一類具有非單調(diào)傳染率的SEIRS時(shí)滯傳染病模型的全局穩(wěn)定性

周艷麗， 張衛(wèi)國(guó)

（1.上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海200093；2.上海醫(yī)療器械高等?？茖W(xué)?；A(chǔ)教學(xué)部，上海200093）

1 模型建立

在傳染病動(dòng)力學(xué)模型中，傳染率發(fā)揮著重要的作用.在以往經(jīng)典的傳染病模型中，通常采用雙線性或標(biāo)準(zhǔn)的疾病傳染率［1］，使得這些模型的動(dòng)力學(xué)行為比較簡(jiǎn)單，但結(jié)果往往不能客觀地反映疾病的傳染機(jī)理.Capasso［2］研究了1973年發(fā)生在Bari的霍亂后，引入了飽和傳染率比雙線性傳染率更符合實(shí)際.S（t）表示t時(shí)刻未染病但有可能被疾病傳染的人數(shù)，I（t）表示t時(shí)刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)，β為接觸率，α為常數(shù)，α＞0.后來(lái)，Liu等在文獻(xiàn)［3］中提出了更一般的非線性發(fā)生率均為常數(shù)，p，q＞0.βIp（t）度量疾病的傳染力描述易感者采取措施以抑制傳染力.文獻(xiàn)［4］研究的是當(dāng)p＝2，q＝2時(shí)，傳染病模型的定性分析和分支情況.Xiao和Ruan［5］提出的非線性發(fā)生率為更好地體現(xiàn)了g（I（t））與I（t）之間的變化：如疾病初期人們沒(méi)有意識(shí)到疾病的危害性，沒(méi)有采取有效的措施來(lái)阻止疾病的傳播，此時(shí)，g（I（t））是單調(diào)增的；隨著染病人數(shù)I（t）的不斷增加，人們逐漸意識(shí)到疾病的危害性，采取一些有效的措施，如隔離或減少與患者的接觸，此時(shí)，g（I（t））是單調(diào)減的.這能更好地反映疾病的傳染規(guī)律，更符合實(shí)際，能為控制疾病傳播提供更有效的防御策略.

另一方面，在建立傳染病模型時(shí)，考慮時(shí)滯能較好地反映傳染病的潛伏期、免疫期等因素對(duì)傳染病動(dòng)力學(xué)的影響，因此，對(duì)時(shí)滯傳染病模型的研究受到越來(lái)越廣泛的重視.近幾十年來(lái)，已有許多學(xué)者研究了大量的時(shí)滯傳染病動(dòng)力學(xué)模型［6－11］.文獻(xiàn)［7］討論了一類特殊的具有雙時(shí)滯的SEIRS（易感者、潛伏者、染病者、恢復(fù)者）傳染病模型，并得到了模型無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的充分條件.Xu等［9］考慮了具有飽和傳染率的時(shí)滯SEIRS模型，并通過(guò)迭代的方法得到了地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的充分條件.Beretta和Takeuchi［6］研究了具有分布時(shí)滯的SIR（易感者、染病者、恢復(fù)者）傳染病模型的全局穩(wěn)定性.

本文將研究一類具有非單調(diào)感染率的SEIRS時(shí)滯傳染病模型.設(shè)t時(shí)刻的總?cè)丝贜（t）＝S（t）＋E（t）＋I(xiàn)（t）＋R（t），E（t）表示t時(shí)刻已經(jīng)感染疾病，但不具有傳染能力的人數(shù)；R（t）表示t時(shí)刻從染病者類移出的人數(shù).

式中，Λ，μ，β，γ均為正常數(shù)；τ，δ為非負(fù)常數(shù)；Λ表示外界對(duì)環(huán)境的人口遷入，假設(shè)遷入的均為易感者；μ表示人口的自然死亡率；δ表示免疫喪失率，δ＞0，意味著恢復(fù)者具有暫時(shí)免疫力，δ＝0，意味著恢復(fù)者具有永久免疫力；γ表示染病者的恢復(fù)率；τ為時(shí)滯（即疾病潛伏期）.

運(yùn)用微分動(dòng)力系統(tǒng)的方法，研究潛伏期和非單調(diào)發(fā)生率對(duì)系統(tǒng)（1）動(dòng)力學(xué)行為的影響.

