基于GI/G/1排隊(duì)的人行橫道寬度優(yōu)化模型

，

(1.西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院,四川 成都 610031;2.綜合運(yùn)輸四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；3.綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

人行橫道是行人穿越大多數(shù)交叉口的必經(jīng)之路，考慮到行人的安全性、舒適性，人行橫道的設(shè)計(jì)通行能力必須滿足該人行橫道的客流需求。交叉口人行橫道的通行能力[1]受交叉口信號相位配置、人行橫道寬度、長度以及行人特性的影響，其中，在其它條件一定的情況下，人行橫道的寬度直接影響其設(shè)計(jì)通行能力?，F(xiàn)有的《城市道路交通設(shè)施設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50688—2011)[2]中僅給出了人行橫道寬度的參考值范圍。然而在實(shí)際的人行橫道寬度設(shè)計(jì)中，因很少考慮到行人服務(wù)水平[3]對其的影響，造成設(shè)計(jì)寬度很難滿足高峰過街流量和行人安全的要求，所以目前的設(shè)計(jì)依據(jù)缺乏科學(xué)之城和實(shí)際指導(dǎo)意義。

因行人在人行橫道入口處構(gòu)成排隊(duì)，因此可從排隊(duì)論的角度來解決人行橫道寬度設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[4]中假設(shè)行人到達(dá)規(guī)律服從負(fù)二項(xiàng)分布，雖擬合效果較好卻不利于排隊(duì)建模的解析求解；文獻(xiàn)[5]中是以行人到達(dá)規(guī)律為移位負(fù)指數(shù)分布為假設(shè)，雖然該分布便于建模卻只適用描述無信號交叉口的行人到達(dá)規(guī)律。為此，考慮到指數(shù)分布[6]能夠描述獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生間隔且具有無后效性的特性，可假設(shè)行人到達(dá)規(guī)律服從該分布，并根據(jù)文獻(xiàn)[7]中提出的行人服務(wù)率可以用正態(tài)分布描述的特點(diǎn)，結(jié)合信號交叉口行人過街具有周期性批量服務(wù)[8]的特性，綜合考慮服務(wù)水平以建立到達(dá)時(shí)間間隔服從指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間間隔服從正態(tài)分布的GI/G/1排隊(duì)模型來描述人行橫道口排隊(duì)現(xiàn)象，從而構(gòu)建通行能力、服務(wù)水平與交叉口人行橫道寬度取值的量化關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)人行橫道寬度的合理設(shè)計(jì)。

1 人行橫道排隊(duì)系統(tǒng)描述和參數(shù)標(biāo)定

1.1 人行橫道排隊(duì)系統(tǒng)描述

圖1 人行橫道入口處高峰時(shí)段排隊(duì)系統(tǒng)

將人行橫道與行人流描述成如圖1所示的排隊(duì)系統(tǒng)。假設(shè)沿人行橫道寬度方向并列設(shè)有若干無形的服務(wù)窗口，每個(gè)窗口的寬度和長度都是確定服務(wù)等級下行人合理走行模式的安全區(qū)域直徑[9-10]。為避免行人間相互侵犯彼此的安全區(qū)域而降低其服務(wù)水平，將窗口設(shè)置為正方形而不是矩形。

行人進(jìn)入窗口視為在接受服務(wù)，離開窗口，視為服務(wù)結(jié)束。當(dāng)行人之間處于合理模式[7]排隊(duì)時(shí)，才認(rèn)為按照規(guī)定服務(wù)等級進(jìn)入了排隊(duì)系統(tǒng)，而對于出在舒緩模式等級下的行人雖然進(jìn)入了通道，因其行走為受到服務(wù)等級的影響而將其排除在排隊(duì)系統(tǒng)之外，只有當(dāng)他和排隊(duì)的最后一名行人進(jìn)入合理模式，才能納入排隊(duì)系統(tǒng)。

1.2 排隊(duì)系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定

1.2.1 人行橫道行人到達(dá)分布

由第1節(jié)中提到本文以行人到達(dá)信號交叉口人行橫道的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布為假設(shè)，為驗(yàn)證該假設(shè)成立，選取成都市八寶街—寧夏街信號交叉口作為數(shù)據(jù)采集地點(diǎn)，以高峰時(shí)期西大街行人到達(dá)人行橫道的視頻作為數(shù)據(jù)來源基礎(chǔ)，因本文研究的是行人到達(dá)人行橫道的到達(dá)時(shí)間間隔，故將每個(gè)周期所調(diào)查的行人到達(dá)時(shí)間間隔作為一組數(shù)據(jù)。經(jīng)實(shí)地調(diào)查，通過對獲得的數(shù)據(jù)利用SPSS軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行游程檢驗(yàn)以驗(yàn)證數(shù)據(jù)的有效性，取置信區(qū)間為95%，最終共獲得西大街15組有效數(shù)據(jù)備用，如表1為該街道數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)顯著性。通過對行人到達(dá)時(shí)間間隔的有效數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合，可由MATLAB編程得到其數(shù)據(jù)分布擬合圖如圖2所示，具體的每一周期的擬合度由表2所示。

表1 西大街人行橫道行人到達(dá)時(shí)間間隔游程檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)顯著性

表2 西大街行人到達(dá)規(guī)律服從指數(shù)分布的擬合度

從表1中可以看出，每組數(shù)據(jù)的顯著性均大于顯著性水平0.05，說明調(diào)查數(shù)據(jù)均為隨機(jī)序列，可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分布的擬合。而從表2和圖2可以看到，以行人到達(dá)人行橫道的時(shí)間間隔數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布的平均擬合度為81.67%，擬合度較高，說明指數(shù)分布擬合行人到達(dá)規(guī)律與實(shí)際情況較符。因此，該假設(shè)成立，可以指數(shù)分布描述行人到達(dá)人行橫道的到達(dá)規(guī)律。單位時(shí)間內(nèi)行人到達(dá)分布A(x)可描述如下

