基于STFIGARCH模型的權(quán)證定價(jià)研究

鄒 平， 肖慶憲

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

1 文獻(xiàn)綜述

1.1 波動(dòng)理論

人們對(duì)利空消息的反應(yīng)程度常高于對(duì)好消息的反應(yīng)程度，金融時(shí)間序列的顯著特征之一就是波動(dòng)對(duì)沖擊的非對(duì)稱反應(yīng).負(fù)的沖擊相比正的沖擊，產(chǎn)生更大的波動(dòng)，即“杠桿效應(yīng)”.為了衡量波動(dòng)的非對(duì)稱性，有許多模型被提出：如Nelson［1］提出EGARCH模型，Glosten等［2］提出GJR模型，Engle［3］提出AGARCH模型等.但是用信息沖擊曲線（Engle和Ng［4］）來分析信息沖擊對(duì)波動(dòng)的影響，所有這些模型只有兩種狀態(tài)：正的沖擊產(chǎn)生低波動(dòng)和負(fù)的沖擊產(chǎn)生高波動(dòng).Hagerud［5］，Lee和Degennaro［6］，Lubrano［7］擴(kuò)展了這類模型，在方差方程中引入平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，提出了STGARCH模型來衡量波動(dòng)性.STGARCH模型在兩個(gè)狀態(tài)之間，還允許中間狀態(tài)的平滑移動(dòng).STGARCH模型的方差方程在本質(zhì)上是一個(gè)ARMA過程，不能反映波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性.

Dacorogna等［8］和Ding等［9］的研究發(fā)現(xiàn)，收益率的平方序列與收益率的絕對(duì)值序列均存在長(zhǎng)期自相關(guān)，這意味著波動(dòng)具有長(zhǎng)記憶性.Baillie等［10］提出用FIGARCH模型來刻畫波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性，并被廣泛應(yīng)用.但是FIGARCH模型的信息沖擊曲線是對(duì)稱的，不能反映波動(dòng)的非對(duì)稱性，與事實(shí)不符.

Kilic［11］在FIGARCH模型中引入平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，提出STFIGARCH模型來同時(shí)刻畫波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和非對(duì)稱性，其在FIGARCH模型的條件方差過程中允許非線性動(dòng)態(tài)和非對(duì)稱性，并引入了平滑轉(zhuǎn)移參數(shù).STFIGARCH模型實(shí)際上就是FIGARCH模型和STGARCH模型的綜合，可以通過偽極大似然估計(jì)（QML）來估計(jì)參數(shù).通過模擬仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)STFIGARCH模型是真實(shí)模型時(shí)，用FIGARCH模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)會(huì)產(chǎn)生較大的偏差和標(biāo)準(zhǔn)差.對(duì)Canadian Dollar／USA Dollar，Japaneses Yen／USA Dollar，Swiss Francs／USA Dollar和British Pound／USA Dollar這4種匯率，以及S＆P 500和ISE 100股指收益率的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，STFIGARCH模型優(yōu)于FIGARCH模型，非對(duì)稱性和長(zhǎng)記憶性是并存的.

1.2 定價(jià)理論

Black等［12］和Merton［13］開創(chuàng)性地提出Black－Scholes期權(quán)定價(jià)模型，開啟了期權(quán)定價(jià)研究的大門.Black－Scholes模型有許多缺陷，它的一個(gè)重要假設(shè)是波動(dòng)率為常數(shù).期權(quán)定價(jià)模型在波動(dòng)異方差性上的拓展，根據(jù)其所指定的波動(dòng)率函數(shù)的特點(diǎn)，大致可以分為兩類：一類是確定波動(dòng)率模型，將波動(dòng)率作為標(biāo)的股票價(jià)格序列的函數(shù)，如Schroder［14］使用的方差為常數(shù)彈性的CEV模型，以及國(guó)內(nèi)學(xué)者王植祥等［15］研究期權(quán)定價(jià)所使用的Lattice方法等；二是隨機(jī)波動(dòng)率模型，通過指定描述瞬時(shí)資產(chǎn)波動(dòng)率動(dòng)態(tài)的外生過程建立期權(quán)定價(jià)模型，如Hull等［16］提出了著名的隨機(jī)波動(dòng)性SV模型.但是，實(shí)際應(yīng)用中這些模型的困難之處在于波動(dòng)是不可觀察的.