2 平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

根據(jù)實(shí)際的生物意義，系統(tǒng)（1）將基于以下初始條件：

式中，初始函數(shù)φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ），φ4（θ）是Banach空間C＝C（［－τ，0］，?4＋）上的連續(xù)函數(shù).

定義系統(tǒng)（1）的可行域

關(guān)于可行域的不變性可得命題1.

命題1 可行域Γ是系統(tǒng)（1）的正不變集，即若滿足初始條件式（2），則當(dāng)t≥0時(shí)，系統(tǒng)（1）所有的解（S（t），E（t），I（t），R（t））都在可行域Γ內(nèi).

證明 若（S（θ），E（θ），I（θ），R（θ））∈Γ（θ∈［－τ，0］），則由文獻(xiàn)［12］可知，系統(tǒng)（1）的解局部存在且唯一.注意到，若對(duì)－τ≤θ≤0，有I（θ）≡0，則當(dāng)t≥0時(shí)，I（t）＝0是系統(tǒng)（1）的第3個(gè)方程的解.由系統(tǒng)（1）可知，在曲面S（t）＝0上，若（0，E（t），I（t），R（t））∈Γ，則成立.同理，可以證得對(duì)所有的t≥0，有E（t）≥0，I（t）≥0，R（t）≥0.由系統(tǒng)（1）的第4個(gè)方程可知，在曲面R（t）＝0上，若（S（t），E（t），I（t），0）∈Γ，則在曲面E（t）＝0上，若（S（t），0，I（t），R（t））∈Γ，則在曲面I（t）＝0上，若（S（t），E（t），0，R（t））∈Γ，則0.所以，若（S（θ），E（θ），I（θ），R（θ））∈Γ，則系統(tǒng)（1）的解不可能從邊界S（t）＝0，E（t）＝0，I（t）＝0，R（t）＝0跑出區(qū)域Γ.

將系統(tǒng)（1）的各式相加，得到

其中

因此

所以，（S（t），E（t），I（t），R（t））∈Γ，則Γ是系統(tǒng)（1）的正不變集.

定義系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)為

定理1 當(dāng)R0≤1時(shí)，則系統(tǒng)（1）在Γ內(nèi)有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)當(dāng)R0＞1時(shí)，則系統(tǒng)（1）在Γ內(nèi)，除了無(wú)病平衡點(diǎn)P0還存在一個(gè)正平衡點(diǎn)P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）（地方病平衡點(diǎn)），其中

經(jīng)計(jì)算，I＊由下面的式子決定：

方程（5）當(dāng)且僅當(dāng)R0＞1時(shí)，有唯一的正實(shí)根（地方病平衡點(diǎn)）.

3 各類平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

利用類似于文獻(xiàn)［8－9］的方法，證明系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

顯然，方程（6）有3個(gè)負(fù)實(shí)根，λ1＝－μ，λ2＝－μ，λ3＝－（μ＋δ）.方程（6）其余的根由方程

決定.令

若R0＞1，則無(wú)病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的，因?yàn)?/p>

因此，方程（7）至少有1個(gè)正實(shí)根，所以，若R0＞1，則無(wú)病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.

若R0＜1，則方程（7）的所有的根均具有負(fù)實(shí)部（Reλ＜0）；反之，有Reλ≥0成立.由方程（7）得

所以，當(dāng)R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0＝1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0是退化的，因?yàn)?，若R0＝1，對(duì)于方程（6）有唯一的零根和3個(gè)負(fù)根.

由以上分析得到定理2.

定理2 a.若R0＜1，則系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的；

b.若R0＝1，則系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是退化的；

c.若R0＞1，則系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.

計(jì)算系統(tǒng)（1）在地方病平衡點(diǎn)P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）處的線性化系統(tǒng)，并得到相應(yīng)的特征方程

顯然，有1個(gè)根，λ＝－μ，其余的根由下面的式子決定：

其中

當(dāng)τ＝0時(shí)，方程（8）變?yōu)?/p>

如果R0＞1，通過(guò)計(jì)算可得

顯然

因此，方程（9）當(dāng)R0＞1和τ＝0時(shí)，所有的根均具有負(fù)實(shí)部.