A(x)=1-e-λx

(1)

1.2.2 行人服務(wù)時(shí)間的分布

由參考文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[11]可知，步行速度v服從正態(tài)分布，調(diào)查八寶街附近得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，使用w測試方法得到的步行速度顯著水平α為0.05遵循正常的分布。因此，根據(jù)目標(biāo)服務(wù)水平的步行速度分布遵循正態(tài)分布N(μ，δ2)，μ為平均速度，δ2為標(biāo)準(zhǔn)差。同樣根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，安全區(qū)域面積是以人的自身為圓心形成的圓，在選定服務(wù)等級情況下可確定人均安全面積S，其直徑為

圖2 西大街行人到達(dá)時(shí)間間隔基于指數(shù)分布擬合效果圖

(2)

式中,d為2.1節(jié)中定義的正方形服務(wù)窗口邊長。

由人行橫道排隊(duì)系統(tǒng)描述可知，旅客被服務(wù)的本質(zhì)是通過正方形窗口的過程，從而服務(wù)時(shí)間等于窗口邊長d除以旅客速度v，因此，服務(wù)時(shí)間隨機(jī)變量R的分布B(x)[7]可以表示為

(3)

因此，服務(wù)時(shí)間隨機(jī)變量R的均值E(R)和方差D(R)可表達(dá)為

(4)

(5)

2 排隊(duì)優(yōu)化模型的建立

2.1 問題分析

在高峰時(shí)段，行人在人行橫道入口處形成排隊(duì)，行人之間除了安全距離，沒有其它空間，無法插隊(duì)，因此，用c個(gè)到達(dá)時(shí)間間隔服從指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間間隔服從正態(tài)分布的GI/G/1模型來描述如圖1所示的排隊(duì)系統(tǒng)。因信號交叉口人行橫道因信號周期中的紅綠燈具有忙期、閑期特性，且該排隊(duì)模型對于忙期和閑期均有成熟的解析解，因此，通過限制某些指標(biāo)可以達(dá)到優(yōu)化排隊(duì)系統(tǒng)的目的。

2.2 模型建立

(1)確定目標(biāo)函數(shù)。因人行橫道寬度等于服務(wù)窗口數(shù)乘以其邊長d，d為常數(shù)，因此要設(shè)計(jì)能夠滿足一定約束的最小人行橫道寬度等價(jià)于設(shè)計(jì)最少的窗口數(shù)。

(2)給定約束條件。對于該排隊(duì)系統(tǒng)，必須滿足其服務(wù)強(qiáng)度ρ小于1，否則將是無限排隊(duì)的情形。這里的服務(wù)強(qiáng)度指平均服務(wù)時(shí)間除以平均到達(dá)時(shí)間，因此可表示為

(6)

因信號交叉口行人通過人行橫道需要受到交叉口信號控制，行人只能在人行信號燈為綠燈時(shí)通過人行橫道，紅燈則禁行。對于每個(gè)用GI/G/1模型描述的窗口，考慮到排隊(duì)系統(tǒng)具有忙期和閑期，可視人行信號綠燈時(shí)段為排隊(duì)系統(tǒng)的忙期m，紅燈時(shí)段為排隊(duì)系統(tǒng)的閑期e。對于該排隊(duì)系統(tǒng)，忙期服務(wù)的客流應(yīng)與綠燈時(shí)段通過人行橫道的客流相等。為保證人行道、機(jī)動(dòng)車道和人行橫道的相互獨(dú)立性，應(yīng)在人行橫道入口處設(shè)置合理的等候區(qū)，可設(shè)等候區(qū)的長度為l，等候區(qū)可容納的行人數(shù)量則為Cl。為了避免行人的二次過街，等待區(qū)域的等待人數(shù)Cl必須小于或等于忙期的排隊(duì)系統(tǒng)中的服務(wù)的數(shù)量EM，該約束表示如下：

(7)

綜合考慮到行人的服務(wù)水平，則設(shè)計(jì)的行人人均安全面積需小于或等于設(shè)計(jì)的服務(wù)等級下的人均安全面積。因行人在人行橫道前設(shè)有等候區(qū)域，設(shè)有等候區(qū)的長度為l，確定的等候面積為M，則設(shè)計(jì)行人人均安全面積S為M/(Cl)，而每一設(shè)計(jì)服務(wù)水平均有其相對應(yīng)的人均安全面積S設(shè)計(jì)，則該基于服務(wù)水平考慮的約束條件可表示為

M/(Cl)≤S設(shè)計(jì)

(8)

為滿足給定等級下的服務(wù)水平，窗口數(shù)至少為1，窗口約束表達(dá)為

C≥1

(9)

3 結(jié)束語

由以上分析可知，行人到達(dá)人行橫道的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，行人服務(wù)時(shí)間服從正態(tài)分布。從排隊(duì)論的角度出發(fā)，考慮行人在人行橫道的批量通過特性，綜合考慮到行人服務(wù)水平對行人的安全舒適性的影響，建立了人行橫道入口處行人的GI/G/1排隊(duì)模型，給出了基于該模型并結(jié)合信號交叉口的信號特點(diǎn)提出的幾個(gè)重要約束，優(yōu)化人行橫道寬度的計(jì)算模型，為人行橫道的寬度取值提供了計(jì)算依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)

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