Duan［17］對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了局部風(fēng)險(xiǎn)中性關(guān)系（LRNVR）在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度和物理測(cè)度之間進(jìn)行變換，并且由此在GARCH模型的框架下構(gòu)建了歐式期權(quán)定價(jià)的理論基礎(chǔ).Duan對(duì)GARCH期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了大量的實(shí)證分析，結(jié)果表明GARCH期權(quán)定價(jià)模型糾正了Black－Scholes模型的定價(jià)偏差.Black－Scholes模型是GARCH期權(quán)定價(jià)模型的同方差資產(chǎn)收益過程的一個(gè)特例.

本文首先用STFIGARCH模型對(duì)個(gè)股波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和非對(duì)稱性同時(shí)進(jìn)行研究.然后，在Duan期權(quán)定價(jià)理論框架下，建立了STFIGARCH期權(quán)定價(jià)模型來研究國(guó)內(nèi)權(quán)證定價(jià).

2 GARCH族模型及其期權(quán)定價(jià)模型

2.1 FIGARCH及其權(quán)證定價(jià)模型

GARCH過程和IGARCH過程所描述的指數(shù)式遞減與永久持續(xù)性都太具有限制性，嚴(yán)格地按照某一種模型理論來進(jìn)行研究都沒有多大的現(xiàn)實(shí)意義.不同于短記憶的GARCH模型和永久記憶的IGARCH模型，Baillie［10］用分形差分算子來代替IGARCH模型中的一階滯后算子，F(xiàn)IGARCH模型的方差方程為

式中，L表示延遲算子；ut代表隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)；d表示分?jǐn)?shù)差分算子；w為常數(shù)表示方差與βi為常系數(shù)，q與p為常數(shù).φ（L）和β（L）的所有特征根都在單位圓外，式（1）可進(jìn)一步表示為

式中，λ（L）＝λ1L＋λ2L2＋…，λ1，λ2…為常系數(shù).

其中，Γ（·）表示Γ函數(shù)，k表示兩個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)值之間的間隔長(zhǎng)度.

可以看出波動(dòng)率序列以雙曲率衰減，呈現(xiàn)模型的長(zhǎng)記憶性.FIGARCH模型的局限性在于，其信息沖擊曲線是以y軸為中心對(duì)稱分布的，同樣大小的正、負(fù)沖擊產(chǎn)生同樣的波動(dòng)，沒有考慮波動(dòng)的“杠桿效應(yīng)”.

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，可利用LRNVR轉(zhuǎn)換成Q測(cè)度下的FIGARCH（1，d，1）期權(quán)定價(jià)模型為

式中，St表示t時(shí)期的股票價(jià)格；r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率；ht表示方差；Ωt－1表示t－1期的信息集合；ξt表示Q測(cè)度下服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且E（ξt）＝0；λ表示單位風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)；β為常系數(shù)；φ（L）＝1－φL，φ為常系數(shù).

根據(jù)該模型，標(biāo)的價(jià)格為

式中，T表示看漲期權(quán)的到期時(shí)間.

對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)價(jià)格為

式中，X表示看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，EQ（·）表示Q測(cè)度下的均值.

式（4）中，GARCH期權(quán)定價(jià)模型的解析解是不存在的，對(duì)該期權(quán)價(jià)格可以用蒙特卡羅模擬的方法進(jìn)行計(jì)算，得到

2.2 STGARCH（1，d，1）模型

STGARCH模型是EGARCH模型、GJR模型與AGARCH模型等非對(duì)稱模型的擴(kuò)展，有多種設(shè)定形式，Hagerud［5］在ARCH項(xiàng)中引入平滑轉(zhuǎn)移，其方差方程為

式中，β，α，α＊為系數(shù)；G（zt－s，γ，c）代表邏輯轉(zhuǎn)移函數(shù)；c表示門限參數(shù)；γ表示轉(zhuǎn)移參數(shù)；zt－s表示轉(zhuǎn)移變量.G（zt－s，γ，c）＝一般取ut－1.易知，0≤G（·）≤1.γ越大，轉(zhuǎn)移函數(shù)G（·）變化越快.當(dāng)γ→∞時(shí)，轉(zhuǎn)移函數(shù)在0和1間突變，此時(shí)STGARCH模型變成TARCH模型.可見TARCH模型實(shí)際上是STGARCH模型在γ→∞時(shí)的一個(gè)特例.

