偏序關(guān)系圖H7（圖3（b）），圖中i，i＝1，2，…，6表示該邊連接的x和y滿足y＝x⊕ai.

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