如果iω（ω＞0）是方程（9）的解，代入方程（9）并分離實(shí)部和虛部，得到如下結(jié)果：

對(duì)以上兩式兩端平方后加在一起并整理，可得

通過(guò)計(jì)算可得

同理，可得

通過(guò)以上分析可知，當(dāng)R0＞1時(shí)，式（10）不存在正實(shí)根，所以，當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)存在且局部漸近穩(wěn)定.

通過(guò)以上分析得到定理3.

定理3 若R0＞1，則系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）是局部漸近穩(wěn)定的.

4 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理4 若R0≤1，則系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 考慮Lyapunov泛函

當(dāng)R0≤1時(shí)，且等號(hào)成立的充分必要條件是R0＝1或I＝0.當(dāng)I＝0時(shí)，有當(dāng)t→＋∞時(shí)，有E→0和R→0，故使得的最大正向不變集為（S，E，I，R），由李亞普諾夫－拉塞爾不變集定理［13］可知，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

5 地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）的第1，3，4式中不含E（t），所以，只需要研究下面的子系統(tǒng)：

令u1＝S（t）－S＊，u2＝I（t）－I＊，u3＝R（t）－R＊，并在（0，0，0）處線性化，得到

其中

定理5 若R0＞1，同時(shí)滿足mi＞0（i＝1，2，3），則系統(tǒng)（11）的地方病平衡點(diǎn)P～＊（S＊，I＊，R＊）是全局漸近穩(wěn)定的，其中

證明 令

計(jì)算V1沿系統(tǒng)（12）的導(dǎo)數(shù)為

令

計(jì)算V2沿系統(tǒng)（12）的導(dǎo)數(shù)為

令

計(jì)算V3沿系統(tǒng)（12）的導(dǎo)數(shù)為

令

計(jì)算V4沿系統(tǒng)（12）的導(dǎo)數(shù)為

定義Lyapunov泛函

其正定性顯然，V沿系統(tǒng)（12）的導(dǎo)數(shù)為

其中

由mi＞0（i＝1，2，3），得負(fù)定，所以，地方病平衡點(diǎn)P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

6 討論和數(shù)值模擬

通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證本文所得主要結(jié)論.在圖1中，取Λ＝2，β＝0.1，α＝6，γ＝0.5，μ＝0.2，δ＝0.2，τ＝2，使得R0＝0.957 6＜1，滿足定理4的條件.從圖1中可以看到，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)P0（10，0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的，這與定理4的結(jié)論吻合.在圖2中，取Λ＝5，β＝0.8，α＝6，γ＝0.2，μ＝0.4，δ＝0.2，τ＝2，使得R0＝7.488＞1，且m1＝ 0.785 3，m2＝5.424 8，m3＝0.2，滿足定理5.從圖2中可以看到，系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)P＊（10.477，1.724，0.937 8，0.312 6）是全局漸近穩(wěn)定的，這與定理5的結(jié)論一致.

圖1 系統(tǒng)（1）無(wú)病平衡點(diǎn)的漸近行為Fig.1 Asymptotic behavior of the disease－free equilibrium in system（1）

圖2 系統(tǒng)（1）地方病平衡點(diǎn)的漸近行為Fig.2 Asymptotic behavior of the endemic equilibrium in system（1）

本文的疾病傳染率雖然與文獻(xiàn)［10］的疾病傳染率不同，但有著相類似的結(jié)論.本文結(jié)合實(shí)際情況，考慮到疾病初期對(duì)人們的影響較小，人們沒(méi)有采取積極的措施來(lái)控制疾病的傳播，這時(shí)疾病的傳染力會(huì)增大.隨著疾病的不斷傳播，人們逐漸意識(shí)到疾病的危害性，人們會(huì)采取有效的措施減少與染病者的接觸，同時(shí)社會(huì)上的有關(guān)衛(wèi)生部門也會(huì)對(duì)染病者采取隔離等一些措施以減少疾病的傳播，這時(shí)疾病的傳染力會(huì)變小，這樣的傳染率更符合實(shí)際，體現(xiàn)了人們的心理作用和社會(huì)行為.本文的基本再生數(shù)與文獻(xiàn)［10］相同，同時(shí)得到，當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的充分條件.

文獻(xiàn)［10］主要研究的是傳染率具有飽和性且?guī)в袝r(shí)滯的SEIRS模型.

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