該模型可以表示成下面的形式，即

對(duì)于660MW等級(jí)切圓燃燒Π型鍋爐和對(duì)沖燃燒型鍋爐，屏底溫度變化對(duì)水冷壁、過熱器及再熱器等受熱面的吸熱量影響規(guī)律基本一致。隨著屏底溫度的提高，水冷壁吸熱量明顯降低，而過熱器、再熱器、省煤器吸熱量均有所上升。其中BRL工況下，四角切圓燃燒型鍋爐屏底溫度每提高10℃，水冷壁吸熱量降低1.21%，過熱器吸熱量提高1.74%，再熱器吸熱量提高0.63%；對(duì)沖燃燒型鍋爐屏底溫度每提高10℃，水冷壁吸熱量降低1.28%，過熱器吸熱量提高1.20%，再熱器吸熱量提高0.87%。具體結(jié)果見圖4。

為了同時(shí)考慮波動(dòng)的非對(duì)稱性和條件方差本身的非對(duì)稱性，Anderson等［18］在ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)中同時(shí)引入平滑轉(zhuǎn)移函數(shù)，如式（10）所示，即

2.3 STFIGARCH及其權(quán)證定價(jià)模型

本文在FIGARCH（1，d，1）的GARCH和ARCH項(xiàng)同時(shí)引入邏輯轉(zhuǎn)移函數(shù)，即

式中，φ（L）＝1－φL，φ為系數(shù)；系數(shù)β和β＊表示波動(dòng)動(dòng)態(tài)參數(shù).當(dāng)zt－s→∞，G（·）→1，此時(shí)模型變成波動(dòng)動(dòng)態(tài)參數(shù)為β＊的FIGARCH（1，d，1）模型.當(dāng)zt－s→－∞，G（·）→0，此時(shí)模型變成波動(dòng)動(dòng)態(tài)參數(shù)為β的FIGARCH（1，d，1）模型.若zt－s→c，此時(shí)模型變成波動(dòng)動(dòng)態(tài)參數(shù)為的FIGARCH（1，d，1）模型.

式（11）可進(jìn)一步表示為

從而得到STFIGARCH模型的ARCH（∞）表示，即

動(dòng)態(tài)參數(shù)β，β＊和分別對(duì)應(yīng)該模型的高端狀態(tài)、低端狀態(tài)和中間狀態(tài).Conrad等［19］得到了該波動(dòng)過程在某狀態(tài)下的非負(fù)條件.例如，在G（∞，γ，c）→1狀態(tài)下，該波動(dòng)過程的非負(fù)條件為w＞0，0≤φ≤（1－d）／2，λ＊1＝d＋φ－β＊≥0.注意0≤G（·）≤1，β（1－G）＋β＊G是β和β＊的復(fù)合形式，因此可以推導(dǎo)出該條件波動(dòng)過程的非負(fù)條件為w＞0，0≤φ≤（1－d）／2，β≥0，β＊≤d＋φ.

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，在STFI－GARCH模型中可利用LRNVR轉(zhuǎn)換成Q測(cè)度下期權(quán)定價(jià)模型為

以后的定價(jià)步驟與FIGARCH期權(quán)定價(jià)方法相同，不再重述.

3 研究方法

3.1 STFIGARCH模型的估計(jì)

Kilic［11］用偽極大似然估計(jì)（QML）方法估計(jì)STFIGARCH模型的參數(shù).模型在高斯過程下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

式中，Yt表示觀測(cè)向量；yt表示預(yù)測(cè)向量；θ為參數(shù)向量；f（·）是概率密度函數(shù)；lt表示概率密度函數(shù)的對(duì)數(shù).式（15）在參數(shù)向量θ＝（w，d，φ，β，β，＊γ，c）′處取最大值.

采用Berndt等［20］提出的BHHH算法估計(jì)參數(shù)?＝（w，d，φ，β，β，＊γ，c，ν），使擬極大似然估計(jì)函數(shù)（QMLE）最大，其中ν是參數(shù)在T分布下的自由度.QMLE估計(jì)量的漸進(jìn)分布如下

式中，N是樣本數(shù)；?0是參數(shù)的真實(shí)值；A（?0）是Hessian矩陣；B（?0）是在?0處的梯度.

3.2 DM檢驗(yàn)

Diebold等［21］提出DM檢驗(yàn)，對(duì)不同預(yù)測(cè)模型之間的相對(duì)預(yù)測(cè)能力進(jìn)行比較.DM的假設(shè)分述如下：

其中，g（eA，t），g（eB，t）分別是模型A和模型B預(yù)測(cè)誤差的函數(shù).令g＝g（eA，t）－g（eB，t），則g被稱為損失函數(shù).考慮一條樣本路徑如果該差分序列是協(xié)方差平穩(wěn)和短記憶的，則可以推導(dǎo)出樣本損失差分的漸進(jìn)分布.構(gòu)造DM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

4 實(shí)證分析

4.1 源數(shù)據(jù)與處理

我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)自2005年8月寶鋼權(quán)證開始上市交易，到2011年8月最后一支權(quán)證四川CWB1合約期滿，歷時(shí)5年，期間一度成為世界上交易最為活躍的市場(chǎng).對(duì)這些寶貴的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，有助于深入理解我國(guó)的權(quán)證定價(jià)機(jī)制.由于我國(guó)上市權(quán)證數(shù)量較多，作為分析方法上的一種探索，本文僅選取了長(zhǎng)電CWB1與僑城HQC1兩支權(quán)證，其基本情況如表1所示（見下頁(yè)）.數(shù)據(jù)來源于中信證券交易軟件.收益序列采用收盤價(jià)格的對(duì)數(shù)差分乘以100求得，即

rt＝100（log（pt）－log（pt－1）） （18）式中，rt代表第t期的收益率；pt代表第t期的股票價(jià)格指數(shù).

4.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)和ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

為了消除非平穩(wěn)性對(duì)實(shí)證結(jié)果的影響，采用ADF方法對(duì)指數(shù)收益率序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn).由EVIEWS軟件求得P值均為0，因此該收益率序列是平穩(wěn)的，不存在單位根現(xiàn)象.從圖1（見下頁(yè)）可以直觀地看出，收益率的大幅度波動(dòng)和小幅度波動(dòng)常常集中在不同的時(shí)段，初步判斷該收益率序列存在波動(dòng)的集聚性特征.為了確定波動(dòng)的集聚性，對(duì)收益率進(jìn)行滯后5階的ARCH－LM檢驗(yàn)得到該值大于在1%的置信水平下，拒絕原假設(shè)，表明收益率存在條件異方差現(xiàn)象，適合采用GARCH模型族.

表1 基本信息Tab.1 Basic information

圖1 長(zhǎng)江電力與華僑城A的收益率序列圖Fig.1 Daily return series of Yangtze power and OCT’s

4.3 收益率絕對(duì)值的重標(biāo)極差（R／S）統(tǒng)計(jì)量分析與Hurst指數(shù)

由圖2可知，利用R／S分析法進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，長(zhǎng)江電力的Hurst指數(shù)為0.697，而華僑城A的Hurst指數(shù)為0.69，均大于0.5，這說明波動(dòng)的替代指標(biāo)收益率的絕對(duì)值序列表現(xiàn)出較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性，從而可以認(rèn)為收益的波動(dòng)率呈現(xiàn)較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性.圖中，ln N表示時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)的對(duì)數(shù)值，A表示R／S統(tǒng)計(jì)量的對(duì)數(shù)值，R是統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù).

4.4 參數(shù)估計(jì)

表2列出了STFIGARCH期權(quán)定價(jià)模型（STFIGARCH－M）與FIGARCH期權(quán)定價(jià)模型（FIGARCH－M）的參數(shù)值及其標(biāo)準(zhǔn)差.由該表可以發(fā)現(xiàn)，無論是FIGARCH模型還是STFIGARCH模型，分整參數(shù)d的取值都在0.2～5.8之間，這說明個(gè)股波動(dòng)具有長(zhǎng)期記憶性.從最大似然值、AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則方面看，STFIGARCH模型均優(yōu)于FIGARCH模型.與Kilic［11］對(duì)S＆P 500和ISE 100的研究結(jié)果類似，長(zhǎng)江電力的轉(zhuǎn)移參數(shù)γ＝2.057 5，深證股指的轉(zhuǎn)移參數(shù)γ＝1.986 6，均不太大，這說明個(gè)股波動(dòng)狀態(tài)變換是較為平滑的.對(duì)于長(zhǎng)江電力來說，由于β＞β＊，門限參數(shù)c＝5.817 1，當(dāng)ut＞c時(shí)代表正的外部沖擊（好消息），并且造成較大的股票波動(dòng)，顯示出“反向杠桿效應(yīng)”.而對(duì)于華僑城A，β＜β＊，門限參數(shù)c＝2.361 5，當(dāng)負(fù)的外部沖擊ut＜c時(shí)，造成較大的股票波動(dòng)，顯示出“杠桿效應(yīng)”.

圖2 絕對(duì)值序列的R／S分析Fig.2 R／Sanalysis of absolute value sequence’s

4.5 期權(quán)定價(jià)模型結(jié)果比較

模型的推導(dǎo)過程中并沒有考慮太多現(xiàn)實(shí)中的交易成本問題和市場(chǎng)操縱問題，而是適用了B－S期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件.分別利用前面的兩種定價(jià)模型對(duì)兩支權(quán)證自上市之日起存續(xù)期間的235和220個(gè)價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后與市場(chǎng)價(jià)格相比較.通過均方誤差（MSPE）和平均絕對(duì)值誤差（MAPE）來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)波動(dòng)的精度和能力，分別為：WMSPE＝對(duì) WMSPE與WMAPE進(jìn)行DM檢驗(yàn)，結(jié)果見表3.可以看出STFIGARCH－M的預(yù)測(cè)誤差比FIGARCH－M要小，與實(shí)際數(shù)據(jù)更匹配.而統(tǒng)計(jì)量分別在5%，15%及12%的統(tǒng)計(jì)性水平上不為零，STFIGARCH－M要優(yōu)于FIGARCH－M模型，因此用STFIGARCH－M來對(duì)我國(guó)的個(gè)股權(quán)證進(jìn)行定價(jià)是適宜的.

表2 各模型估計(jì)結(jié)果Tab.2 Models’estimation results

表3 權(quán)證預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.3 Comparison of option pricing estimation results

觀察圖3，無論是STFIGARCH－M還是FIGARCH－M，權(quán)證定價(jià)擬合值比權(quán)證的實(shí)際值要小.這可能是由于我國(guó)權(quán)證數(shù)量有限，供應(yīng)量太小，創(chuàng)設(shè)機(jī)制對(duì)券商的要求較高，限制了權(quán)證的有效供應(yīng)量，以及不存在賣空機(jī)制，投資者無法通過套利操作使權(quán)證價(jià)格回歸合理價(jià)位，影響了模型定價(jià)的合理性.但是隨著行權(quán)日越靠近，股票價(jià)格的不確定性越來越小，權(quán)證價(jià)格逐步回歸到模型的理論價(jià)格.

圖3 權(quán)證定價(jià)模型價(jià)格比較Fig.3 Pricing comparison with option pricing model

5 結(jié) 論

本文探索研究我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)的定價(jià)機(jī)制，選取了長(zhǎng)江電力和華僑城A兩支個(gè)股進(jìn)行分析.對(duì)收益率序列的R／S檢驗(yàn)表明兩支個(gè)股存在顯著的長(zhǎng)記憶性效應(yīng)，這表明基于短記憶的二階矩建模對(duì)波動(dòng)結(jié)構(gòu)的擬合可能是不充分的.對(duì)個(gè)股收益率進(jìn)行長(zhǎng)記憶的FIGARCH和STFIGARCH建模，擬合結(jié)果顯示：STFIGARCH的對(duì)數(shù)最大似然值較FIGARCH大，而BIC值、AIC值較小，說明STFIGARCH擬合得更好，個(gè)股波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性和非對(duì)稱性是共存的.

然后，利用蒙特卡羅模擬進(jìn)行FIGARCH－M與STFIGARCH－M模型的權(quán)證定價(jià)，計(jì)算出權(quán)證的理論價(jià)格.實(shí)證結(jié)果表明，STFIGARCH期權(quán)定價(jià)模型優(yōu)于FIGARCH期權(quán)定價(jià)模型.但是，F(xiàn)IGARCH期權(quán)定價(jià)模型與STFIGARCH期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)結(jié)果在權(quán)證發(fā)行期均小于真實(shí)值，我國(guó)權(quán)證市場(chǎng)偏向于被高估.隨著行權(quán)日越靠近，股票價(jià)格的不確定性越來越小，權(quán)證價(jià)格也逐步回歸模型的理論價(jià)格.

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